随机变量的方差

参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材
厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗
拉强度指标，其分布列如下：
举一反三
1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得 奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只
有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对 1 1 问题A、B的概率依次为 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你 2 3 获得奖金的数额ξ的分布列及期望值Eξ.
1 8 28 109 E( X ) 1 2 3 . 5 45 45 45
1．(2010· 河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的 招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格 就 签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约．设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不
平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.
0 推论：常数的方差为_______.
均值的性质
(1) E (aX b) aEX b
(2)
E (aX bY ) aEX bEY
对随机变量X的均值(期望)的理解：
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
影响．求：
(1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望．
解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A， 则P(A)＝ (2)设“恰有2人签约”为事件B， “甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；
“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；
则：B＝B1＋B2 P(B)＝P(B1)＋P(B2)
2
( xn E )2 pn
E ( E )
2、随机变量的标准差： 3、方差的性质： (1) D(a b) a 2 D
D
(2) 若服从两点分布，则D p(1 p) (3) 若 ~ B(n，p)，则D np(1 p)
1.已知随机变量X的分布列为: X 求EX与DX的值。
2、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1、 X2的分布列如下：
9 10 X1 8 P 0.2 0.6 0.2
试比较两名射手的射击水平.
X2 8 P 0.4
9 0.2
10 0.4
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1： 若 a b, 则 E aE b ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
X Y
1 51
2 48
3 45
4 42
两注作物“相近”：它们之间的直线距离不超过1. (1)从三角形内部和边界上分别随机选一株作物，求它们“相 近”的概率； 4 (2)从所种作物中随机选一株，求它的年收 获量Y的分布列; (3)求Y的期望和方差。
0
4
9、现对甲项目每投资10万元，一年后收益是1.2万元、1.18万
12、袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随 机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时 即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求EX和DX.
8、如图所示的直角边长为4的三角形地块的每个格点(横、纵 直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物， 一株作物的年收获量Y(单位：kg)与它“相近”作物株数X之间 的关系如下：
1 1 1 元、1.17万元的概率分别为 ， ， ；乙项目的利润与产品价 6 2 3
格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0<p<1),乙
项目产品价格在一年内进行2次独立调整，X为乙项目产品价格
在一年内下降的次数，对乙项目没投资10万元，X取0,1,2时， 一年后相应的利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元。随机变
6.若随机变量服从二项分布，且E=6， D =4,求此二项分布
7、随机变量X的分布列如下： X P －1 a 0 b 1 c ，求D(X)的值。
其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝
1 8、已知 3 ，且 D 13, 则 D 8
X P －1 0.5 0 1-2q 1
1 2 3 0 P 0.3 0.3 0.2 0.2
1 2 0 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
5、有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1 乙单位不同职位月工资X2/元 1200 0.4 1000 1400 0.3 1400 1600 0.2 1800 1800 0.1 2200
解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额ξ的可取值为 0,3(万元)，9（万元）. ∵P（ξ=0）= 1 1 1 P（ξ=9）= 2 3 6
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数 为 x ，则这组数据的方差为： 1 2 S [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润。
(1)求 、 的分布列和期望； (2)当 E E 时，求p的取值范围。
10、某商场有单价分别为18元/kg， 24元/kg， 36元/kg的三种 水果，为了利于销售，将这三种糖按a：2：1( a N )的比例混 合,混合后价格不能超过23元/kg但也不能低于20，求a的值。 11、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、 二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次 品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X． （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%， 一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？
3 0.2
4 0.1
求D和σ.
E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 解：
D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
P
1 0.3
2 0.7
2.已知 X ~ B(100， 0.5)，则EX=___,DX=___, σX=__.E(2X-1)=_, D(2X-1)=____，σ(2X-1)=_____ 3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连 续取出200件商品，设其次品数为X，求 EX 和 DX。 4、甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为 ，其分 布列为
方差反映了这组数据的 波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：

P
x1
p1
p2
x2
· · · · · ·
2
pi
xi
· · · xn · · · pn
( x2n E ) pn
则称 D ( x1 E )2 p1 称
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论 :
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a D ⑵ 若 ~ B( n, p)，则 D npq
2
(其中q 1 p)
小结：
1、随机变量的方差：
D ( x1 E )2 p1
( xi E )2 pi
2 ( xi E ) pi
E ( E ) 为随机变量的方差.
D
为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，
它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越
集中于均值.
1. 已知随机变量的分布列
P
0 0.1
1 0.2
2 0.4
(3)设X为签约人数．
P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= X的分布列如下：
X P
0
1
2
3
4
5 20 24 16 16 20 E( X ) 0 1 2 3 4 . 81 84 81 81 81 9
(2010· 贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标
7、随机变量X的分布列如下：
q2
,求D(X)的值。
9、编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位， 每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X。 (1)求随机变量X的概率分布列； (2)求随机变量X的期望与方差. 10、设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3 次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. (1)求X的分布列； (2)求X的均值E(X)和方差D(X). 11、一盒中装有零件5个，其中有3个正品，2个次品，从中任取 一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得 正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差．
一、离散型随机变量的均值(数学期望)
wk.baidu.com
X
P
x1
x2
p1
p2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、离散型随机变量均值的线性性质
E (aX b) X Ea
X
b
X ~ H (n，M，N )
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
, DX 2 112000 解： EX 1 1400 , EX 2 1400 DX1 40000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力 很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
再回顾：两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DX p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p)
，则 DX np(1 p)
两种特殊分布的均值
（1）若X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则 EX np
方差的性质
D(aX b) a2 DX
(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和
（1）利用古典概型易求. （2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望
公式.
【解】 P(A)= ∴n＝2.
(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，
(2)X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=
P(X=2)= P(X=3)=
∴X的概率分布列为： X P 1 2 3
(2010· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共
10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否 接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产 品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这 箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且 用户拒绝接收这箱产品． (1)若这箱产品被用户接收的概率是 数学期望． ，求n的值；
n M N
三、两点分布与二项分布的均值
X服从两点分布 X ~ B(n，p)
E(X)
p
np
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1 的分布列如下：
、X2
、
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
试比较两名射手的射击水平.
X2 8 P 0.4
9 0.2
10 0.4
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）