大学统计学第七章练习题及答案

第7章 参数估计
练习题
7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？
解：⑴已知25,40,5===x n σ
样本均值的抽样标准差79.04
10
40
5≈=
=
=
n
x σ
σ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，4
10
=
x σ，%951=-α 96.1025.02
==∴Z Z α
边际误差55.14
10
*
96.12
≈==n
Z E σ
α
7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；
（2） 在95%的置信水平下，求边际误差； （3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。

解.已知.根据查表得2/αz =1.96 （1）标准误差：14.249
15==
=n
X σ
σ
（2）．已知2/αz =1.96
所以边际误差=2/αz *
=n
s 1.96*49
15=4.2
（3）置信区间：)(2.124,8.11596.149
151202
=*±
=±n
s Z x α
7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差85414=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。

96.12
=∂Z
144.16741100
85414*
96.12
==⋅
∂n
Z σ
856.87818144.16741104560.
2
=-=-∂n
Z x σ
144.121301144.16741104560.
2
=+=+∂n
Z x σ
置信区间：（87818.856，121301.144）
7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。

（1） 构建μ的90%的置信区间。

（2） 构建μ的95%的置信区间。

（3） 构建μ的99%的置信区间。

解；由题意知100=n , 81=x ,12=s .
（1）置信水平为%901=-α，则645.12
=αZ .
由公式n
s z x ⨯
±2
α974.181100
12645.181±=⨯
±=
即(),974.82,026.79974.181=± 则的的%90μ置信区间为79.026~82.974 （2）置信水平为%951=-α， 96.12
=αz
由公式得n
s z x ⨯
±2
α=81352.281100
12
96.1±=⨯
± 即81352.2±=（78.648，83.352）， 则μ的95%的置信区间为78.648~83.352
（3）置信水平为%991=-α，则576.22
=αZ .
由公式±x n
s z ⨯
2
α=096.381100
12576.281±=⨯
±=
即81 3.1±
则的的%99μ置信区间为
7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1）25=x ，5.3=σ，60=n ，置信水平为95%。

（2）6.119=x ，89.23=s ，75=n ，置信水平为98%。

（3）419.3=x ，974.0=s ，32=n ，置信水平为90%。

⑴,60,5.3,25===n X σ置信水平为95% 解：,96.12
=αZ
89.060
5.39
6.12
=⨯
=n
Z σ
α
置信下限：-X 11.2489.0252
=-=n
Z σ
α
置信上限：+X 89.2589.0252
=+=n
Z σ
α
），置信区间为（89.2511.24∴
⑵。

，置信水平为，%9875n 89.23s ,6.119===X 解：33.22
=αZ
43.675
89.2333.22
=⨯
=n
s Z α
置信下限：-X 17.11343.66.1192
=-=n s Z α
置信上限：+X 03.12643.66.1192
=+=n
s Z α
），置信区间为（03.12617.113∴
⑶x
=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%
根据t=0.1，查t 分布表可得645.1)31(05.0=Z .283.0)(2/=∂n
s Z
所以该总体的置信区间为
x ±2/∂Z （
)n
s =3.419±0.283
即3.419±0.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为3.136~3.702.
7.6 利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间。

（1） 总体服从正态分布，且已知500=σ，15=n ，8900=x ，置信水平为95%。

（2） 总体不服从正态分布，且已知500=σ，35=n ，8900=x ，置信水平为95%。

（3） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为
90%。

（4） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为
99%。

（1）解：已知500=σ，15=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12
=αz
)9153,8647(15
50096.189002
=⨯
±=±n
z x σ
α
所以总体均值μ的置信区间为（8647，9153）
（2）解：已知500=σ，35=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12
=αz
)9066,8734(35
50096.189002
=⨯
±=±n
z x σ
α
所以总体均值μ的置信区间为（8734，9066）
（3）解：已知35=n ，8900=x ，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差
∵置信水平1—α=90% ∴645.12
=αz
∴置信区间为)9039,8761(35
500645.1812
=⨯
±=±n
s z x α
所以总体均值μ的置信区间为（8761，9039）
（4）解：已知35=n ，8900=x ，500=s ，由于总体方差未知，但为
大样本，可用样本方差来代替总体方差
置信水平1—α=99% ∴58.22
=αz
∴置信区间为)9118,8682(35
50058.289002
=⨯
±=±n
s z x α
所以总体均值μ的置信区间为（8682，9118）
7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h ）。

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

解：已知：3167.3=x 6093.1=s n=36 1.当置信水平为90%时，645.12
=∂z ，
4532.03167.336
6093.1645
.13167.32
±=±=±∂
n
s z x
所以置信区间为（2.88，3.76）
2.当置信水平为95%时，96.12
=∂z ，
所以置信区间为（2.80，
3.84）
3.当置信水平为99%时，58.22
=∂z ，
7305.03167.336
6093.158
.23167.32
±=±=±∂
n
s z x
所以置信区间为（2.63，4.01）
7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。

求总体均值95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=8为小样本，05.0=α，365.2)18(2
05.0=-t
5445
.03167.336
6093.196
.13167.32
±=±=±∂
n
s z x
根据样本数据计算得：46.3,10==s x 总体均值μ的95%的置信区间为： 89.2108
46.3365.2102
±=⨯
±=±n
s t x α
，即
（7.11，12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km ）数据见Book7.9。

求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=16为小样本，α=0.05，131.2)116(2/05.0=-t 根据样本数据计算可得：375.9=x ，s=4.113 从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：
191
.2375.914
113.4131.2375.92
/±=⨯
±=±n
s t x α，
即（7.18，11.57）。

7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm ，标准差为1.93cm 。

（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

解：已知,103=σn=36, x =149.5,置信水平为1-α=95%，查标准正态分布表得
2/αZ =1.96.
根据公式得： x ±2
/αZ n
σ=149.5±1.9636103⨯
即149.5±1.9636
103⨯
=（148.9，150.1）
答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1
（3） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。

如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个
随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g 。

现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g ）见Book7.11。

已知食品重量服从正态分布，要求：
（1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

（2） 如果规定食品重量低于100g 属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

(1)已知:总体服从正态分布，但σ未知。

n=50为大样本。

α=0.05，2/05.0Z =1.96 根据样本计算可知 X =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的95%的置信区间为
45.032.10150/63.1*96.132.101/2/±=±=Z ±X n s α
即（100.87，101.77）
（2）由样本数据可知，样本合格率：9.050/45==p 。

该批食品合格率的95%的置信区间为： 2
/αZ ±p n p p )1(-=0.950
)
9.01(9.096.1-±=0.9±0.08，即（0.82，0.98） 答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）
7.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。

根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；
x =16.13 σ=0.8706 E= Z 2
α
n
σ=2.58*58706.0=0.45
置信区间为x ±E 所以置信区间为（15.68，16.58）
7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13（单位：h ）。

假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区
间。

解：已知x =13.56 =σ7.80 1.0=α n=18 E=2
αZ *n σ
置信区间=[x -2
αZ n σ
, x +2
αZ n σ
]
所以置信区间=[13.56-1.645*(7.80/18), 13.56+1.645*(7.80/18)] =[10.36, 16.76]
7.14 利用下面的样本数据构建总体比例π的置信区间。

（1）44=n ，51.0=p ，置信水平为99%。

（2）300=n ，82.0=p ，置信水平为95%。

（3）1150=n ，48.0=p ，置信水平为90%。

（1）44=n ，51.0=p ，置信水平为99%。

解：由题意,已知n=44, 置信水平a=99%, Z 2/a =2.58 又检验统计量为： P ±Z
n
p p )
1(-，故代入数值计算得， P ±Z n
p p )
1(-=（0.316，0.704）， 总体比例π的置信区间为（0.316，0.704）
（2）300=n ，82.0=p ，置信水平为95%。

解：由题意,已知n=300, 置信水平a=95%, Z 2/a =1.96 又检验统计量为： P ±Z
n
p p )
1(-，故代入数值计算得， P ±Z n
p p )
1(-=（0.777，0.863）， 总体比例π的置信区间为（0.777，0.863）
（3）1150=n ，48.0=p ，置信水平为90%。

解：由题意,已知n=1150, 置信水平a=90%, Z 2/a =1.645 又检验统计量为： P ±Z
n
p p )
1(-，故代入数值计算得， P ±Z n
p p )
1(-=（0.456，0.504）， 总体比例π的置信区间为（0.456，0.504）
7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。

其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。

求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：由题意可知n=200，p=0.23
（1）当置信水平为1-α=90%时，Z 2/α=1.645 所以=-±n p p z p )1(2
/α200
)
23.01(23.0645.123.0-⨯±=0.23±0.04895 即0.23±0.04895=（0.1811，0.2789）， （2）当置信水平为1-α=95%时，Z 2/α=1.96
所
以
=-±n p p z p )1(2
/α200
)23.01(23.096.123.0-⨯±=0.23±0.05832 即0.23±0.05832=（0.1717，0.28835）；
答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为95%的置信区间为（17.17%，28.835%）
7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。

他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？
解：已知
1000=σ,E=1000,%991=-α,58.22/=αz
由公式2
2
2/2*E z n σα=可知n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167
答：置信水平为99%，应取167个样本。

7.17 要估计总体比例π，计算下列个体所需的样本容量。

（1）02.0=E ，40.0=π，置信水平为96%。

（2）04.0=E ，π未知，置信水平为95%。

（3）05.0=E ，55.0=π，置信水平为90%。

（1）解：已知02.0=E ， ,40.0=π， 2/αZ =2.05 由
22
2//)1(E -Z =ππαn 得
2
2
02.0)4.01(40.005.2÷-⨯=n =2522 答：个体所需的样本容量为2522。

（2）解：已知04.0=E ， 2/αZ =1.96
由
22
2//)1(E -Z =ππαn 得
=÷⨯=22204.05.096.1n 601
答：个体所需的样本容量为601。

（3）解：已知05.0=E ， 55.0=π， 2/αZ =1.645
由
22
2//)1(E -Z =ππαn 得
2205.045.055.0645.1÷⨯⨯=n =268
答：个体所需的样本容量为268。

7.18 某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。

采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。

（1） 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。

（2） 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？ （1）已知：n=50 96.12
=αZ
根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%
根据（7.8）式得：
50
%)
641%(64)1(96
.1%64--±=±
n
P P P
即 %)63.76%,37.51(%63.12%64=± 答：置信区间为（51.37%，76.63%）
（2）已知%80=π %10=E 96.12
=αZ
则有：621.0)
8.01(8.0*96.1)1(*2
2222≈-=E -=
ππαZ n 答：应抽取62户进行调查
7.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差σ的90%的置信区间。

（1）21=x ，2=s ，50=n 。

（2）3.1=x ，02.0=s ，15=n 。

（3）167=x ，31=s ，22=n 。

解：已知%901=-α，95.02
1,05.02
%,
10=-
==α
α
α 1) 查表知67)1(22
=-n αχ，34)1(2
2
1=--n αχ
由公式
22
12
2
2
2
2
)1()1(α
α
χσχ--≤
≤-s n s n
得34
2*)150(672*)150(2
2-≤
≤-σ，解得（1.72，2.40） 2) 查表知6848.23)1(2
2=-n αχ，57063.6)1(22
1=--
n α
χ
由公式
22
12
2
2
2
2
)1()1(α
α
χ
σχ-
-≤
≤-s n s n
得57063
.602.0*)115(6848.2302.0*)115(2
2-≤
≤-σ，解得（0.015，0.029） 3) 查表知6705.32)1(2
2=-n αχ，5913.11)1(22
1=--
n α
χ
由公式
22
12
2
2
2
2
)1()1(α
α
χ
σχ-
-≤
≤-s n s n
得5913
.1131*)122(6705.3231*)122(2
2-≤
≤-σ，解得（24.85，41.73）
7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。

为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。

为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min ）见Book7.20。

（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

（2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

（3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？
7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：
来自总体1的样本
来自总体2的样本
141=n 72=n 2.531=x 4.432=x
8.9621=s
0.10222=s
（1） 求21μμ-的90%的置信区间。

（2） 求21μμ-的95%的置信区间。

（3） 求21μμ-的99%的置信区间。

7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下
表：
来自总体1的样本
来自总体2的样本
251=x 232=x
1621=s
2022=s
（1） 设10021==n n ，求21μμ-95%的置信区间。

（2） 设1021==n n ，2
22
1σσ=，求21μμ-的95%的置信区间。

（3） 设1021==n n ，2
22
1σσ≠，求21μμ-的95%的置信区间。

（4） 设20,1021==n n ，2
22
1σσ=，求21μμ-的95%的置信区间。

（5） 设20,1021==n n ，2
22
1σσ≠，求21μμ-的95%的置信区间。

7.23 Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。

（1） 计算A 与B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d 和d s 。

（2） 设1μ和2μ分别为总体A 和总体B 的均值，构造21μμμ-=d 的95%的置信区间。

7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信
心测试，得到的自信心测试分数见Book7.24。

构建两种方法平均自信心得分之差
21μμμ-=d 的95%的置信区间。

7.25 从两个总体中各抽取一个25021==n n 的独立随机样本，来自总体1的样本比例为%401=p ，来自总体2的样本比例为%302=p 。

（1） 构造21ππ-的90%的置信区间。

（2） 构造21ππ-的95%的置信区间。

7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。

当方差较大时，需要对工序进
行改进以减小方差。

两部机器生产的袋茶重量（单位：g ）的数据见Book7.26。

构造两个总体方差比2
22
1σ的95%的置信区间。

7.27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。

如果要求95%的置信区间，若要求边际误差不超过4%，应抽取多大的样本？
解：已知P=2% E=4% 当置信区间1-α为95%时
2
αZ =
n
p p )1(-∆P n=
2
22
)
1(p
p p ∆
-⨯Z α
1-α=0.95 2
αZ =025.0Z =1.96
N=
222
)
1(p
p p ∆-⨯Z α=2
204.098
.002.096.1⨯⨯=47.06
答：所以应取样本数48。

7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。

根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？
解：已知120=σ，20=E ，当05.0=a 时，96.12/05.0=z 。

应抽取的样本量为：13920120*96.1)(2
2
22222/≈==
E z n σα
7.29 假定两个总体的标准差分别为121=σ，152=σ，若要求误差范围不超过5，
相应的置信水平为95%，假定21n n =，估计两个总体均值之差21μμ-时所需的样本量为多大。

7.30 假定21n n =，边际误差05.0=E ，相应的置信水平为95%，估计两个总体比例之差为21ππ-时所需的样本量为多大。