欧拉方程组
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在此处键入公式。欧拉方程组——守恒形式：
∂U ∂t +∂F(U)
∂x
=0，U=
ρ
ρu
E
，F U=
ρu
ρu2+P
(E+P)u
。
令m=ρu，则
P=γ−1ρe=γ−1E−1
2ρu2=(γ−1)(E−1
2
m2
ρ
)，
且U=ρ
m
E
，F U=
m
γ−1E+3−γ
2
m2
ρ
γmE
ρ
−γ−1
2
m2
ρ
。
进一步有：
(γ−1E+3−γ
2m2
ρ
)x=γ−1E x+(3−γ)m
ρ
m x−3−γm2
2ρ2
ρx=0,
(γmE
ρ−(γ−1)m3
2ρ
)x=γm
ρ
E x+γE
ρ
−3γ−1m2
2ρ
m x−3−γm2
2ρ
ρx=0.
所以有，
∂∂t ρ
m
E
+A∂
∂x
ρ
m
E
=0，
其中
A=
010 (γ−3)m2
2ρ2
(3−γ)m
ρ
γ−1 (γ−1)m3
ρ
−γmE
ρ
γE
ρ
−3(γ−1)m2
2ρ
γm
ρ
.
又m
ρ=u,E
ρ
=ρe+
1
2
ρu2
ρ
P=γ−1ρe,c=γP
c2
γ(γ−1)
+1
2
u2
则 A=
010 (γ−3)u2
2
(3−γ)uγ−1γ−2
2
u3−c2u
γ−1
c2
γ−1
+3−2γ
2
u2γu
计算特征值：
μE−A=
μ−10 3−γ
u2μ+γ−3u1−γ
c2
u−
γ−2
u3
2γ−3
u2−
c2
μ−γu
=μ−γu μ2+γ−3uμ+3−γ
2
u2
+γ−12γ−3
u2−
c2
μ+
c2
u−
γ−2
u3
=μ3−3uμ2+3u2−c2μ+c2u−u3
=(μ−u)(μ−(u+c))(μ−(u−c))
其特征值为：μ1=u−c，μ2=u，μ3=u+c。
计算右特征向量：r= r1,r2,r3=r11r12r13 r21r22r23 r31r32r33
当μ1=u−c时，有：
u−c−10
3−γ2u2γ−2u−c1−γ
c2γ−1u−
γ−2
2
u3
2γ−3
2
u2−
c2
γ−1
1−γu−c
r11
r21
r31
=
进一步得
u−c r11−r12=0
3−γ
2
u2r11+γ−2u−c r12+1−γr13=0
所以可得r1=
1
u−c
1
2
u2−uc+c2
γ−1
=
1
u−c
H−uc
,
同理可得r2=
1
u
1
2
u2
，r3=
1
u+c
H+uc
，其中H=E+P
ρ
=c2
γ−1
+1
2
u2.
计算左特征向量：l=(l1,l2,l3)T=l11l12l13 l21l22l23 l31l32l33
当μ1=u−c时，有：
(l11,l12,l13)
u−c−10
3−γ
u2γ−2u−c1−γ
c2
γ−1
u−
γ−2
2
u3
2γ−3
2
u2−
c2
γ−1
1−γu−c =
进一步可得−l11+γ−2u−c l12+2γ−3
2
u2−c2
γ−1
l13=0 1−γl12+1−γu−c l13=0
，
令l13=1,则有l11=1
2u2+cu
1−γ
，l12=c
1−γ
−u。
所以l1=1
2u2−cu
1−γ
c
1−γ
−u1。
同理可得l2=1
2u2+c2
1−γ
−u1l3=1
2
u2+cu
1−γ
−c
1−γ
−u1
欧拉方程组——非守恒形式
∂U ∂t +∂F(U)
∂x
=0，U=
ρ
ρu
E
，F U=
ρu
ρu2+P
(E+P)u
，
E=ρe+1
2ρu2=P
γ−1
+1
2
ρu2. U=(ρ,u,P)T.
则通过计算得到：
∂∂t ρ
u
P
+
uρ0
0u
1
ρ
0ρc2u
ð
ðx
ρ
u
P
=0
其特征值为：μ1=u−c，μ2=u，μ3=u+c.
计算右特征向量：r= r1,r2,r3=r11r12r13 r21r22r23 r31r32r33
当μ1=u−c时，有：