参数的区间估计
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2
2 ( X μ ) i i 1 ， ） 2 χ 1 α ( n )
2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2. 未知 （ , 2 ） 2 χ α ( n 1 ) χ 1 α ( n 1 )
2 2
例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120, 131,
若存在统计量 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 和 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )， 使得 P {θ θ θ } 1 α， 则称区间 (θ , θ ) 是参数θ 的置信度为1-α的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信度 为1-α的置信区间的置信下限和置信上限， 1-α称为置 信度。
所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：
n 7 7 （ 115 1.96 , 115 1.96 ） （110.43 , 119.57） 9 9
（x
n
z 2 , x
z 2 ）
（一）总体均值 的估计 2 1. 方差 已知 （X z 2 , X z 2 ）
n n
S S 2. 方差 （X t ( n 1), X t ( n 1) ） n 2 n 2 （二）总体方差n 2的估计 n
2未知
1. 已知
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
115, 109, 115, 115, 105, 110cm; 假设标准差 =7，试求
总体均值 的置信度为0.95的置信区间.
解： 已知时， 的置信度为1 的置信区间是：
（x
n
z 2 , x
n
z 2 ）
， 由给定数据算得： x 115
又
σ 7, n 9, α 0.05 ，z α 2 z 0.025 1.96
2
n
P155
(2) 当 未知时, 方差 2 的置信度为1－α的置信区间是
( n 1 )S ( n 1 )S （ 2 , 2 ） χ α ( n 1 ) χ 1 α ( n 1 )
2 2
2 2
wk.baidu.com
P156
注：标准差 的置信度为1－α的置信区间只要再 开根号即可。
总结： 单个正态总体X~N (, 2)
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本， 样本均值 X， 样本方差S2
1.总体均值
的估计
(1) 方差 2已知, 的置信度为1-α的置信区间是： （X z 2 , X z 2 ） P153 n n (2) 方差 2未知, 的置信度为1-α的置信区间是：
S S （X t ( n 1), X t ( n 1) ） P154 n 2 n 2
2. 总体方差 2 的估计
(1) 当 已知时, 方差 2 的置信度为1－α的置信区间是
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
2
n
2 ( X μ ) i i 1 ， ） 2 χ 1 α ( n )
第四节
参数的区间估计
一、置信区间和置信度 二、单个正态总体均值和方差的置信区间 三、两个正态总体均值差的置信区间 四、两个正态总体方差比的置信区间
一、置信区间和置信度 P152
1.定义： 设总体X的概率密度为 f ( x , θ )， θ是未知参数， X1,X2,…,Xn为X 的样本，对于事先给定的α (0<α<1)，
注： (1)置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间
长度越小，估计的精确度越高. (2)置信度1－α反映了估计的可靠度， 1－α 越大越可
靠. 但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确
度就会降低可靠度. 处理原则： 先保证可靠度（置信度）1－α, 再选置信区间中长 度最小的那个以提高精确度.
二、单个正态总体均值和方差的置信区间
2 ( X μ ) i i 1 ， ） 2 χ 1 α ( n )
2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2. 未知 （ , 2 ） 2 χ α ( n 1 ) χ 1 α ( n 1 )
2 2
例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120, 131,
若存在统计量 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 和 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )， 使得 P {θ θ θ } 1 α， 则称区间 (θ , θ ) 是参数θ 的置信度为1-α的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信度 为1-α的置信区间的置信下限和置信上限， 1-α称为置 信度。
所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：
n 7 7 （ 115 1.96 , 115 1.96 ） （110.43 , 119.57） 9 9
（x
n
z 2 , x
z 2 ）
（一）总体均值 的估计 2 1. 方差 已知 （X z 2 , X z 2 ）
n n
S S 2. 方差 （X t ( n 1), X t ( n 1) ） n 2 n 2 （二）总体方差n 2的估计 n
2未知
1. 已知
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
115, 109, 115, 115, 105, 110cm; 假设标准差 =7，试求
总体均值 的置信度为0.95的置信区间.
解： 已知时， 的置信度为1 的置信区间是：
（x
n
z 2 , x
n
z 2 ）
， 由给定数据算得： x 115
又
σ 7, n 9, α 0.05 ，z α 2 z 0.025 1.96
2
n
P155
(2) 当 未知时, 方差 2 的置信度为1－α的置信区间是
( n 1 )S ( n 1 )S （ 2 , 2 ） χ α ( n 1 ) χ 1 α ( n 1 )
2 2
2 2
wk.baidu.com
P156
注：标准差 的置信度为1－α的置信区间只要再 开根号即可。
总结： 单个正态总体X~N (, 2)
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本， 样本均值 X， 样本方差S2
1.总体均值
的估计
(1) 方差 2已知, 的置信度为1-α的置信区间是： （X z 2 , X z 2 ） P153 n n (2) 方差 2未知, 的置信度为1-α的置信区间是：
S S （X t ( n 1), X t ( n 1) ） P154 n 2 n 2
2. 总体方差 2 的估计
(1) 当 已知时, 方差 2 的置信度为1－α的置信区间是
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
2
n
2 ( X μ ) i i 1 ， ） 2 χ 1 α ( n )
第四节
参数的区间估计
一、置信区间和置信度 二、单个正态总体均值和方差的置信区间 三、两个正态总体均值差的置信区间 四、两个正态总体方差比的置信区间
一、置信区间和置信度 P152
1.定义： 设总体X的概率密度为 f ( x , θ )， θ是未知参数， X1,X2,…,Xn为X 的样本，对于事先给定的α (0<α<1)，
注： (1)置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间
长度越小，估计的精确度越高. (2)置信度1－α反映了估计的可靠度， 1－α 越大越可
靠. 但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确
度就会降低可靠度. 处理原则： 先保证可靠度（置信度）1－α, 再选置信区间中长 度最小的那个以提高精确度.
二、单个正态总体均值和方差的置信区间