幂函数的图象及性质

幂函数图象有规律

本文作者：王佩其 江苏

幂函数()n

y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？

1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分

各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分

图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成

一体。

3．各个象限内图象分布之规律：设p n q =

，,p q 互质，

,p Z q N 挝。

1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。

2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限

（如图1）。

3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象

限并关于y 轴对称（如图2）。

4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限

并关于原点对称（如图3）。

利用规律，解题有方。请看以下例题：

例1 分别画出（1）2527y x -=

， （2）829y x =， （3）5y x = ，

（4）18y x =的大致图象。

解析：

（1）25

n=-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图27

3中的①。

（2）82

n=＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2 9

中的④。

（3）5

n==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，5

1

如图3中的④。

（4）1

n=＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一8

象限中的③。

例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）；（9）。

解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。