等差数列与等比数列的类比关系

等差数列与等比数列的类比关系

等比数列和等差数列是两类特殊的数列，他们的关系甚密，从定义上看等比数列和等差数列的定义仅有一字之差，把“差”变成了“商”。在等差数列中1n n a a d --=，关键是“差”，在等比数列中1

n

n a q a -=，关键是“商”。而在等差数列的通项公式中111

(1)n n a a n d a d d d -=+-=+++

+，同学们可以用类比的

教材中等差数列通项公式的推导

2123213

431a a q

a a q a q a a q a q

=====，来推得等比数列的通项公式1

111

n n n a a q

a q q q --==⋅⋅

⋅。

从以上两个公式可以看出等差数列中差与和对应，属于同级运算；在等比数列中商与积对应，也是同

一级的运算。而且我们把等差数列和等比数列对比可以得到，由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）。我们可以把等比数列看作是等差数列的升级，所以我们用类比等差数列的方法研究等比数列。

例1．已知数列{}n a 为等差数列，且,()m k a a a b m k ==≠，则m k bk am

a k m

+-=

-；若数列{}n b 为等比

数列，且,()m k b a b b m k ==≠，（1）类比等差数列的结果，你认为m k b +可能是什么值？

（2）证明你的推测是否正确。

分析：根据等比数列是等差数列的升级，以及由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）等差和等比的性质来猜想。

解：（1）由m k bk am bk am

a k m k m k m

+-=

=-

---，可以猜想k k m

m k m k m

b b a -+-= （2）由题11

11,m k m k b a a q b b a q --====，1k m

b q a -⎛⎫∴=

⎪⎝⎭

，k k k m k m

m k m

m k m m k m

b b b b q

a a a

--+-+-⎛⎫∴===

⎪⎝⎭

点评：本题考察学生的类比迁移能力，在考试中经常以这种题型来考察，这也是高中学生应具备的基本能力。

例2．在等差数列{}n a 中，若150a =，则有等式121229(29,)

n n a a a a a a n n N *-++

+=++

+<∈成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若191b =，则有等式__________________________成立。 分析：由题，在等差数列中，如果0m a =，有121221(21,)n m n a a a a a a n m n N *--++

+=++

+<-∈

成立，我们知道，若,,,m n p q N *

∈且m n p q +=+，对于等差数列有等式m n p q a a a a +=+。上式就是

由此证出。对于等比数列有等式m n p q a a a a ⋅=⋅，所以可以得到结论：若1m b =，则有

1212

21(21,)n m n b b b b b b n m n N *--=<-∈成立，所以在本题中的19m =，即得

1212

37(37,)n n b b b b b b n n N *-=<∈

答案：1212

37(37,)n n b b b b b b n n N *-=<∈

点评：在进行类比拓展时可以抓住某些性质进行类比，如由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂），也可以抓住思维方法进行类比迁移，如本例的等差数列的性质，等差数列有等式m n p q a a a a +=+，所以在等比中就可以用类似的性质，等比数列有等式m n p q a a a a ⋅=⋅来推导。

小训练：1．等差数列有如下性质：若数列{}n a 为等差数列，则当12n

n a a a b n

++

+=

时，数列{}n b 也

是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是正项等比数列，当n d =____________时，数列{}n d 也是等比数列。

2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为1(1)

2

n n n S na d -=+，用类比的方法，写出等比数列前n 项积的表达式n T =______________.

3．数列}{n a 是正项等差数列，若n

na a a a b n

n ++++++++=

32132321，则数列}{n b 也为等差数列. 类比上述结论，

写出正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列{n d }也为等比数列. 答案：1．2n n d c = 2．(1)2

1

n n n n T b q

-=⋅ 3. n n n

c c c c ++++⋅⋅⋅⋅⋅ 3211

33

221)(