高中数学：利用向量求空间角练习

高中数学：利用向量求空间角练习

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)

A.

1

2 B.

2

3

C.

3

3 D.

2

2

解析：以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设棱长为1,则A1(0,0,1),E⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1，0，

1

2,D(0,1,0),

∴A1D

→

＝(0,1,－1),A1E

→

＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1，0，－

1

2,

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1,y,z)．

则有

⎩⎪

⎨

⎪⎧A

1

D

→

·n1＝0，

A1E

→

·n1＝0，

即

⎩⎪

⎨

⎪⎧

y－z＝0，

1－

1

2z＝0，

∴

⎩

⎨

⎧y＝2，

z＝2，

∴n1＝(1,2,2)．

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1),∴cos〈n1,n2〉＝

2

3×1

＝

2

3,即所成的锐二面角的余弦值为

2

3.

2．(

大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( D ) A.32 B.22 C.223

D.233

解析：如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立坐标系,

则D (0,0,0),D 1(0,0,2),A 1(2,0,2),B (2,2,0),D 1A 1→＝(2,0,0),DB →＝(2,2,0),DA 1→

＝(2,0,2), 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，

∴⎩⎨⎧

2x ＋2z ＝0，

2x ＋2y ＝0，

令z ＝1,得n ＝(－1,1,1)．

∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23

＝23

3.

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )

A.33

4

B.23

3

C.324

D.32

解析：由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．

如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,

易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以α∥平面A1BD,当平面α趋近点A时,截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O时,截面图形为正六边形,

其边长为

2

2,截面图形的面积为6×

3

4×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫2

2

2＝

33

4；当平面α趋近于C1时,截面图形的面积

趋近于0,所以截面图形面积的最大值为33

4,故选A.

4．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上,AC为球O的直径．当三棱锥P-ABC的体积最大时,二面角P-AB-C的大小为θ,则sinθ等于(C)

A.2

3 B.

5

3

C.

6

3 D.

7

3

解析：如图,设球O的半径为R,

由4πR2＝16π,得R＝2,

设点P到平面ABC的距离为d, 则0＜d≤2,因为AC为球的直径, 所以AB2＋BC2＝AC2＝16,则

V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝8

3,

当且仅当AB ＝BC ＝22,d ＝2时,V 三棱锥P -ABC 取得最大值, 此时平面P AC ⊥平面ABC ,

连接PO ,因为PO ⊥AC ,平面P AC ∩平面ABC ＝AC ,PO ⊂平面P AC , 所以PO ⊥平面ABC ,过点P 作PD ⊥AB 于D , 连接OD ,因为AB ⊥PO ,AB ⊥PD ,PO ∩PD ＝P , 所以AB ⊥平面POD ,则AB ⊥OD , 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角, 因为OD ＝1

2BC ＝2,所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6, 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝6

3,故选C.

5．如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .

解析：以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,