第一章 周期信号与离散频谱2

同频项合并后得到
xt a0 An sin n0t n
n 1
2 n

An a b
2 n
an tg n bn
幅值谱：圆频率（横坐标）—幅值
相频谱：圆频率（横坐标）—相位
n 是整数序列，故频谱是离散的，频率间隔等于ω0 ω0 称为基频；n ω0 称为 n 次谐波
三角波的傅里叶级数1

三角波的时域描述
xt
T 2A t， 0 t 0 T0 2 T0 2A A t , 0t T0 2 A
三角波的傅里叶级数2
A 4A 1 2 2 cos n0t 2 n 1 n
A 4A 1 1 xt 2 cos0t 2 cos30t 2 cos50t 2 3 5
n 1,3,5,
周期性三角波的频谱
返回
傅里叶级数的复指数函数展开式

根据欧拉公式 有
e
jt
cost j sin t
( j 1)

1 cos t 2
e
jt
e
jt

1 sin t j 2


e
j t
e
jt

三角函数展开式
xt a0 an cos n0t bn sin n0t
e
j0t

sin 0t j
1 2
e
j 0 t
e
j0t

狄里赫利条件
如果函数 f ( x) 在开区间 ( , ) 内分段单调，
并在该区间内有有限个第一类间断点，那么：
（1）Sm ( x) 在连续点 x 收敛于 f ( x) ；
（2）在第一间断点收敛于 f ( x0 0) f ( x0 0) ；
第一章 信号及其描述
信号的分类与描述
周期信号与离散频谱 瞬变非周期信号与连续频谱 随机信号

傅里叶级数的三角函数展开式


在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数 （信号）x(t)都可以展开为傅氏级数 傅里叶级数的三角函数展开式为
xt a0 an cos n0t bn sin n0t
2
（3）在区间端点，即 x 与 x 上等于
f ( 0) f ( 0) 2
返回
n 1

1 a0 T0

2 T0为周期， 0 T 0 n = 1,2,3…
T0 2 T 0 2
xt dt
2 an T0 2 bn T0

T0 2 T 0 2
xt cosn0tdt xt sin n0tdt
T0 2 T 0 2
傅里叶级数的三角函数展开式
j cnI
2 cnI
T0 2 T 0 2
jn0t
dt
j n
c c
n
nR
ce
n
其中
c
n

2 cnR

n arctg cnIc NhomakorabeanR
cn与 c-n共轭；即
实频谱图： cnR
cn c n
n n
双边幅频图：
虚频谱图： cnI
双边相频图：
两种傅里叶级数展开式比较
n 1
傅里叶级数的复指数函数展开式
三角函数展开式改写为
1 jn0t jn0t 1 xt a0 (an j bn) e j (an j bn) e 2 n 1 2

令 则 或
1 c n 2 ( a n j bn ) ;

1 c n 2 ( a n j bn ) ;


复指数函数形式的频谱为双边谱，三角函 数形式的频谱为单边谱； 两种频谱各谐波幅值在分量上有确定关系
1 | cn | An , | c0 | a0 2

双边幅值谱为偶函数，双边相频谱为奇函 数
负频率的说明
正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 频 谱 图
cos 0t
1 2
e
j0t
jn0t
c0 a0
jn0t
xt c0 cn e
n 1
cn e
n 1

xt cn e


jn0t
(n 0, 1, 2, )
实频谱图与虚频谱图
把 an、bn表达式带入cn、c-n中得到
一般情况下
1 cn T0
xt e