弹性力学有限元第八章 FEM部分之二 桁架 轴力构件 梁 和框架资料

和力为0，因此，局部坐标系 下的内力和位移有如下关系：
j x
fix k 0 k 0uix
u jx
fiy
Fra Baidu bibliotek
0
f f
jx jy
k
0
0 0 0
0 k 0
0
uiy
0 0
u u
jx jy
其中： k AE l
写成矩阵形式： f Ku
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
sinq cosq
sin2 q
单元刚度矩阵得出后，组装总刚矩阵，应用边界条件和荷载条件， 求解位移，并计算出平均应力。
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
通过轴力构件了解一维单元及其形函数的基本理论。 实际工程的型钢柱
5 ④
离散化
4
③
3
每个单元所受到的荷
②
载均垂直于截面形心。
Displacement
u e
Yj Yj
Y Yi
ui
Y Yj
Yi Yi
u
j
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
Y
u e
Yj Yj
Y Yi
ui
Y Yj
Yi Yi
u
j
ue Siui S ju j
l
Yj
Si，Sj单元的形函数 (Shape Function)
整体力和局部力的关系亦有：
fjx
F Tf
FjX
FiX
F
FiY
F jX F jY
fix
f
fiy
f f
jx jy
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
y
fix=k(u ix-u jx)i
O'
q
u ix
二力杆情况下，y方向的位移
f
jx=k(u
ix-u
jx) fjx
V2
V2
③
系统总势能是总应变能和外力做功之差：
3
nel
nnd
②
Linear Fitting
U e Fiui
2
Actual
e1
i 1
①
Displacement 其中nel为单元的个数，nnd为节点的个数
1
x
Displacement
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
最小能量原理要求系统总势能取极(小)值，则根据极值要求：
Yi
ue Si
Sj
ui
u
j
ui
u uj
Si
Yj Y l
Yj
(Yi l
y)
Sj
Y
Yi l
Yi
y Yi
l
y l
y 0,l
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
Y Yj
Si
Yj
Y l
Yj
(Yi l
y)
Sj
Y
Yi l
Yi
y Yi
l
y l
y 0,l
l
Yi
在节点i，y = 0，Si=1； Sj=0
§8-1 桁架
单元刚度矩阵则有： K e TKT 1
cos2 q
K e
k
s in q
cosq
cos2 q
sinq cosq
sinq cosq sin2 q
sinq cosq sin2 q
cos2 q sinq cosq
cos2 q sinq cosq
sinq cosq
sin2 q
A
B
A
B
F1
F2
静定桁架
理论力学：截面法，节点法
F1
F2
超静定桁架
结构力学：力法
有限单元法
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
参照上一章的推导过程，易知等截面轴心受力杆 的等效刚度为：
keq
AE L
L
DL F
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
离散化后确定单元和节点
sinq cosq
cosq s in q
uix
uiy
sinq cosq
u u
jx jy
U Tu
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
fjy FjY
fiy FjY
y
j5
x
O' fix q
⑤ Local
Coordinate
Y
i2
FiX
O
X
Global Coordinate
荷载
③
荷载
⑥
3
4 ②④
5
Y ⑤ ■ 描述节点的位置，单元的方向；
O1
①
X 2
整体坐标系 OXY
■ 施加约束及荷载；
■ 表示问题的解，即在整体坐标 方向上每个节点的位移。
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
ujy UjY
整体坐标下位移和 局部坐标下位移的关系：
ujx
UiX uix cosq uiy sinq
ui
ui
nel
U e
e1
nnd i1
Fiui
0
考虑其中一个单元： ue Siui S ju j
单元的应变：
du d dy dy
Siui S ju j
d dy
1
y l
ui
y l
uj
f Ku U Tu
F Tf
F TKT1U
cosq sinq
T sinq cosq
c osq
s in q
u T 1U f T 1F
T 1F KT 1U
cosq sinq
T 1 sinq
c osq
sinq
c osq
c osq
sinq
sinq
c
osq
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
y
j5
UjX UiY uix sin q uiy cosq
x
uiy UjY
O' uix q
⑤Local UCooiXrdinate cosq
Y
i2
UiX
U iY
s in q
O
X
Global Coordinate
U U
jX jY
U jX u jx cosq u jy sin q U jY u jx sin q u jy cosq
2
① 1
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
y
竖向位移仅仅是 y 的函数，用一系列的线
性函数近似反映柱子的变形，从而描述各个单
元上的变形情况。
Y
考虑单个单元
5
Yj
④
l
4
Yi
③
3
u
②
Linear Fitting
ui
uj
单元的变形特性可用节点值表示
2
Actual
① 1
Displacement x
u 在节点 j，y = l，Si=0； Sj=1
ui
uj
形函数在其对应的节点处取值为1，在相
邻的节点处取值为0。
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-2 轴力构件
利用最小能量原理导出轴向荷载作用下的 刚度矩阵和荷载矩阵。
y
用线性拟合近似反映实际变形。
单元的应变能
5
④ 4
U e dV E 2 dV
第八章 桁架 轴力构件 梁和框架的有限元分析
河海大学 机电工程学院 力学教研室
第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析
§8-1 桁架
桁架是一种由直杆组成并在端点处通过螺栓、铆钉、销钉等连 接在一起的工程结构；平面桁架指的是所有杆件均在同一平面内， 且施加在桁架上的力也在同平面；桁架的杆件通常认为是二力杆。