第二章 资产组合理论与资本资产

当n=0时， LPM0的含义为低于目标水平T的概率水平；
当n=1时， LPM1的含义为收益率发生在目标水平T下平均可能 值与目标值之间的离差的距离； 当n=2时， LPM2的含义为收益率发生在目标水平T下，而目标 值之间的离差距离的平方的可能值。
风险度量方法的改进：VAR法

VAR=E(w)- W*



两基金分离定理（续）

当加入无风险资产时，两基金分离定理同样成立。
î ¡ ½ î ß ç Í Ð §¼ ±Ï ×Ð ·² ±½ º Ó Ð ¯ Ö ß 20.0% 18.0% 16.0% 14.0% 12.0% 10.0% 8.0% 6.0% 4.0% 2.0% 0.0% 0.0%
¤Æ Õ æ Ê Ô Ú Ê Ò Â
资产组合对风险的分散效应

设n种风险资产在资产组合中的比例是一样的，即有 Xi=1/n,(i=1,2, …,n),则组合的方差为： – σ2=∑∑(1/n)(1/n)cov(i,j) – =1/n2∑σii + 1/n2∑∑cov(i,j)
–

i,j=1,2,…,n且i≠j
（1）当n变得很大时，上式右端第一项趋于0； （2）定义协方差的平均值为
两基金分离定理

在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任何 两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合， 而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投 资组合都可以由这两个分离的点所代表的有效投 资组合的线性组合而成。 有效证券前沿可以由任意两个不同的有效前沿证 券线性组合而成。
两基金分离定理的证明见“王一鸣.数理金融经济学 .北京大 学出版社，2000年6月：69-70页” 或“宋逢明.金融工程原理：无套利均衡分析 .清华大学出版 社，2000年9月：48-49。”

收益率
– R=[Dt+(Pt+Pt-1)]/Pt
Hale Waihona Puke Baidu
收益率的期望值
– E(R)=∑RiPi i=1,2,…,n – Ri:第i种可能的收益率；Pi : 收益率Ri发生的概率(∑Pi =1)

收益率的方差
– σ2 =∑[Ri-E(R)]2Pi i=1,2,…,n
变差系数
– CV=σ/E(R)
方差风险度量法：证券组合的收 益与风险度量
用矩阵表示： min0.5Wτ VW
{w} s.t. Wτ R=E(RP) Wτ 1=1
式中，R=(E[R1], E[R2], …, E[Rn])τ 1表示分量为1的n维向量
求解方法见“王一鸣.数理金融经济学.北京大学出 版社，2000年6月：66-70页”
方差—风险度量法存在的问题

（1）正态分布的假定
资本市场线（续）

公式
– E(rp)=rf+[E(rM)-rf]σp/σM – σp=ωM σM

资本市场线的含义：
– （1）资本市场也能达到均衡；
– （2） 当资本市场达到均衡时，任何不利用市场组合以及不进
行无风险借贷的其它所有组合都是无效组合； – （3）当资本市场达到均衡时，风险与收益成正方向变动，但 只有系统性风险才能获得风险补偿。

（2）起作用的是资产之间的协方差，而各资产间的协 方差有正有负，则它们会起相互抵消的作用，故资产 组合有分散风险的效应；

（3）因为平均的协方差不等于零，故各资产之间的协 方差不能完全抵消。
为什么 cov(i,j) 不等于零

因为各项资产的收益变动存在某种“同向性”， 这种“同向性”的风险是所有不同资产都同时 承受的，称之为系统风险。
(EM-rf)σp/σM
rf i σp
Ep
M
在点M，有 (Ei-EM)σΜ/(CiM-σΜ2)= (EM-rf)σp/σM
推导见“Sharpe.投资组合理论与资本市场.胡坚 译.机械工业出版社，2001年3月：107-111”
证券市场线(Security Market Line)

表达式一：
– Ei=rf+[(EM-rf)σiM]/σM2 表达式二：
资本市场线对金融工程的意义

不管投资者的收益/风险偏好如何，只需找到切 点M所代表的风险投资组合，再加上无风险证
券，就能为所有的投资者提供最佳的投资方案。

投资者的收益/风险偏好，只需反映在组合中无
风险证券所占的比重。
单个证券与风险资产市场组合
曲线iM在点M的斜率为
sM=(Ei-EM)σΜ/(CiM-σΜ2) 资本市场线的斜率为

– Ei=rf+βiM (EM-rf)
Ei Ei
EM
rf 0
M
EM rf
M
σM2
σiM
0
1.0
βiM
表达式一
表达式二
证券市场线（续）

在证券市场线上的投资组合是就风险和报酬而言的一 种均衡状态； 在均衡状态，只有系统性风险才能得到补偿。 – 当一资产的β系数大于1时，该项资产的风险补偿大于市场

（1） rf位置变动的涵义
– 证券市场线平移 – 证券市场线绕点rf旋转
EM M Ei
rf
0
βiM
（2）证券市场线的斜率为零说明投资者对风险无所谓，不对风 险资产要求风险补偿。这就是风险中性的情况 （3）证券市场线将证券分为防卫性证券(defensive securities) 和攻击性证券(aggressive securities)。
Cov(i,j)=1/(n2-n)∑∑cov(i,j) i,j=1,2,…,n且i≠j 则 1/n2∑∑cov(i,j)=(n2-n)/n2 cov(i,j) i,j=1,2,…,n且i≠j
当n变得很大时，此项趋于cov(i,j)
结论

（1）当投资组合含有多种风险资产时，个别资产的方
差将不起作用；

U3 U2 U1
如收益率服从正态分布，有
U=U(μ,σ 2)
∂U/∂μ＞0, ∂U/∂σ 2＜0

令U =U0 ，即U(μ,σ
2)
=U0为等效用曲线。
σP
有效证券前沿（有效集）

前沿证券组合(a frontier portfolio) 证券组合前沿 有效证券组合(efficient portfolios)
组合的风险补偿； 组合的风险补偿；
– 当一资产的β系数小于1时，该项资产的风险补偿小于市场
– 当一资产的β系数等于1时，该项资产的风险补偿等于市场
组合的风险补偿。

对于资本市场线来说，只有有效组合才落在其上面； 对于证券市场线来说，无论是有效组合还是非有效组 合，都落在其上。
证券市场线对金融工程的意义
– βiM(or βPM)<1，表明其系统风险小于市场组合的系统风险； – βiM(or βPM)>1，表明其系统风险大于市场组合的系统风险.
Markowitz最小方差模型
minσ 2=∑∑XiXjcov(i,j)
E(RP)=∑XiE(Ri) s.t ∑Xi=1，允许卖空 Xi≥0，不允许卖空
i,j=1,2,…,n

（2）当市场均衡时，对任何一种资产都不会有过度的 需求和过度的供给。
资本市场线 The Capital Asset Line
Expected Port_return
2.5% 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% 0% 1% 2% 3% 4% Standard Deviation of Port_return

（2）不能很好地反应“真实的风险感受”
风险度量方法的改进：
LPM(Lower Partial Moment)
minLPMn= ∑PP(T-RP)n
RP=-∞ E(RP)=∑XiE(Ri) s.t ∑Xi=1，允许卖空 Xi≥0，不允许卖空
T
n=0,1,2,… PP :证券组合收益率为的概率 T:目标水平
Philippe,Jorion.VAR:风险价值—金融风险新标准.张海鱼等 译.中信出版社。
Markowitz对投资者偏好的假设

不满足性
– Ep是好的：其他条件不变，更多优于更少。

厌恶风险
– σp是不好的：其他条件不变，更少优于更多。
投资者的等效用曲线

投资者效用函数
E[RP]
– U=U(E[RP],σP)
5.0%
10.0%
15.0% 20.0% ê ¼ î ±×²
25.0%
30.0%
35.0%
切点证券的构成

定理：切点所代表的资产组合是有风险资产的市场组合。
– 市场组合：由所有资产构成的组合，在这个组合中，各类资产 所占的比重和其总市值占市场所有资产的总市值的比例相同。

分析
（1）任何市场上存在的资产必须包含在M点所代表的 资产组合里；

可以对冲抵消的风险称为非系统性风险。
系统风险的度量

单证券的系统风险
– βiM=cov(i,M)/σM2
– Cov(i,M):证券i与市场组合的协方差； – σM2 :市场组合的方差

证券组合的系统风险
– βPM=∑XiβiM i=1,2,…,n

结论：
– βiM(or βPM)=1，表明其系统风险等于市场组合的系统风险；

有效证券前沿
最优投资组合
16.0% 14.0% 12.0% 10.0% 8.0% 6.0% 4.0% 2.0% 0.0% 0.0% î Å ¶ Ê é Ï ×Ó Í ×׺ U3 U2 U1
Ô Æ Ê Ò Â ¤Ú Õ æ Ê
5.0%
10.0%
15.0% ê ¼ î ±×²
20.0%
25.0%
30.0%
∞
或VAR=W0-W*
为一定置信水平c下证券或证券组合的最低价值水平，由下式决定 ∫f(W)dw=c(连续型)
w*
或∫P(w)=c（离散型）
w≥w*
P(w):组合的资产价值为W的概率 W*的含义：证券或证券组合价值低于W*的概率为1-c， 或高于W*的概率为c.
VAR的经济含义：证券或证券组合在给定的置信水 平c下，与目标值的差额。
X1X2σ12 … … X1Xnσ1n
X2X2σ22 … … X2Xnσ2n XnX2σn2 … … XnXnσnn
………………………………
观察到的结论： （1）证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，还 取决于多种证券之间的协方差； （2）随着证券组合中证券数目的增加，协方差的作用 越来越大 ，方差的作用越来越小。

数学推导见“王一鸣.数理金融经济学.北京大学出版社，2000年 6月：79-85页”
CAPM模型的基本假定

(1)所有投资者都属于Markowitz分散者； (2)所有投资者对证券概率的分布一致； (3)所有投资者具有同一单期投资日期； (4)资产无限可分； (5允许无限制地卖空； (6)投资者可以按相同的无风险利率借入或贷出资金； (7)买卖证券时没有税收和交易费用； (8)没有通货膨胀和利率的变化； (9)单个投资者不能通过其买卖行为影响资产价格。
– Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

量cov(X,Y)/[√D(X) √D(Y)]称为随机变量X，Y
的相关系数，记作ρx,y
– 即ρx,y=cov(x,y)/σXσY
方差—协方差矩
第一列 第二列 … … 第n列
第一行
第二行 第n行
X1X1σ11
X2X1σ21 XnX1σn1

对CAPM扩展的看法

一个模型越现实，它的含义越普遍，但 是它解释的越多，它的价值就越少。

…，解释了每一件事就等于没有解释任 何事。
– ——William E Sharpe
国内的CAPM检验

陈浪南、屈文洲（2000）对上海证券市场进行了
CAPM实证研究，认为其符合Black(1972)的zerobeta CAPM，并证实： zero-beta CAPM比标准的
加入无风险资产的有效证券前沿
î ¡ ½ î é Ï ß ç Í Ð §¯ ±ß ×Ð ·² ׺ ±½ º Ó Ð ¼ Ö Ï 18.0% 16.0% 14.0% 12.0%
¤Ú Õ æ Ê Ô Æ Ê Ò Â
M
10.0% 8.0% 6.0% 4.0% 2.0% 0.0% 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% ê ¼ î ±×² 20.0% 25.0% 30.0%
第二章 资产组合理论与资本资产定价模型
Markowitz
Sharpe
本章内容

Markowitz的证券组合理论
– 风险度量方法 – 证券组合对风险的分散效应 – 最优投资组合

资本资产定价模型
– Markowitz有效证券前沿的拓展 – 资本市场线 – 证券市场线
方差风险度量法：单证券的收益 与风险度量

收益率的期望值
– E(Rp)=∑XiE(Ri) i=1,2,…,n
– Xi:投资于证券i的比重；
– E(Ri) :i证券的预期收益率

收益率的方差
– σ2=∑∑XiXjcov(i,j) i,j=1,2,…,n
Cov(X,Y)的定义

设（X，Y）为二维随机变量，量E{[X-E(X)][YE(Y)]}称为X，Y的协方差。即