抽象函数的周期性与对称性(精)

抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号
T=2|a-b| ；
(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| ；
(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| ；
(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:
y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a
b x -
=
对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点
)0,
2
(
a
b-
对称。

（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）
例：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
解：
②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于
对称。

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。

3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=
解析：法一：因f(x)为奇函数且关于
12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果。

小结：此方法为数形结合法；
法二：因f(x)为奇函数且关于1
2x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ； 小结：此方法为抽象函数具体化法。

4.设f(x)是R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x ≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5
5.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=
6、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
7、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=
2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.。