自动控制原理课后答案4 西工大版
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第4章习题及解答
4-1 系统的开环传递函数为
)
4)(2)(1()()(*
+++=
s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益*
K K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件
=∠)()(11s H s G
=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j j
ππ
π
π
−=−
−
−
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。将代入幅值条件：
1s 14
31231131)(*
11=++−⋅++−⋅++−=
j j j K s H s G ）（
解出 ： ， 12*
=K 2
38*==K K
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ )
15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G
⑵ )
3)(2()
5()(*+++=
s s s s K s G ⑶ )
12()
1()(++=
s s s K s G
解 ⑴ )
2)(5(10)15.0)(12.0()(++=
++=
s s s K
s s s K s G 系统有三个开环极点：01=p ,22−=p ,53−=p
① 实轴上的根轨迹：
(]5,−∞−, []0,2−
② 渐近线： 025733
(21),33a a
K σππϕπ−−⎧==−⎪⎪⎨+⎪==±⎪⎩
③ 分离点：
02
1511=++++d d d 解之得：，88.01−=d 7863.32−=d (舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 010
107)(2
3
=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨
⎧==7
10K ω
与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-2(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：
[]3,5−−,
[]0,2−② 渐近线： 023(5)02(21)22
a a
K σππϕ−−−−⎧==⎪⎪⎨+⎪==±⎪⎩
③ 分离点： 5
131211+=++++d d d d 用试探法可得
886.0−=d 。根轨迹如图解4-2(b)
⑶ )
2
1(2)
1()
12()1()(++=++=
s s s K s s s K s G
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,−∞−, []0,5.0−② 分离点：
1
15.011+=++d d d 解之得：707.1,293.021−=−=d d 。根轨迹如图解4-2(c)所示。 4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()
2()(*j s j s s K s G −++++=
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G −++++=
⑶ )208()()(2++=
∗
s s s K s H s G
⑷ )
22)(3()
2()()(2
++++=∗s s s s s K s H s G 解 ⑴ )
21)(21()
2()(*j s j s s K s G −++++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： (]2,−∞−
② 分离点：21211211+=
−++++d j d j d
解之得：
23.4−=d
③ 起始角：
o o o o 435.15390435.631801
=−+=p θ
由对称性得另一起始角为 。 o
435.153−根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G −++++=
系统有三个开环极点和一个开环零点。
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
[]0,20−② 渐近线：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±=−+==−−−+−+−−=213)12(01
3)20()1010()1010(ππϕσk j j a a ③ 起始角： °=−−+=01359045180o
o
o
o
θ根轨迹如图解4-3(b)所示。
⑶ )208()()(2
++=∗
s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹： (]0,∞−
② 渐近线：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±=+=−=−−++−+=πππϕσ,33)12(3
83)24()24(0k j j a a ③分离点：
02
41
2411=−+++++j d j d d 解之得：33.3,221−=−=d d 。
④与虚轴交点：
∗+++=K
s s s s D 208)(2
3
把ωj s =代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
[][]⎩⎨⎧=−==−=∗0
20)(Im 0
8)(Re 3
2ωωωωωj D K j D 解得：
⎩
⎨⎧==∗00
K ω⎪⎩⎪⎨⎧=±=∗
160
5
2K ω ⑤起始角：由相角条件 ，。
o
632−=p θo
633=p θ