《利用向量法求空间角》教案

§ 323立体几何中的向量方法

利用空间向量求空间角

教学目标

1. 使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点

求解二面角的向量方法 教学难点

二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入

1 •用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1) 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面， 把立体几何问题转化为向量问题； (化为向量问题)

(2) 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问

题；(进行向量运算)

(3)

把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

2. 向量的有关知识：

(1)两向量数量积的定义：

a b | a || b | cos a,b

(3)平面的法向量：与平面垂直的向量 、知识讲解与典例分析

知识点1 :面直线所成的角 (范围：

(0-])

(1) 定义：过空间任意一点o 分别作异面直线 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与b 所成的角

(2) 用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为 a 和b ,

(2)两向量夹角公式：cos a,b

a b |a||b|

问题1：当a与b的夹角不大于90°时，异面直线

的角与a和b的夹角的关系？

—&

问题2 : a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、

—¥■—*

与a和b的夹角的关系？a、b所成

a,b

结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为 cos | cos m,n

思考：在正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1中，若E r 与F 1分别为A-i B 1、

C i

D -的四等分点，求异面直线 DF -与B

E -的夹角余弦值?

（1 ）方法总结：①几何法；②向量法

（2） cos DF 1,BE 1 与 cos DF 1, E 1 B 相等吗？

（3） 空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ 例1如图，正三棱柱ABC ABG 的底面边长为a ,侧棱长为V2a ，求A®和CB 1所成的角.

AC 1和CB 1所成的角为一

3

练习1:在Rt △ AOB 中，/ AOB 90°现将△ AOB 沿着平面 AOB 勺法向量方向平移到 △ AOB 的位置，已知 O/=OB=OO 取AB 、AO 的中点D 、F 1,求异面直线 BD 与AF 所成的角的余 弦值。 解：以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设

OA=1,

1 1 1

则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , F 1(— ,0,1) , D(— ,

— ,1)

2

2

2

1 1 1

AF 1

( ,0,1) , BD 1 (-, 2,1)

所以，异面直线 BD1与AF1所成的角的余弦值为

解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。

2. 利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

解：如图建立空间直角坐标系

A xyz ，则

A Z^^3\

B 1 *

< J

A(0,0,0),G(

子 aga 「2a),C(

于 aga,0),B 1(0,a, '.2a)

AC 1

(3 a, ^a, . 2a)， CB 1

2 2

(三 a^a^a)

2 2

即 cos AC 1,CB 1

AC 1 CB 1

| AC 1 ||CB 1 | 3a 2

|

I m n |

1

— ~ |m||

n|

cos AF 1, BD 1

AF 1 BD 1 | AF 1 || BD 1 |

■ 30 10

z

例2、如图，正三棱柱ABC

ABG 的底面边长为

,侧棱长为.2a ，求AC 1和面AA 1所

成角的正弦值

直线与平面所成的角步骤:

1. 求出平面的法向量

2. 求出直线的方向向量

AC 1

( 3 a,丄 a, 2a)

2 2

设平面AA 1B 1 B 的法向量为n (x, y, z) 、、2az 0 y 0

ay 0 z 0

(1,0,0)

3 2

a

AG n 2 1

| AG || N | 、3a 2

2

1

AC 和面A AB B 所成角的正弦值一 •

2

练习：正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、DD “的中点.求

直线

B 1

C 1与平面AB !C 所成的角的正弦值

知识点2、直线与平面所成的角 （范围:

[0，

m ）

据图分析可得：结论: sin |cos n, AB |

分析: 3. 求以上两个向量的夹角,

（锐角）其余角为所求角

解：如图建立空间直角坐标系

A xyz ，则 AA i

(0,0,2a), AB (0, a,0),

由 n A A 1

n AB 0 取 x 1， n

cos AG, n

uuu u AC