n阶行列式及其计算 章节讲解

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如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
2 3
1 6
0
17
如:用三角法计算三阶行列式: 注意要零保护
0 1 1
1 0 1
5.D 2
3
2
1
c1 c2 3
2 2
4 3 4
2
3 4 4
列虚乘
实加
1
c+kc c3 c1 2 3
01 0
1
1 1 c3 c2 2 3
00 10
3 2 1
3 2 3
211 3 6 下三角
2020/11/18
r3 r1
2020/11/18
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例11-1-2.2
1 2 1 0
0 0 1 0
2 D
1
3 1
1 1
1c2 2c3 3 5
1 c1 c3 0 1
1 1 1 1
虚乘
01 1 2
13 1 2
实加
3
4
a1 j A1 j a13 A13 0
5 1
1
r1 3r3
0
4
7
1 0 1 1
j 1
13 2
13 2
3
4 7
i1 ai1Ai1 a31A31 1
11
1
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20
例11-1-2.3
r2 2r1 1 2 1 0
4
解：原式 r3 r1
0
0
1 3 1 ai1 Ai1 a11 A11
1 0 1
i 1
虚乘 实加
011 2
1 1
3 0
1 1
c1 c3
2 3 00
1 1
112
27
例11-1-2.5 利用行列式性质计算行列式
1 x 1 1 1 x 1 0 1
（1）
1 1 x 1 1 x 1 x 0 1
D
（1）
1 1 1 y 1 0 1 y 1
1 1 1 1 y 0 1 y 1 y
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
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2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
(1).定义: 在n阶行列式D中, (k阶)子式N:任选k行k列相交处元素
构成的行列式. (aij的)余子式M:划去aij所在行、列后,
剩余元素构成的行列式. (aij的)代数余子式A:M带上N的符号.
Aij （1）i j Mij 思考题 Mij ?
aij所在的行标
aij所在的列标
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a21
x1
a22 x2
...................
a2n
xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
第j列
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
a11 b1 a1n a21 b2 a2n
Dj
an1
特别地n=1时：一阶行列式的值等于其元素本身即
D1 a a
那么n阶行列式
a11
Dn
a21
an1
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如
a12 a1n 何
a11
a22
a2n
表 示
ai1
出
a an2 ann ij an1
如何计算呢？
a1 j
aij
anj
a1n ain ann
4
余子式、代数余子式
后加到另一行（列）值不变。
符号规则 行用r
a11
列用c ai1
D
a j1
a12
ai2
k
aj2
a1n
a11
a12
a1n
ain
ai1
ai 2
ain
a jn
a j1 kai1 a j2 kai2 a jn kain
an1 an2 ann
an1
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
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推论1：某行（列）为零值为零
推论2：两行（列）成比例值为零 证明：由推论及性质3可证
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4.乘加法则：某行（列）乘以数k
解：按列展开降阶
D a11 A11 a11a22 A22 a11a22 an1n1 An1n1
a11 a22 an1n1 ann a11 a22 an1n1ann
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结论：上、下三角、对角行列式的值都等于
主对角线元素之积！这提供了一种简便
常用的行列式计算方法。
a11 a12 a1n a11 0 0
0 D
a22 a2n a21 a22
0
0 0 ann an1 an2 ann
a11 0 0
0
a22
0 a11 a22 ann
0
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0 ann
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二、行列式性质
1.行列式转置相等
a11 a12 a1n
23
11 1 7
11 1 7
r4 3r2 0 r3 5r2 0
1 0
1 13
5
0 1 1
95 r3 2r4 0 0 3
（ 2）
5 19
虚乘
0 0（2） 5 38
0 0 5 38
实加
11 1 7
110 7
0 r4 2r3 0
1 0
1 3
5 r3 3r4 0
19
r2 r4
18
如:用三角法计算三阶行列式: 注意要零保护
0 1 1
2 3 2
6.D 2 3 2 r1 r2 0 1 1
4 3 4
4 3 4
行虚乘
实加
2 3 2
2 3 2
r+kr r3 2r1 0 1 1r3 3r2 0 1 1 6
03 0
00 3
2 2 3
思考：为何不用
或c2 c3 0 1 1 6 003
D D
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
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推论：两行（列）相同值为零
证明：互换相同的两行 有D D，故D 0。
3.某行（列）的公因子可外提
a11 a12 a1n
4 1 2 3 r2 2r1 0
111
1 2 1 （1） 3
1 2 1
3 2 1
11 1 1
11 1 1
r4 3r210 0 r3 r2 0
1 0
2 4
1
0
0 r4 r310 0
1 0
2 4
1 0 160
0 0 4 4
0 0 0 4
注意：本例将化三角阵的方法具有普遍应用性
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an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
0
1 0
0 0
5 19
0 3 0 1（1） 0 r1 r4 0 0 1 0
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24
110 7
0 1 0 5
r3 r4 0 0 1 0 19
0 0 0 19
11 1 7
或r4
5 13
r
0 0
0
1 0 0
1 13
0
5
95 19 19
13
注: 本例也可用“列”变换简化运算，还可以用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1
1 1
0
例11-1-1.7 1 2 3 4
10 10 10 10
解：
2 D
3
3 4
4 1
1 r1 r2 2
r3
r4
2 3
3 4
4 1
1 2
4123
4123
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26
1111
1
（ 2） （ 3） （ 4）
2 3 4 1 r 4r 4
1
0
10 3
4
1
2 r3 3r110 0
更简单灵活的其他各种变换进行计算，也不
必拘泥于植数“1”造零“0”;但无论用那种
方法计算，行列式的结果是唯一的。
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例11-1-1.5
2012 2013 2014 （1）
D 2015 2016 2017 （1） 2018 2019 2020
2012 1 1
解：c2 c1 2015 c3 c2 2018
an2
ann
注意：乘加法则的实质是“虚乘”“实加”，
即被加行（列）改变，被乘行（列）不变。
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三、利用性质计算行列式 要点
1.目标：某行（列）尽可能多化零，或化行列式为上（下） 三角形、对角形行列式计算
2.手段：利用行列式性质，植数“1”造零“0”;行0用列
变换,列0用行变换；行变换时一行一行的写，列变换时一
现按第一列展开
1 1
A21
3
1 4
1 1
A31 3
1 2
3
2.D 0 2 4 6 ai1 Ai1 a11 A11 a21 A21 a31 A31 i 1
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例11-1-2.1计算上三角行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22 a2n
0 0 ann
A13 M13 6 A33 M33 2
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拉普拉斯展开式
2.定理:n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和。 思考如何将其翻译成数学符号呢？
0 D 2
4
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n
11-1-2.4计算行列式
虚乘 实加
4 125
解：三角法
1 202 D
10 5 2 0
1 117
r1
r4
1 117
（1） （10）（ 4）
1 202 10 5 2 0 4 125
r4 4r1 r3 10r1 r2 r1
1
0 0 5
0
1 1 5 3
17
1 5
3
8
70
2 23
2020/11/18
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
4
2 4
0
A13
2 4
4 3 4
3 6
3
3
1.D a1 j A1 j a11 A11 a12 A12 a13 A13 0 0 6 6 j 1
列一列的写，先写不变，再计算要变的。
3.原则：灵活运用行、列的各种变换，化简行列式
符号规则 行用r
注意：用性质计算行列式，应尽量做加法不做 列用c
减法，避免分数运算，以减少运算过程中的
错误。运算过程可用箭头示意，如例题。
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如:用综合法计算三阶行列式: 找零多的行或列
0
11 1
31 2
3
a2 j A2 j a23 A23
j 1
2
3
3 11
1
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21
虚乘 实加
4 125
4 7 2 3
7 2 3
1
2
0
2 c4 2c1 1
10
0 15
0 2
0 15
20
2
20
10 5 2 0 c2 2c1
1 1 5
1 1 1 5
1 117
5 0 13
r2 2r3
0 10
3.D 2 3 2 c3 c2 2 3 1
符号规则
4 3 4
4 3 1
行用r 列用c
3
21
a1 j A1 j
j 1
a12 A12
4
6 1
0 1 1
0 1 1
4.D 2 2 3 2 r3 2r2 2 3 2
4 3 4
03 0
3
1
2020/11/i18 1
ai1 Ai1
a21 A21
§11.1-2 行列式
一. n阶行列式
二、行列式的展开（降阶）符号规则
行用r
三、行列式性质
列用c
四、利用性质计算行列式
降阶 Aij （1）i jMij n aik Aik
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k 1 1
一、 n阶行列式
引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
5 13
13 0 30
19
r1 2r3
13 30
1 1 5
虚乘 实加
2 1 0 9
r1 2r4 1 2 0
2
2 1 9 c2 2c1 2 5 13
1 2 2 1 0 0
r3 2r4 8 3 0 14
8 3 14 c3 2c1 8 13 30
111 7
5 13
19
13 30