幂函数的图象及性质

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幂函数图象有规律

本文作者:王佩其 江苏

幂函数()n

y x n Q = 的图象看似复杂,其实很有规律。假如我们能抓住这些规律,那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢?

1.第一象限内图象类型之规律(如图1):1.n >1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,下凸递增。2.n =1时,过(0,0)、(1,1)的射线。 3.0<n <1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,上凸递增。4.n =O 时,变形为y =1(x ≠0),平行于x 轴的射线。 5.n <0时过(1,1),双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。

2.第一象限内图象走向之规律(如图1): x ≥1部分

各种幂函数图象,指数大的在指数小的上方;O <x <1部分

图象反之,此二部分图象在(1,1)点穿越直线y =x 连成

一体。

3.各个象限内图象分布之规律:设p n q =

,,p q 互质,

,p Z q N 挝。

1.任何幂函数在第一象限必有图象,第四象限必无图象。

2.n =奇数/偶数时,函数非奇非偶,图象只在第一象限

(如图1)。

3.n =偶数/奇数时,函数是偶函数、图象在第一、二象

限并关于y 轴对称(如图2)。

4.n =奇数/奇数时,函数是奇函数,图象在第一、三象限

并关于原点对称(如图3)。

利用规律,解题有方。请看以下例题:

例1 分别画出(1)2527y x -=

, (2)829y x =, (3)5y x = ,

(4)18y x =的大致图象。

解析:

(1)25

n=-=奇数/奇数<0,故双曲线型在第一、三象限,关于原点对称,如图27

3中的①。

(2)82

n==偶数/奇数>1,故抛物线型,在第一、二象限,关于y轴对称,如图2 9

中的④。

(3)5

n===奇数/偶数>1,故抛物线型,在第一、三象限,关于原点对称,5

1

如图3中的④。

(4)1

n==奇数/偶数,0<n<1,故抛物线型,仅在第一象限,如图2中在第一8

象限中的③。

例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。

(1);(2);(3);(4);(5);

(6);(7);(8);(9)。

解析:利用上述规律,可很快地得出答案:E,C,A,G,B,I,D,H,F。

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