求解变力做功的十种方法

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求解变力做功的十种方法

功是高中物理的重要概念,对力做功的求解也是高考物理的重要考点,恒力的功可以用公式直接求解,但变力做功就不能直接求解了,需要通过一些特殊的方法,本文结合具体的例题,介绍十种解决变力做功的方法。

一. 动能定理法

例1. 一质量为m 的小球,用长为L 的轻绳悬挂于O 点,小球在水平力F 作用下,从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示,此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为:

( )

A :θcos mgL

B :)cos 1(θ-mgL

C.:θsi n FL D :θcos FL

分析:在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用,

只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.,小球的动能的增量

为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。 解:由动能定理可知:0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F

故B 答案正确。

小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力,其余均为恒力,且

这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。

二. 微元求和法

例2. 如图2所示,某人用力F 转动半径为R 的转盘,力F 的大小不变,但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。

解:在转动转盘一周过程中,力F 的方向时刻变化,但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向),即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……

∆s n 都与当时的F 方向同向,因而在转动一周过程中,力F 做的功应等于在各极小位

移段所做功的代数和,即:

W F s F s F s F s F s s s s F R

n n =++++=++++=()

()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π

小结:变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直,把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑,在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功,而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和.

三. 等值法

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等,则可以通过计算该恒力的功,求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa 计算,从而使问题变得简单。也是我们常说的:通过关连点,将变力做功转化为恒力做功。

例3.如图3,定滑轮至滑块的高度为H ,已知细绳的拉力为F 牛(恒定),滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为γ和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中,绳的拉力对滑块所做的功。

分析:在这物体从A 到B 运动的过程,绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小,这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F 做的功,位移可以看作拉力F 的作用点的位移,这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。

解:由图3可知,物体在不同位置A 、B 时,猾轮到物体的绳长分别为:

Q θ

L

P F 图1

O

图2

γ

sin 1H s =

β

sin 2

H s =

那么恒力F 的作用点移动的距离为:)sin 1sin 1(21βγ-=-=H s s s

故恒力F 做的功:)sin 1

sin 1(

β

γ-=FH W

小结:把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。 四. 平均力法

例4:如图4所示,在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块,木块的边长为h ,其密度为水的密度ρ的一半,横截面积也为容器截面积的一半,水面高为2h ,现用力缓慢地把木块压到容器底上,设水不会溢出,求压力所做的功。

解:木块下降同时水面上升,因缓慢地把木块压到容器底上,所以压力总等于增加的浮力,压力是変力,当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多,功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功,现用平均值法求。

木块从开始到完全浸没在水中,设木块下降1x ,水面上升2x 根据水的体积不变,则:22

12

x h x h = 得21x x = 所以当木块下降

4

h

时,木块恰好完全浸没在水中, 1122122)(x x gh x x gh F F ∝=+=∆=ρρ浮

所以42

2118

14220424gh h h

gh h F F h F W ρρ=+=+== 木块恰好完全浸没在水中经h h h h 45432=-

=∆ 到容器底部,压力为恒力22h gh F ρ= 所以4228

5452gh h h gh h F W ρρ=⋅=∆=

故压力所做的功为:4214

3

gh W W W ρ=

+= 小结:用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移S 是否成线性关系,然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F 。当已知力为线性变化的力时,我们可以求平均力2

2

1F F F +=,然后再利用功的公式s F W ⋅=进行求解。

五. 图象法

例5.用铁锤将一铁钉击入木块,设阻力与钉子进入木板的深度成正比,每次击钉时锤子对钉子做的功相同,已知第一次击后钉子进入木板1cm ,则第二次击钉子进入木板的深度为多少? 解:铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功,但摩擦阻力不是恒力,其大小与深度成正比,F=kx ,以F 为纵坐标,F 方向上的位移x 为横坐标,作出F -x 图象,如图5,函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功.由于两次做功相等,故有:S 1=S 2(面积) 即:

21kx 12=21

k(x 2+x 1)(x 2-x 1) 得 cm x 22=

所以第二次击钉子进入木板的深度为: cm x x x )12(12-=-=∆

小结:某些求変力做功的问题,如果能够画出変力F 与位移S 的图像,则

图4

图5

F x

12

2

kx

1

kx O

1

S 2

S

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