中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案

数值分析第三次作业及答案

1． （P201(4)）用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,

y y y ⎧+=⎨=⎩ 证明其近似解为2,2n

n h y h -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭并证

明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.x

y e -=

111112

1

110

00 [(,)(,)]

2(,)()

22222222 1,.

2,.lim l n n n n n n n n n n n n n n n

n n n h h

y y f x y f x y h

f x y y y y y y h h h y y y y h h h h y y h h n y nh x y +++++++-→=++=-⇒=+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⇒

===

= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

-⎛⎫

=⇒= ⎪+⎝⎭

=⇒=证：梯形公式为由因用上述梯形公式以步长经步计算到故有0022im lim 22x n

h

x h h h h e h h -→→--⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

2． (P202(6)) 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：

''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;

(0) 1.

y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨

⎨=⎩⎪=⎩ 12113224330.2

(,)

(,) 1.1()0.1 22221)(,) 1.11()0.11

2222

(,) 1.n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n h k f x y x y h h h h k f x y k x y k x y h h h h k f x y k x y k x y k f x h y hk x h y hk ===+=++=+++=++=++=+++=++=++=+++=解：令1123412

132431222()0.222

(22)0.2214 1.22140.02146

3/(1)

3(0.1)/(10.1)2)3(0.1)/(10.1)3(0.2)/(10.2)0.2

(6

n n n n n n n n n n

n n n n n n x y h

y y k k k k x y k y x k y k x k y k x k y k x y y k ++⎧⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪⎪++⎩=++++=++=+⎧⎪=+++⎪⎨=+++⎪⎪=+++⎩=+

123422).k k k +++

3． (P202(7)) 证明对任意参数t ，下列龙格库塔－公式是二阶的：

1

2312131();2

(,);

(,);((1),(1)).

n n n n

n n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧

=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩

'''2'

''

31'123'2'()()()()[(,())(,())(,())]23!

()[((,)(,)22

(,)(,)())((,)(,n n n n x n n y n n n n n n n n n x n n y n n n n n n x n n y h y x y x hy x f x y x f x y x f x y x h

h h

y y K K y f x y f x y th f x y thf x y O h f x y f x y ζ++=++++=++=+++

+++证：由一元函数的泰勒展开有

又由二元函数的泰勒展开有'22'

'32'

'311)(1)(,)(1)(,)())]

(,)[(,)(,)(,)]()

2

(),(,())[(,())(,())(,())]()

2

()y n n n n n n n x n n y n n n n n n n n n n x n n y n n n n n n t h f x y t hf x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h y y x h y y hf x y x f x y x f x y x f x y x O h y x y +++-+-+=++++==++++为考虑局部截断误差，设上式有

比较与31111 ()()n n n R y x y O h t +++=-=两式，知其局部误差为故对任意参数，公式是二阶的。

4． (P203（11）) 导出具有下列形式的三阶方法：

'

''10112201122

()n n n n n n n y a y a y a y h b y b y b y +----=+++++

'''101122011221'10121201223''12121213 ()

()()()()[()()()]()()()(2)()(424)()(8312)2!3!n n n n n n n n n n n n n n n y y x y x a y x a y x a y x h b y x b y x b y x y x x y a a a y x a a b b b hy x h h a a b b y x a a b b y +----++==+++++=+++--+++++--+--++解：假设则将在处展开

'''

34(4)

512120121

2012

12121213()

(16432)()()

4!

1

21424183121

n x h a a b b y x O h a a a a a b b b a a b b a a b b ++--+++=⎧⎪--+++=⎪⎨+--=⎪⎪--++=⎩该公式的三阶方程为 取任一组满足方程组的参数均可。