【新教材】新人教A版必修一 正弦、余弦函数的图象 学案

2019—2020学年新人教A版必修一正弦、余弦函数的图象学案
正弦曲线、余弦曲线
（1)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin x(x∈R）和余弦函数y＝cos x（x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．
(2)“五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，0)，错误!，(π，0），错误!,（2π，0)．
画余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象，五个关键点是（0，1），错误!，(π，－1）,错误!,(2π,1)．
(3）正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin错误!,要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移错误!个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？
[提示］作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析
（1）正弦曲线的图象向左右无限延展．（）
（2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同,只是位置不同．（）
（3）函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．( )
[答案]（1)√(2）√（3)√
2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．[答案］0，错误!，错误!，错误!，π
3．不等式cos x＜0,x∈［0，2π］的解集为________．
［答案]错误!
利用“五点法”作简图
【例1】用“五点法"作出下列函数的图象．
(1）y＝sin x－1，x∈［0，2π]；
（2)y＝2＋cos x，x∈［0，2π］；
（3）y＝－1－cos x，x∈［0，2π］．
思路点拨：先分别取出相应函数在[0，2π]上的五个关键点，再描点连线．[解］(1)列表如下：
x 0错误!π错误!π2π
sin x 010－10 sin x－1－10－1－2－1 描点连线，如图①所示．
①
（2)列表如下：
x 0错误!π错误!
π
2π
cos x 10－10 1
2＋cos x 3212 3 描点连线，如图②所示．
②
(3）列表：
x 0错误!π错误!2π
cos x 10－10 1 －1－cos x －2－10－1－2
③
用五点法画函数y ＝A sin x ＋b （A ≠0）或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在［0，2π］上的简图的步骤如下
(1）列表：
x
0 错误! π 3π2 2π sin x (或cos x ）
y
（2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0，y )，错误!,(π，y )，错误!，(2π,y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来,不要用线段进行连结．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y ＝3＋2cos x 在一个周期内的图象． ［解］ 按五个关键点列表;描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x
0 错误! π 3π
2 2π cos x 1 0 －1 0 1 3＋2cos x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】 利用正弦曲线，求满足1
2
＜sin x ≤错误!的x 的集合．
思路点拨：作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象,然后借助图象求解． ［解］ 首先作出y ＝sin x 在[0,2π］上的图象，如图所示,
作直线y＝错误!，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π］的交点横坐标为错误!和错误!;作直线y＝错误!，该直线与y＝sin x，x∈［0,2π］的交点横坐标为错误!和错误!。

观察图象可知，在［0,2π]上，当错误!＜x≤错误!,或错误!≤x＜错误!时，不等式错误!＜sin x≤错误!成立,
所以错误!＜sin x≤错误!的解集为错误!.
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：
(1)画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在［0，2π］上的图象；
(2)写出适合不等式的在区间[0，2π］上的解集；
(3)把此解集推广到整个定义域上去。

2．求下列函数的定义域:
(1）y＝错误!；（2）y＝错误!。

[解］（1）要使y＝错误!有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－错误!.
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝2sin x＋1的定义域为
错误!。

（2)要使函数有意义，必须满足sin x－cos x≥0。

在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π］内，满足sin x＝cos x的x为错误!，错误!,再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为
错误!
正、余弦函数图象的应用
［探究问题］
1．你能借助图象的变换作出y＝｜sin x｜的图象吗？试画出其图象．
提示：先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方（x轴上方的保持不变）即可得到y＝|sin x｜的图象，如图．
2．方程｜sin x｜＝a，a∈R在[0，2π］上有几解？
提示：当a＜0时，方程｜sin x|＝a无解；
当a＝0时，方程｜sin x|＝a有三解；
当0＜a＜1时，方程｜sin x|＝a有四解;
当a＝1时，方程|sin x｜＝a有两解；
当a＞1时，方程｜sin x|＝a无解．
【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
思路点拨：错误!―→错误!―→错误!
―→错误!
［解]建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π］的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点错误!，（1,0)，(10,1）并用光滑曲线连结得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题,也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.
3．函数f(x)＝sin x＋2｜sin x｜,x∈[0,2π］的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
［解］f(x)＝错误!的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
教师独具
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
（1)正、余弦函数图象的画法．
（2）利用正、余弦函数的图象解不等式．
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈［0,2π］与y＝cos x,x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈［0，2π］与x轴有三个交点：（0，0)，（π，0）,(2π，0），图象上有一个最高点错误!，一个最低点错误!；y＝cos x，x∈［0，2π]与x轴有两个交点：错误!，错误!，图象上有两个最高点：(0,1),(2π，1)，一个最低点（π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________（填序号）．
①（π，－1)；②（0,2)；③错误!;④（π，4)；⑤错误!。

①⑤[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，错误!，（π，4），错误!,（2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称．
x轴[在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象（略），可知它们关于x轴对称．]
3．sin x＞0,x∈[0，2π]的解集是________．
(0,π)［如图所示是y＝sin x，x∈［0，2π]的图象，
由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π］的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝错误!(0≤x≤2π)的简图．
[解］y＝错误!＝|cos x|(x∈[0，2π］)．
列表：
x 0错误!π错误!2π
cos x 10－10 1
|cos x|1010 1
1－sin2x 1010 1。