一个奇异值不等式的推广
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
*
A
1/2
BA
1/2 1/2
A
1/2
因此，有
A1/2 ( A # B ) m B1/2
通过矩阵函数的连续性，两个矩阵 A 与 B 的几何平均可以推广到对任意两个半正定矩阵。 为了证明奇异值不等式 (2) ， 需要如下几个引 理。 其中引理 1 和引理 2 是矩阵分析的两个经典 结果，而引理 3 描述的是复合矩阵的两个重要 性质。 引理 1
对 n 阶半正定矩阵 A 和 B 成立。 本文尝试对奇异值不等式 (1)进行推广， 我们 将证明如下奇异值不等式
1 2 n 。 用 表示 Mn 上的任意酉不变范数，即对任意的 A M n 以及酉矩阵 U ,V M n ，都有
UAV A
A
j 1 j
k
1/2
238. [3] X. Zhan. Matrix inequalities[M]. Berlin: Spinger-Verlag, 2002: 17-109. [4] 王松桂 , 吴密霞 , 贾忠珍 . 矩阵不等式 [M]. 北京 : 科学出 版社 ,2006:222-288. [5] L. Zou. A arithmetic-geometric mean inequality for singular values and its applications[J]. Linear. Algebra. Appl, 2017, 528: 25-32.
k
1/2
( A # B ) m B1/2
m
1/2
引理 2
[11,eoremIX2.1]
设 A, B M n ，且矩阵 A
= Ck A1/2 ( A # B ) m B1/2 = Ck ( A)
1/2
和 B 是半正定的，对任意的
0 s 1，
Ck ( A) # Ck ( B) Ck ( B )
j 1
k
定理 1 定的，则有
-6-
k 1, 2, , n.
由于弱 Log-majorization 蕴含弱 majorization，
刘俊同，等：一个奇异值不等式的推广 再由
Cambridge: Cambridge University press, 1991: 134-
m /2 j
( AB )
LIU Jun-tong1, LIU Yue2
(1. School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang 236041, China; 2. Funan County 5th Primary School, Funan 236000, China) Abstract: We attempt to generalize this inequality by using unitarily invariant norm and compound matrix. Key Words: singular value inequality; unitarily invariant norm; compound matrix
A1/2 B 1/2
设 Ck ( X ) 是矩阵 X M n 的第 k 个复合矩阵，
k 1, 2,, n 。
是一个酉矩阵，并且
[3,p109]
，
对于两个正定矩阵
A1/2UB1/2 也是正定矩阵。于是，
A, B M n ，
矩阵 A 与 B 的几何平均定义为
A# B A
1/2
A1/2UB1/2 = A1/2UB1/2 =B1/2U * A1/2
是半正定的，对任意的
0 s 1，
AB
m /2 m /2
= 1 ( AB )
则有
ABC A B C
设 Ck ( X ) 是矩阵 X M n 的第 k 个复合矩阵，
k 1,2,, n 。
特别地，
ABCΒιβλιοθήκη Baidu
于是，有
A B
C
A
j 1 j
m /4
m /4
特别的，当 m=2 时，有推论 3 。 推论 3 设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正 定矩阵，则有
A1/2 ( A # B ) 2 B1/2 AB
[参考文献 ]
[1] R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University press, 1985: 279372. [2] R. A. Horn, C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis[M].
m
1/2
= jm /4 ( BA2 B ) j ( BA2 B ) m /4 j ( BA2 B ) m /4
通过推论 1 ，有推论 2 。 推论 2
1/2
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正
定矩阵，则有
A ( A # B) B BA2 B BA B
[11,p94]
= A1/2 ( A1/2UB1/2 ) m B1/2
= A1/2 ( B1/2U * A1/2 ) m B1/2
1/2 1/2 * 1/2 1/2
= ( A B )U ( A B )U * ( A1/2 B1/2 ) A B
1/2 1/2 m
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B
（责任编辑、校对：赵光峰）
-7-
要：借助酉不变范数和复合矩阵理论对 Zou 的不等式进行推广。 文献标识码： A 文章编号：1009-9115(2018)03-0005-03
关键词：奇异值不等式；酉不变范数；复合矩阵 中图分类号：O151.21 DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2018.03.002
Generalization of a Singular Value Inequality
j 1
k
k 1, 2, , n.
另外，用 表示算子范数，也就是说，对 任意 A M n ，有
A 1 ( A) 。
证明
首先假定矩阵 A 和 B 是正定的， 一般
1/2
情形可以通过连续性论证证明。从文献可知
U A1/2 BA1/2
A # B =A1/2UB1/2
第 40 卷第 3 期 Vol.40 No.3
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Normal University
2018 年 5 月 May 2018
一个奇异值不等式的推广
刘俊同 1，刘
（1. 阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 摘
越2
236000）
236041；2. 阜南县 第五小学，安徽 阜南
奇异值不等式和奇异值分解是矩阵理论的 一个重要研究领域，在科学计算、优化问题、最 佳逼近等实际应用中有着重要应用。关于矩阵 酉 不 变 范 数 不 等 式 和 奇 异 值 不 等 式 问 题是矩阵 不等式的研究热点之一， 近年来受到国内外专家 学者的广泛关注 等式
[5] [1-10]
示复数域上 n n 矩阵的集合，A*表示 A 的共轭转 置矩阵， A 的奇异值记为 1 , 2 , , n ， 且有
1 2 n ；
如果矩阵 A M n 的特征值全部是实特征值， A 的 特征值记为
。 Zou 证明了如下奇异值不
A
j 1 j
k
1/2
( A # B) B
2
1/2
j 1
k
j
( AB )
1 , 2 ,, n ，
(1)
且有
k 1, 2, , n.
为了叙述方便，对符号作如下约定： Mn 表
P 1/ p
────────── 基金项目：安徽省教学研究项目（2016jyxm0754） ，阜阳师范学院自然科学研究项目（2016FSKJ20） 收稿日期：2017-06-19 修回日期：2018-01-10 作者简介：刘俊同（1982-） ，男，安徽阜阳人，硕士，讲师，研究方向为矩阵不等式。
m /2
则有
As B s
Ck ( A)Ck ( B )
s
AB
= Ck ( AB )
k
m /2
引理 3 [12,p123]
设 A, B M n ，则有
k
/2 = m j ( AB )
j 1
（ 1 ） Ck ( AB) Ck ( A)Ck ( B) （ 2 ） 1 Ck ( A) i ( A) ， k 1, 2, , n.
-5-
第 40 卷第 3 期 还有一类是 Ky Fan k -范数 ( k ) ，即
A j ( A), k 1, 2, n.
j 1 k
唐山师范学院学报
2018 年 5 月
1/2 j /2 ( A # B ) m B1/2 m j ( AB ) j 1 k
A
i 1
当 m=2 时，得到不等式 (1)，即推论 1 。 推论 1 设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正 定的，则有
2
定理及证明
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正
A
j 1 j
k
1/2
( A # B ) 2 B1/2 j ( AB )
/2 ( A # B ) m B1/2 m j ( AB ) j 1
k
k 1, 2, , n.
(2)
成立，其中两类酉不变范数尤为重要，一类是 Schatten p -范数 p ，即对 p 1 ，
A
p 1/ p
对 n 阶半正定矩阵 A 和 B 成立。
1
预备知识
n = jp ( A) j 1 tr A
2
[6] 邹 黎 敏 . 矩 阵 的 几 个 不 等 式 [J]. 数 学 通 报 ,2012,55(4): 715-720. [7] 宫琴 , 任芳国 . 关于矩阵奇异值的不等式 [J]. 纺织高校 基础科学学报 ,2016,29(1):1-7. [8] Y. Tao. More results on singular inequalities of matrices [J]. Linear Algebra Appl, 2006, 416(2): 724-729. [9] 陶云星 . 关于矩阵酉不变范数和奇异值的两个问题 [D]. 北京 :北京师范大学 ,2005:1-38. [10] A. Ilyas. Studies of singular value inequalities about matrix and inequalities of norms[D]. Chongqing: Chongqing University, 2014: 1-61. [12] F. Zhang. Matrix theory: basic results and techniques [M]. New York: Springer-Verlag, 2012. [11] R. Bhatia, Matrix Analysis[M]. GTM 169, New York: Springer-Verlag, 1997.
A
1/2
BA
1/2 1/2
A
1/2
因此，有
A1/2 ( A # B ) m B1/2
通过矩阵函数的连续性，两个矩阵 A 与 B 的几何平均可以推广到对任意两个半正定矩阵。 为了证明奇异值不等式 (2) ， 需要如下几个引 理。 其中引理 1 和引理 2 是矩阵分析的两个经典 结果，而引理 3 描述的是复合矩阵的两个重要 性质。 引理 1
对 n 阶半正定矩阵 A 和 B 成立。 本文尝试对奇异值不等式 (1)进行推广， 我们 将证明如下奇异值不等式
1 2 n 。 用 表示 Mn 上的任意酉不变范数，即对任意的 A M n 以及酉矩阵 U ,V M n ，都有
UAV A
A
j 1 j
k
1/2
238. [3] X. Zhan. Matrix inequalities[M]. Berlin: Spinger-Verlag, 2002: 17-109. [4] 王松桂 , 吴密霞 , 贾忠珍 . 矩阵不等式 [M]. 北京 : 科学出 版社 ,2006:222-288. [5] L. Zou. A arithmetic-geometric mean inequality for singular values and its applications[J]. Linear. Algebra. Appl, 2017, 528: 25-32.
k
1/2
( A # B ) m B1/2
m
1/2
引理 2
[11,eoremIX2.1]
设 A, B M n ，且矩阵 A
= Ck A1/2 ( A # B ) m B1/2 = Ck ( A)
1/2
和 B 是半正定的，对任意的
0 s 1，
Ck ( A) # Ck ( B) Ck ( B )
j 1
k
定理 1 定的，则有
-6-
k 1, 2, , n.
由于弱 Log-majorization 蕴含弱 majorization，
刘俊同，等：一个奇异值不等式的推广 再由
Cambridge: Cambridge University press, 1991: 134-
m /2 j
( AB )
LIU Jun-tong1, LIU Yue2
(1. School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang 236041, China; 2. Funan County 5th Primary School, Funan 236000, China) Abstract: We attempt to generalize this inequality by using unitarily invariant norm and compound matrix. Key Words: singular value inequality; unitarily invariant norm; compound matrix
A1/2 B 1/2
设 Ck ( X ) 是矩阵 X M n 的第 k 个复合矩阵，
k 1, 2,, n 。
是一个酉矩阵，并且
[3,p109]
，
对于两个正定矩阵
A1/2UB1/2 也是正定矩阵。于是，
A, B M n ，
矩阵 A 与 B 的几何平均定义为
A# B A
1/2
A1/2UB1/2 = A1/2UB1/2 =B1/2U * A1/2
是半正定的，对任意的
0 s 1，
AB
m /2 m /2
= 1 ( AB )
则有
ABC A B C
设 Ck ( X ) 是矩阵 X M n 的第 k 个复合矩阵，
k 1,2,, n 。
特别地，
ABCΒιβλιοθήκη Baidu
于是，有
A B
C
A
j 1 j
m /4
m /4
特别的，当 m=2 时，有推论 3 。 推论 3 设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正 定矩阵，则有
A1/2 ( A # B ) 2 B1/2 AB
[参考文献 ]
[1] R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University press, 1985: 279372. [2] R. A. Horn, C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis[M].
m
1/2
= jm /4 ( BA2 B ) j ( BA2 B ) m /4 j ( BA2 B ) m /4
通过推论 1 ，有推论 2 。 推论 2
1/2
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正
定矩阵，则有
A ( A # B) B BA2 B BA B
[11,p94]
= A1/2 ( A1/2UB1/2 ) m B1/2
= A1/2 ( B1/2U * A1/2 ) m B1/2
1/2 1/2 * 1/2 1/2
= ( A B )U ( A B )U * ( A1/2 B1/2 ) A B
1/2 1/2 m
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B
（责任编辑、校对：赵光峰）
-7-
要：借助酉不变范数和复合矩阵理论对 Zou 的不等式进行推广。 文献标识码： A 文章编号：1009-9115(2018)03-0005-03
关键词：奇异值不等式；酉不变范数；复合矩阵 中图分类号：O151.21 DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2018.03.002
Generalization of a Singular Value Inequality
j 1
k
k 1, 2, , n.
另外，用 表示算子范数，也就是说，对 任意 A M n ，有
A 1 ( A) 。
证明
首先假定矩阵 A 和 B 是正定的， 一般
1/2
情形可以通过连续性论证证明。从文献可知
U A1/2 BA1/2
A # B =A1/2UB1/2
第 40 卷第 3 期 Vol.40 No.3
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Normal University
2018 年 5 月 May 2018
一个奇异值不等式的推广
刘俊同 1，刘
（1. 阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 摘
越2
236000）
236041；2. 阜南县 第五小学，安徽 阜南
奇异值不等式和奇异值分解是矩阵理论的 一个重要研究领域，在科学计算、优化问题、最 佳逼近等实际应用中有着重要应用。关于矩阵 酉 不 变 范 数 不 等 式 和 奇 异 值 不 等 式 问 题是矩阵 不等式的研究热点之一， 近年来受到国内外专家 学者的广泛关注 等式
[5] [1-10]
示复数域上 n n 矩阵的集合，A*表示 A 的共轭转 置矩阵， A 的奇异值记为 1 , 2 , , n ， 且有
1 2 n ；
如果矩阵 A M n 的特征值全部是实特征值， A 的 特征值记为
。 Zou 证明了如下奇异值不
A
j 1 j
k
1/2
( A # B) B
2
1/2
j 1
k
j
( AB )
1 , 2 ,, n ，
(1)
且有
k 1, 2, , n.
为了叙述方便，对符号作如下约定： Mn 表
P 1/ p
────────── 基金项目：安徽省教学研究项目（2016jyxm0754） ，阜阳师范学院自然科学研究项目（2016FSKJ20） 收稿日期：2017-06-19 修回日期：2018-01-10 作者简介：刘俊同（1982-） ，男，安徽阜阳人，硕士，讲师，研究方向为矩阵不等式。
m /2
则有
As B s
Ck ( A)Ck ( B )
s
AB
= Ck ( AB )
k
m /2
引理 3 [12,p123]
设 A, B M n ，则有
k
/2 = m j ( AB )
j 1
（ 1 ） Ck ( AB) Ck ( A)Ck ( B) （ 2 ） 1 Ck ( A) i ( A) ， k 1, 2, , n.
-5-
第 40 卷第 3 期 还有一类是 Ky Fan k -范数 ( k ) ，即
A j ( A), k 1, 2, n.
j 1 k
唐山师范学院学报
2018 年 5 月
1/2 j /2 ( A # B ) m B1/2 m j ( AB ) j 1 k
A
i 1
当 m=2 时，得到不等式 (1)，即推论 1 。 推论 1 设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正 定的，则有
2
定理及证明
设 A, B M n ，且矩阵 A 和 B 是半正
A
j 1 j
k
1/2
( A # B ) 2 B1/2 j ( AB )
/2 ( A # B ) m B1/2 m j ( AB ) j 1
k
k 1, 2, , n.
(2)
成立，其中两类酉不变范数尤为重要，一类是 Schatten p -范数 p ，即对 p 1 ，
A
p 1/ p
对 n 阶半正定矩阵 A 和 B 成立。
1
预备知识
n = jp ( A) j 1 tr A
2
[6] 邹 黎 敏 . 矩 阵 的 几 个 不 等 式 [J]. 数 学 通 报 ,2012,55(4): 715-720. [7] 宫琴 , 任芳国 . 关于矩阵奇异值的不等式 [J]. 纺织高校 基础科学学报 ,2016,29(1):1-7. [8] Y. Tao. More results on singular inequalities of matrices [J]. Linear Algebra Appl, 2006, 416(2): 724-729. [9] 陶云星 . 关于矩阵酉不变范数和奇异值的两个问题 [D]. 北京 :北京师范大学 ,2005:1-38. [10] A. Ilyas. Studies of singular value inequalities about matrix and inequalities of norms[D]. Chongqing: Chongqing University, 2014: 1-61. [12] F. Zhang. Matrix theory: basic results and techniques [M]. New York: Springer-Verlag, 2012. [11] R. Bhatia, Matrix Analysis[M]. GTM 169, New York: Springer-Verlag, 1997.