二项式定理(通项公式)知识讲解

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二项式定理通项公式

可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开式的通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第三项的系数，再由已知条件求出n的值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数：展开式有共n+1项 (2) 系数：都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点：
1) a的指数由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：

二项式定理知识点及题型归纳总结

二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点：（1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数（1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一二项式定理例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二二项展开式通项公式例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。

n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。

n4n34C。

13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

02二项式定理通项公式

02二项式定理通项公式二项式定理，又称拉格朗日二项式定理，是数学中一个重要的定理，它有一个与之相关的通项公式。

拉格朗日二项式定理是指：给定两个非负整数n,k，使得k≤n，则有：\begin{align} \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\end{align}二项式定理的通项公式为：\begin{align} \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \end{align}其中，（2）的表达式中，当求解Cn,k时，可以将其分为两部分，即Cn-1,k和Cn-1,k-1、由（1）可知，Cn,k就是上式中的Cn-1,k与Cn-1,k-1的总和，这也正是（2）中求得结果的过程。

拉格朗日二项式定理的通项公式（2）的理解可以由两个思考维度来说明：一是从数字的角度来理解，从数字上看，（2）的表达式分为两部分，即n(n-1)(n-2)…(n-k+1)与1x2x3…xk，而二项式定理的表达式（2），就是上面两部分的乘积。

二是从函数的角度来理解，(2)的表达式可以表示为：\begin{align} F(n,k)=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \end{align}这是一个有n,k两个变量的函数。

可以看出，此函数的变量都是整数，也就是说，它的定义域在整数集上，即：\begin{align} D=\{(n,k), n \in N, 0 \le k \le n \}\end{align}那么，通过(2)可以求得各种整数序列，即可以以n,k两个变量。

高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理

高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数．知识点二二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。

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【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是；。

二项式定理(通项公式)

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。

二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。

组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。

例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。

2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。

例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。

3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。

例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。

三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。

例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。

解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。

解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。

计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。

+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。

右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。

二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。

2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。

3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。

通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。

+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。

二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。

通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。

它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。

三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。

二项式定理知识点

二项式定理要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式.式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n. 要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项rn rr n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ba -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）.要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导.在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数.n b a )(+展开式中的二项式系数,当n 依次取1,2,3,…时,如下表所示:1)(b a +………………………………………1 1 2)(b a +……………………………………1 2 13)(b a +…………………………………1 3 3 1 4)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +……………………………1 5 10 10 5 1 6)(b a +…………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中n r r a b -的系数rn C 的意义：为了得到(a+b)n展开式中n r r a b -的系数，可以考虑在()()()na b a b a b +++这n 个括号中取r 个b ，则这种取法种数为rn C ，即为n r r a b -的系数．2.()na b +的展开式中各项的二项式系数0n C 、1n C 、2n C …nn C 具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即rn n r n C C -=；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数21-n n C ，21+n n C 相等，且最大.③各二项式系数之和为2n，即012342n n n n n n n n C C C C C C ++++++=；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C . 要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项rr n r n b a C -的二项式系数是组合数rn C ，展开式的系数是单项式rr n r n b a C -的系数，二者不一定相等.如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-，在这里对应项的二项式系数都是r n C ，但项的系数是(1)r rn C -，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．3.()na b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法（,,0p q r ≥的整数且p q r n ++=）rq q r n q r n r n r r n r n n n c b aC C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()( 如：10)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!5!2!3!105527310⨯⨯=C C C要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决. 要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a ，b ，该等式都成立.利用赋值法（即通过对a 、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.设2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++(1) 令x=0，则0(0)na fb ==(2)令x=1，则012(1)()n n a a a a f a b ++++==+(3)令x=－1，则0123(1)(1)()n n n a a a a a f a b -+-+-=-=-+(4)024(1)(-1)2f f a a a ++++=(5)135(1)-(-1)2f f a a a +++=3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：98322--+n n 能被64整除（*N n ∈） 4.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.①nx x n+>+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++>+；（0>x ）如：求证：n n)11(2+< 5.进行近似计算：求数的n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式.当||x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①nx x n+≈+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+；如：求605.1的近似值，使结果精确到0.01；。

数学教材梳理：二项式定理

庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理 1.公式（a+b ）n =nn n k k n k n n n n nb C b a C b a C a C++++-- 1110（n∈N*)。

对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x ）n=1+rr n n nx C x C x C+++ 221+…+x n.（1）（a+b ）n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数knC （ｋ∈{0，1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；(2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ。

方法归纳（1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零,字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ；（2)由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中,有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;（3）有关三项展开问题,可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理。

(4）二项式系数n n n n nC C C C 210,,只与第n 项有关，与a ，b 的大小无关。

2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项kk n k nb a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=knC a n —k b k .（1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项,只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式,它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2)通项公式表示的是第ｋ＋1项,而非第ｋ项;（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒。

疑点突破利用通项公式可以解决以下问题： (1)求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数. 在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项,特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题; （3）通项公式中含有a,b ，n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程或方程组,这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ。

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项;用1r n r rr nT C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()na b +与()nb a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nnn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0,n n n C C =·1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn nn n n n C C C C C ++++++=,变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数212n nn C T +=取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数1212n nnT C--=,1212n nn CT ++=同时取得最大值,且2121+-=n nn n C C; ⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;。

二项式定理讲义

二项式定理二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质知识内容」、定义：0 1 4 2 °°r n *_C n a -C n_b -C n_--亠亠-亠Cn' （nWN ），这一公式表示（a 亠b）n的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做（a - b）n的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数=0,1,2，…，“）叫做二项式系数，第r 项叫做二项展开式的通项，用T「“表示；T「+ =C；a"丄匕「叫做二项展开式的通项公式.- 二项展开式的特点与功能1.二项展开式的特点项数：二项展开式共n・1 （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幕（其幕指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幕（其幕指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去 1 （或等于第二字母b的幕指数；2.二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a, b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式•因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据.又注意到在（a ■ b）b的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列•因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据.二项式系数的性质1对称性：在二项展开式中，与首末两项等距离”的两项的二项式系数相等.2单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最n大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C孑最大；当n为奇数时, 二项展3 4开式中间两项的二项式系数n丄n 1C n2，C n2相等，且最大.0 1 2 n n组合总数公式：C n C n C C ^2即二项展开式中各项的二项式系数之和等于一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,【例【解(x -丄)5=C 5x5(^)°X X1411C5X (-)CX13(;)C4114X ()-5X515C5X (；)例题练习1. 二项式定理及其展开式1求（X • —）5的展开式.x5 31 1 1=x +5x +10x+10—+5 = + 厂Xxx【例2】0. 9915的近似值（精确到0.001 ）是【解析】 5 5 20. 991 =(1-0 . 009) =1-5 >0. 009+10 X0.009)…~-0.045+0 . 00081 ~056【例3】求证：(1 ) n n」_1 能被(n -1)2整除(n • N , n _ 3);【证明】为利用二项式定理，对n n丄中的底数n变形为两数之和（或差）.n _3，且n^N , 二=[1 亠(n—1)]"丄于是有n n—1 =[1 - (n —1)] n丄-1+C n 丄(n —1) + C ・丄(n —2) +... +C n 亠(n —1= C」(n —1丄(n —2 j +... +仁("—1注意至U n _3 ，且n 三N，故1 • C n丄■ C n丄n 一1 ]亠…B . 14C . ->8D . 28【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求, 化整为零”为基本方法之一,8(x _1)(x M )= x 8 8■(x -1) _(X 1) 8 8二 x(1 - x) _(1 - x)8 . .，又(1 - x)的展开式中x 4的系数为D .-21【分析】考虑求和转化，原式54(1 -X ) [1 _(1 -X )] 5(1 -X )一(1 -X )1 一(1 _因此由()式知n n 1 _1能被(n _1)2整除;2. 二项式系数【例4】在(x_1)(x.1)8的展开式中X 5的系数是()的系数为C 84 5 43原展开式中X 的系数为C 8 -C 8二C 8「C8 =14，应选B .【例5】设k =1,2, 3,4, 5，则(x ■ 2)5的展开式中x k 的系数不可能是()A .10B . 40C .50D . 80【分析】立足于二项展开式的通项公式： T — =C ；x 5丄2「(r =0,1,2， (5)•••当 k=1 时，r=4, x 1 的系数为 C 5 24 =80 ; 当 k=2 时，r=3, x 2 的系数为 C 5-2 3 = 80 ；当k=3时，r=2, x 3的系数为C 5 2 2 =40 ；当k=4时，r=1, x 4的系数为c 5 21 ". •综上可知应选C .【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式.【例6】在(1 -X )5 (—x)6 • (1 —X )7 • (1 —X )8的展开式中，x 3的项的系数为()A .74 B . 121又(1-X )5的展开式中x 4系数为C 5 , (1-X )9的展开式中x 4系数为C 944原展开式中X 3项的系数为C 5_C9=：「121，应选D .=nC 」n_1〜n 1■CnJ nM )已知(一二【例(n • N “)的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求:•所求二项式系数最大的项为63丁6(2)设第r+1项系数的绝对值 c ； .2丄最大,则有厂 rC10C 1010 !r! (10 _r)!10 !r! (10 —r)! r ：和1 1--------- >- 10 _r 2 11 r2r1一: 2r(r —1)! (11解之得-<r i 11，注意到r •33N ，故得r=3•所求系数绝对值最大的项为T 4 二一15 x 2(3 )由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在又r 取偶数0, 2, 4, 6, 8, 10时，相应的各项系数分别为 r 取偶数的各项内0 0C102,C1022,C 102_4,C102,C即分别为1,竺,1054845110256 2由此可知，系数最大的项为第5 项(r=4)，即 T 55 105 3----- x 8(1 )二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项；(3)系数最大的项.【解析】由题意得+C 2+C "十 (2)丄=512nnn• •• n =1030 _5 r•二项展开式的通项公式为 T r 八=c ；丄-1)" 2丄.x 6 (r =0,1,2,…10 )(1 ) I n =10 , •二项展开式共11项•••二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大5-_C 10 2•第4项系数的绝对值最大-r)!1 .—>r —2.2」>C 十2丄虻C 10 Ur 兰 10)r「丄 _£r 1 )-C 8 10 10 2，C10_102105 32点评：(1)解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认(2)这里(.x1 103）10展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 2 J x(、_x .1)102；』x展开式中系数最大的（3）本题解法一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（ 3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标•当指数n 数值较小3）的解法颇为实用.【例 8】设(4x _1 ) 200 - a 0-.3 x -.-a 2x 211 a200 X200，求【解析】令 f(x) =(4x _ 1 ) 200 =a 0■ a 1x - a 2x2亠.亠a 200200x①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 0 C2002002 C 亠 •亠 C200 200 C 200 = 2②展开式中各项系数的和a 0 a 1 a 2 ■■■■200：|l ，a③注意到 f (1) =a 0- a 1- a 2・a 3…-a199'a 200, f ( 一1) = a 0-a 199亠a200.f ⑴ _ f ( _1) =2®• a 3 亠-亠)1a 1 - a 3 a 5 川…什a^[ f ⑴ 一 f( -1)]21 200(3 -52200)④仿③得a 0亠a 2亠a 4亠'亠a200（3 2°°2200t-5)，又a ° 二 f(0)二 1827」八一2200=：1( 3 200 -5 200) 一12⑤解法一（直面原式）：f(-1)二a 。

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结咱们今天来好好聊聊二项式定理，这可是数学里一个相当重要的家伙！先来说说二项式定理是啥。

简单说，就是对于一个形如\（（a ＋ b)＾n\）的式子，它展开后的各项系数是有规律的。

这个规律就是二项式定理要告诉咱们的。

比如说，＼（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），这里系数分别是 1、2、1。

再看\（（a ＋ b)＾3 ＝ a^3 ＋ 3a^2b ＋ 3ab^2 ＋ b^3\），系数变成了 1、3、3、1。

那要是\（（a ＋ b)＾4\）呢？自己算算就知道，系数是 1、4、6、4、1。

那这些系数到底咋来的呢？这就得提到杨辉三角了。

这杨辉三角就像一个神奇的密码表，能帮咱们轻松找到二项式展开的系数。

还记得我上学那会，老师让我们自己动手画杨辉三角，我当时可认真了，一笔一划地写，还跟同桌比谁画得又快又准。

那时候，满脑子都是这些数字，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我的本子上蹦跶。

二项式定理还有通项公式呢，＼（T_{r+1} ＝ C_{n}＾r a^｛nr}b^r\）。

这里的\（C_{n}＾r\）就是组合数，表示从\（n\）个里面选\（r\）个的方案数。

给大家举个例子啊，比如说要展开\（（2x y)＾5\），咱们先确定通项公式，然后依次代入\（r\）的值，就能得到展开式的每一项啦。

在做题的时候，经常会碰到让咱们求特定项的系数，或者是二项式系数之和之类的问题。

这时候，可别慌，只要咱们把定理和公式牢记于心，多做几道题练练手，就没啥大问题。

我记得有一次考试，就有一道关于二项式定理的大题，我一开始还紧张得不行，后来静下心来，按照平时练习的步骤一步一步来，嘿，还真就做出来了！还有啊，二项式定理在实际生活中也有用呢。

比如说在概率统计里，计算某些事件发生的概率就可能会用到。

总之，二项式定理虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，多总结，一定能把它拿下！相信大家都没问题的，加油哦！。

二项式定理(通项公式)

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

二项式定理

学案：二项式定理一、知识讲解1、二项式定理：=+)(b a n 注：二项式)(b a n +的展开式一共有项。

2、通项公式：T r 1+= ，其中n r ≤≤0, 叫做二项式系数。

3、二项式系数的性质：（1）对称性：m n C = ;(2)二项式系数之和n n n n n C C C C ++++........210= ；（注：求展开式系数之和时令x=1) ++=++3120n n n n C C C C = ；(3)二项式系数的最大值：当n 为奇数时，二项式系数以和最大；当n 为偶数时，二项式系数以最大。

4、特征项的求法（1）展开式中的常数项令"x"的次数等于；（2）展开式中的有理项则"x"的次数应为（无理项应为）。

二、例题讲解例1：在二项式52)1(x x -的展开式中，含x 4的项的系数是______．变式：（1）82)1)(21(x x x -+的展开式中常数项为______．(用数字作答)（2）求1003)23(+x 的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．例2：若(1＋x )n 的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，求n 的值；变式：（1）已知n n x )1(-的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．（2）已知(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，例3 ：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．变式：若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．例4：求证：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.变式：设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（）A ．0B ．1C ．11D ．12三、练习1、若n x x )1(2-的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）(A)－84(B)84 (C)－36 (D)36 2、1211除以100的余数是（）A .1B . 10C .11D .213、在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( )(A)4 (B)－4 (C)8 (D)－84、若nC 21与m n C 同时有最大值，则m 的值是( ) (A)5(B)4或5 (C)5或6 (D)6或7 5、若n x x )23(32-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6 (C)5 (D)36、若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______．7、观察下列等式：2235515-=+C C ，3799591922+=++C C C ，511131391351311322-=+++C C C C ，7151717131791751711722+=++++C C C C C ，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于=++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n N ___________．8、在(3x ＋1)n 的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，则n=9、若)()21(20092009102009R ∈+++=-x x a x a a x ，200920092122a a a a +++ =10、设数列{}n a 是等比数列，123321-+•=m m m A C a ，公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）⑴用n 、x 表示通项n a 与前项和n S ；⑵若n n n n n n S C S C S C A +++= 2211，用n 、x 表示n A .。

二项式定理考点与题型归纳

二项式定理考点与题型归纳一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06 ·(－1)0·C 24＋C 16 ·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .(2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8，在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28，又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242，即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244，即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案]D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7 ·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7 ·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－(r －1)C r －18＝9－r 2r≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1，解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。

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六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=43421Λ个 )0(10≠=a a ,0(1N n a aa n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z nb a ab n n n ∈⋅= 3．注意 ① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=m a-② n ba )(可看作n nb a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n nb a4、n m nma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1） a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0) 2)43a a ⋅ 3）a a a例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88341n m 例4计算下列各式： );0()1(322>a a a a 435)12525)(2(÷-例5化简：)()(41412121y x y x -÷-例6 已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x xx二、二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中kn C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++L L1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n nn n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=L L② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7 (2)1()1(--f f三、经典例题1、“n b a )(+展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C CCCC x x x x x ++++=54112848122++++xx x x【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在33()2n x x-的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为2333111()()22n r rn r rr r r r nn T C xx C x ---+=-=- 因为第6项为常数项，所以r=5时，有23n r-=0，即n=10. （2）令1023r -=2，得2r =所以所求的系数为2210145()24C -=.（3）根据通项公式，由题意1023010,rZ r r Z-⎧∈⎪⎨⎪≤≤∈⎩ 令102()3rk k Z -=∈，则352k r =-，故k 可以取2,0,2-，即r 可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222C x C C x ----.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）. 解：由题意知，222992nn -=，所以232n =，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064T C x x=-=-. （2）设第1r +项的系数的绝对值最大，110r r T C +=Q 10(2)r x -10102101()(1)2r r r r rC xx---=- 101111010101910102222r r r r r r r r C C C C ----+-⎧≥∴⎨≥⎩得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥∴⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得81133r ≤≤.,3r Z r ∈∴=Q ，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360T C x x =-=-. [练习3]已知*22)()nn N x-∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；解：36323)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+，该式展开后常数项只有一项33336)1(x x C-，即20-6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrr xx T C -=-+Θ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C-即：65252x -。

当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n ba C和212121+-+n n n nba C；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222n n n nb a C。

7、有理项例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=Θ∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。

故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rr rr x T C)1(11111-=-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kkk k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。

（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nb a )(-”型转化为")("nb a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；解： Θ443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+，令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；解：Θ2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a 故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；解：r rrr x T C )1()2(661-=-+Θ∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =110利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。