二次函数零点问题

二

次函数零点问题

【探究拓展】

探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02

=++-c bx ax 的一个根，且

,0,2121≠≠x x x x 求证：方程

02

2

=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为

x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；

（2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.

变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.

（2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥.

变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a

2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3

4；

（2）函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；

（3）设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<57

4.

变式4：设函数2

()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2

a

f =-.

（1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求

12x x -的取值范围；

（3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内.

探究2：已知方程x b

x a bx =+-21

2有两个不相等的实数根.

（1）求

a

b

的取值范围； （2）求证：函数1)(2

++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数.

变式：已知二次函数1)(2

++=bx ax x f 和b

x a bx x g 21

)(2

+-=

（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性； （2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a

时判断)(x f 在()1,1-上的单调性；

（3）若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ，0)(=x f 的两实根为43,x x ，求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.

探究3：二次函数2

()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<< （1）求实数a 的取值范围；（2）试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

16

的大小．并说明理由 变式：已知))()((1)(b a b x a x x f <---=，n m ,是)(x f 的零点，且n m <，则n m b a ,,,从小到大的顺序为_________________

探究4：已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[11]-， 上有零点，求a 的取值范围

解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解.

a =0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或 (1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥⎧⎪≥⎪⎪

∆=++≥⎨⎪

⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤

或a ≤

或5a ≥

⇔a ≤或a≥1. 所以实数a

的取值范围是a ≤

或a ≥1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.

解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0,又

∴2

()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2

(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解2121

32x a x

-⇔=-在

[-1，1]上有解，问题转化为求函数221

32x y x -=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈

[1,5],21(3)217

(6)22t y t t t

--=⋅=+-，

设2277

().'()t g t t g t t t

-=+=

，t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)

单调递减，t ∈时，'()g t >0,此函

数g (t)单调递增，∴y

的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解

1

a

∈3,1]1a ⇔≥

或a ≤.

点评: 将原题中的方程化成212132x a x

-=-的形式, 问题转化为求函数221

32x y x -=-[-1，1]上的值域的问题,是解析

2的思路走向.

变式1：已知函数2()243f x ax x a =--+． （1）求证：函数y = f (x ) 的图象恒过两个定点． （2）若y = f (x )在（1，3）内有零点，求a 的取值范围． （1）设2243y ax x a =--+，即2(4)23y a x x =--+． 令x 2 = 4，得x = 2或2．

则函数y = f (x ) 的图象恒过定点（2，7），（2，1）．

（2）∵f (2) = 7 > 0，f (2) = 1 < 0， ∴y = f (x )在（2，2）内有零点．

1）若a > 0，抛物线开口向上，y = f (x )在（1，3）内有零点， 当且仅当f (1) > 0，或f (3) > 0．

则(1)243310f a a a =--+=-+>， 或(3)9643530f a a a =--+=->． ∴0 <13a <

，或3

5

a >． 2）若a < 0，抛物线开口向下，y = f (x )在（1，3）内有零点，

当且仅当f (1) > 0．即(1)243310f a a a =--+=-+>．

∴1

3

a <，结合a < 0，得a < 0．

3）若a = 0，y = f (x )的零点为

3

2

，在（1，3）内． 综合1），2），3），得a 的取值范围为（∞，

13）∪（3

5

，∞）． 变式2：已知函数2

()1f x ax bx =-+．

（1）若()0f x >的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值；

（2）若a 为整数，2b a =+，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值． 探究5：已知函数m x m x x f -+-+=4)4(2)(2

，mx x g =)(，若对于任意的 实数x ，)(x f 与)(x g 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________.

变式1：已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 . ()8,0