化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式

W (s)
sn
b0 an1sn1 a1s a0
1、标准I型
1.）选择状态变量 若给定初始条件 y(0), y(0), , y(n1) (0)及t 0的输入u(t ) 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：
x1
1 b0
(1-44)
x& Ax bu，y cx bnu
式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程(1中-4需5)
增加一项 bnu
一、传递函数中没有零点时的实现
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
系统的传递函数为：
– 2)选择有关的物理量作为状态变量； – 3)导出状态空间表达式。
状态变量的选取原则
▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量
（对角线标准型和约当标准型）
[例1-6 ] 电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量， uA为输出量的状态空间表达式。 L1 uA L2
u
k1
k2
k3
y
T1s 1 T2s 1 T3s
等效变换如下：
u
k1
T1
Fra Baidu bibliotek
x3
1
T1
x3 k2
T2
k4
k4
x2
x2 k3
T3
1
T2
x1 x1 y
图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选 择积分环节后的变量为状态变量）：
则有： 写成矩阵形式：
x1
k3 T1
x2
x2
1 T2
x2
k2 T2
化输入-输出描述为状态空 间描述及其几种标准形式
状态空间描述的建立
建立状态空间描述的三个途径： 1、由系统框图建立 2、由系统物理或化学机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
一、由系统框图建立状态空间描述
［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换
［例1-4］：系统框图如下：
1 L2
u1 u2
uA R1
R1
ii12
0
1uu12
[例1-7]试列出在外力f作
用下，以质量 M1, M2
的位移 y1, y2 为输出的
状态空间描述。
k1
yv11 k2
M1
yv22
f
M2
[解]：该系统有四个独立的储能B1元件。取状态B变2 量如下：
x1 y1, x2 y2, x3 y1 v1, x4 y2 v2
应用长除法有
W (s)
bn
n1sn1 1s 0
sn an1sn1 a1s a0
bn
N(s) D(s)
式理中真分bn式是，直其接系联数系用输综入合、除输法出得量的前馈系数，ND
s s
是严格有
0 b0 a0bn
1 b1 a1bn
M
n1 bn1 an1bn
其状态空间描述为
x3
y x1
x3
k4
k1 T1
x1
1 T1
x3
k1 T1
u
0
k3 T3
X
0
k1k
4
1 T2 0
T1
y 1 0 0X
0
k2 T2 1 T1
x1 x2 x3
0
0
k1 T1
u
系统
二、由系统机理建立状态空间描述
• 步骤：
– 1)根据系统的机理建立相应的微分方程或 差分方程；
为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实 现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极 点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况， 所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的 维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为 最小实现。
本节先研究SISO系统。
n阶SISO控制系统的时域模型为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bmu(m) bm1u(m1) b1u b0u
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
[解]：
图
1) 选择状态变量
两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量， 且两者是独立的。
2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：
u1
L1
di1 dt
(i1
i2 )R1
u2
左回路
(i1
i2 )R1
u2
L2
di2 dt
i2 R2
右回路
uA (i1 i2 )R1 u2
系统的传递函数为：
W
(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y
cx
du
可实现的条件： m≤n
当系统传递函数中m=n时，即
W
(s)
bnsn bn1sn1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
质量块受力图如下：
k1 y1
k2( y2 y1 )
M1 y1
M1
M2
B1 y1
B2( y2 y1 )
f
M2 y2
则有：M1y1 B1 y1 k1 y1 k2( y2 y1 ) B2( y2 y1) 及：M2y2 B2( y2 y1) k2( y2 y1) f
将所选的状态变量 x1 y1, x2 y2 , x3 y1 v1, x4 y2 v2
代入上式并整理出状态方程得：
x1 x3
状态方程：
x2
x3
x4 k1 k2
M1
x1
k2 M1
x2
B1 B2 M1
x3
B2 M1
x4
x4
k2 M2
x1
k2 M2
x2
B2 M2
x3
1 M2
f
输出方程：
y1
y2
x1 x2
写成矩阵形式：
0
X
0 k1
k2
M1
k2 M1
整理得：
di1 dt
di2 dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u1
i i u R1
L2 1
R1 R2 L2 2
1 L2 2
1 L1
u2
uA i1R1 i2R1 u2
3）状态空间表达式为：
i1 i2
LR21RL11
R1 L1 R1 R2 L2
i1 i2
1 L1
0
1 L1
0
0 k2
M1 k2
M2
1
0 B1 B2
M1 B2
M2
0
1 B2 M1
0
X
0
0
0 1 M2
f
x1
y
1 0
0 1
0 0
0 0
x2 x3
x4
化输入-输出描述为状态空间描 述及其几种标准形式
对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状 态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空 间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不 同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。