乘法分配律(课堂实录)

《乘法分配律》（四年级）
执教：贲友林
课前：
师：和我一起上数学课这是第几次？
生：第二次。

师：第二次，上半年上过一次，今天是第二次。

如果你对这个会场还感到好奇的话，那你现在继续看这个会场；如果你觉得我太熟悉这个地方，不需要再看，那你静下来休息，我先和老师们作个交流，可以吗？
交流：
各位老师，非常欢迎大家来到《现代与经典》，昨天下午，我收到张齐华发给我的一个短信，说：“贲友林啊，你同构款啊？”为什么说这句话呢？因为前几天我刚和他同构了一节课，今天又和刘松一起来上一节相同课题的课。

我不知道他是表扬我还是批评我，所以我晚上就打了一个电话给他，我说：“齐华，我明天的课题改了，是《24时记时法》。

”今天一个老师告诉我，齐华真的相信了。

因为他知道我的课题可能会发生变化，有句广告语说：“一切兼有可能。

”我想说的是：今天这课题变不了，因为今天我将和我自己的班一起上一节随进度的课，或者说是把随堂课搬到了东南这儿。

这个内容是在前面这一个星期六的晚上排节目的时候最后确定今天就上这节课。

我想同课异构我们表达的是不同老师在课堂上表达不同的想法，我们不是求同，而是求异，我们在求异的过程中打开你的思维，其实这节课可以这样上，还可以不这样上。

今年上半年，我已经和我们四（6）班的同学，当是还是三（6）班，一起在这儿上了一节课，不知道在场的有没有老师当时听过那节课？如果你听过的话，那你把曾经听过的那节课和今天的这节课作个比较，看看课堂发生什么变化；如果没有听过那节课，那把今天的课堂和你预想中的课堂你作一个比较，你看看会有哪些不一样的地方。

想跟大家说的是：四年前，我们在闫校长的带领下，展开对学教方式改变的一个实验。

四年来，我们一直在课堂上探索，我们把我们的想法用我们的课堂实践来表达出来，当然，探索就意味着多种可能。

我不知道今天的课会是什么样，因为这是一节没有试教的公开课，我无法试教，对他们来说，学习今天这个内容就这么一次。

我想说的是：我们的实验还仅仅是开始，还需要我们继续探索，不管你信还是不信，他们就是这样在学习；不管你说是成功还是失败，我们依然在探索。

探索的过程中需要你鼓掌的声音，需要你质疑的声音，需要你批判的声音，更需要你建设的声音。

那在这节课之前呢，我们学生已经做了一个研究，请注意看屏幕。

（实物投影）我们学生在课前做了这个研究，有这么几个内容：写一道能口算的两位数乘一位数算题，并且算出来，写出计算过程；写一道两位数乘两位数的笔算的算题，用竖式计算，并且写出它的计算过程；尝试用简便方法计算32×102。

那么观察口算、笔算以及简算的计算过程，他们会有很多发现，他们会发现什么?我不知道，课堂上它会带给我们，当然还有一个就是我的疑问。

也就是说我们学生完成这样一个材料之后，今天来到了这儿，今天这节课就围绕这份材料展开。

好，让我们一起
走进我们四（6）班同学的学习，谢谢大家！
课前谈话：
师：你觉得这掌声是给谁的呢?
生：贲老师。

师：还有不同的想法吗？话筒在那边。

生：应该全体老师。

师：是给我们所有老师的，是吧?还有吗？
生：我觉得是应该给我们自己，让我们，鼓励我们上好这节课。

师：这样的发言怎么样？（生鼓掌）
师：好了，我想，大家都很熟悉，就不多说了。

来，拿出一枝笔。

（学生准备）师：准备好了吗？好，上课！
生：起立！
师：同学们好！
生：老师您好！
师：请坐！
教学过程：
师：课前我们已经做过这个研究了，对吧？打开手记，4人组，就这份研究中口算、笔算、简算以及你的发现作一个交流。

嗯，关于疑问，我们暂不交流，明白了吗？好，交流之后我们再全班交流，开始。

（学生4人小组活动）
师：都想过来，是吧？机会只有一个组，一个组在交流的时候，你们可以补充发言，对吧？张文静，掌声有请。

（鼓掌）
生1（张）：下面由我们小组来发言，我们口算题目是26×3，我是这样口算的：我先用，我先把26分成20和6，20×3=60，6×3=18，60+18=78。

我的竖式题目是76×54，我先用76×4=304，再用76×5=380，这个380要空一格，然后最后再把这些加起来，也就是4104。

生2：算这题时，我先算76×4=304，76×50=3800，最后算304+3800=4104。

生3：我来给大家讲32×102的简算方法，首先32×101+32=3232+32=3264，在这里我们可以知道32×101是一种简算的过程，每当一个数乘101或1001的时候，就是把那个数重复写两次，然后后面再加32就等于3264。

我们小组的刘慧心还有另一种。

生4（刘）：我先拆102，我觉得102很接近100，所以我先用32×100再加上32×2，这里不加2是因为它这里少加2是32个2，而不是一个2，所以我就用32×100+32×2等于3200加64等于3264。

（鼓掌）
生（陈）：我的发现是：这两个因数相乘，我上面红笔标的竖式上面写，我这个地方其实应该是35乘以60，但是这边0+0都是等于0，不写也没有关系，所以我用红笔标出来了。

这边加上2乘以32，这边是加上2乘以32，不是乘32再乘2，也不是加2，因为乘得太多，这个是32乘以102。

我的发现是：两个因数相乘，把其中一个因数拆成两个任意的非零正整数，另一个因数先乘其中的一个，
然后再乘另一个就可以得出了。

但是竖式中就像这个一样的，其实是乘10，但0可以不写。

我的第二个发现是：它们这边其中一个都是两位数。

然后还有一个发现是：32×102用字母表示就是a×b=a然后就是102把它拆成100和2，我就把100和2用c和d来表示就是a×（c+d）就等于a×c+a×d，也就是32×102。

12×6就把12拆成10和2，也是用c和d来表示，就是a×b=（c+d）×a=c×a+d×a，就是12乘以6。

我们小组的发言完了，请其他小组补充。

生a：我，提醒一下×××，是乘几，不是乘以。

生b：我觉得×××说得很好，但是我还要补充。

（鼓掌）首先，我的例子是27×25=675，我的第一步是用27×5=135，用红笔框出来的，就是27×5=135，我用黑笔框出来的是27×2=540，这边就像×××刚才说的那样，0是不用写的，这边就是27×20=540。

师：你说这27乘的是2还是20?
生（齐）：20。

生b：之后我再用135加上540，就是我用铅笔框出来的，135+540=675。

（鼓掌）
师：刚才王成蔚说的这个例子和张文静这个例子，这边是27×25是吧？再看这边，她是76×54，两个例子不一样，但是两位数乘两位数用竖式计算的过程怎么样？
生（齐）：一样的。

师：先算什么，后算什么，最后算什么，这是一样的，对吧？那么我想补充发言的时候这个例子我们就不补充了，好了，继续。

生（陈）：还有谁有补充？李佳慧
生（李）：就是我们要提醒陈××，你刚才说101或1001乘一个数的时候，它重复两遍，我还要提醒你，应该是101乘一个两位数的时候要重复两遍，1001乘一个三位数的时候要重复两遍。

（鼓掌）
生（陈）：还有谁要补充？周晓妍（鼓掌）
生（周）：听了你们的简算，我还有一种简算想和大家来交流。

我觉得32还和30比较接近，所以我就用30×102再加上剩下的2×102，所以等于3060加上2×102的204就等于3264。

生：我发现周晓妍你写的有个错误，就是在这儿，这里你算了这个12，这个0可以不加，但是在写最后算的时候要加上，否则你就变成24+12=36了，最后应该是24+120=144。

（鼓掌）
师：刚才×××还看到了上面一个，计算有什么问题吗？调整一下。

这是尹丽做的，提醒你注意什么？
生：提醒我们注意，在写竖式的时候0可以不加，但是你在写计算过程的时候0一定要加，要不然计算就会出现错误。

（鼓掌）
师：还是回到刚才说这个问题，竖式计算是对的，对吗？12乘几呀？
生：10。

师：好了，那我们还是回到刚才×××介绍的32×102，她的计算方法和刚才交
流的算法不一样吧？
生：秦××
生（秦）：我发现这两种算法都是把一个数拆成了两个加数。

生：秦××刚才说的是把一个数拆成两个加数。

师：好，那回顾一下，在周晓妍这儿，是把？
生（齐）：32拆成30和2。

师：那刚才这个交流呢？两种算法，是吧？一种算法是把？
生：102拆成了100和2。

师：还有一种算法？
生：102拆成了101和1。

师：所以刚才是陈××说的吧，他们相同的是把一个因数拆成两个数相？
生：加。

生：我觉得他们刚才也就是说用了×××刚才那个公式。

×××的还有我的发现他写的：32×102，他第一个写的a×b=a×(c+d），也就等于a×c+a×d，也就等于a×b，而我们看，刚才32×101+32×1也就是运用了×××，我们发现刚才刘××讲的32×100+32×2也就是运用了×××的这个公式，也就是a×b=a×(c+d），也就等于a×c+a×d，也就等于a×b。

而我们再看，而周晓妍用的是32×102=30×102+2×102=3060+204=3264，也就是用了×××的这个公式：第二个公式：a×b=(c+d）×a=c×a+d×a=a×b，也就是周晓妍把32拆成了30和2。

师：刚才×××解释这么长时间，他就是把我们前面的话一起简化，他说前面的方法是把102拆成两个数相加，后面的方法是把32拆成两个数相加。

那我们现在回顾一下，口算题、笔算题、还有这简算题，它们相同的地方在哪儿？
生：这些算式他们用了三步计算，这些算式他们都是把一个数拆成两个数之后再巧算的。

生：我发现这些算式都是把一个与另一个数各个位上的数相乘，这样简算以后再相加得到这两个数的积。

师：我想大家很多表达，其实像他们这个李××那个算法不一定表达出来，对吧？谁还记得怎么表达？
生：他刚刚说的就是a+b等于a+b……
师：好，你到前面来一边讲一边写，可以吗？（鼓掌）来，到这边。

生：他们组刚刚就是说a+b，a×b=a×c×d，然后可以先把这两个乘起来之后，然后变成一个简算的过程。

生：我发现李××在这里犯了一个错误，×××写的算式是a×b=a×c+a×d，而李××则是一步就把这个算式结合起来了。

生：在这里，首先先把b分成了c+d，然后把括号拆开，也就是a×c加上a×d。

（鼓掌）
生：我不可以帮李广威更简便地算一下，你们大家看，a×（b+c）就等于a 个c加上b个c，我还知道这种方法叫做乘法分配律。

（鼓掌）
生：我对王若琪写的这个式子有些疑问，王若琪说了，a×（b+c）这种方法，
把b分成c和d，是乘法分配律，那如果我把b分成a和c相等吗？那这种也叫乘法分配律吗？我来举个例子，比如说6×44就等于6×11×4=66×4，谁能解答我的疑问？
生：×××写的这个公式并不能表示乘法分配律，乘法分配律就是把一个数分为两个数相加，而不是两个数相乘。

（鼓掌）
师：刚才听我们同学说了这么多，我们再回顾一下，口算题、笔算题和简算题，它们相同的地方是什么呢？
生：首先都是三步计算。

师：还有呢？
生：接着是算个位，然后，第一道式子是先算个位再算十位。

师：说完了？
生：我觉得应该是首先它们都是三步计算，然后都把其中一个因数两个加数，然后又另一个因数分别乘两个加数。

师：把她的话来对照黑板看一下，两个数相乘，用字母表示是什么？
生（齐）：a×b。

师：然后说把其中一个因数拆成？
生（齐）：两个加数相加。

师：两个加数就是两个数相加，用字母表示也就是c+d，接下来怎么算？a乘生（齐）：c+ad
师：那刚才×××介绍的，他说这样的规律叫什么?
生（齐）：乘法分配律。

师：叫乘法分配律。

这样的表示方法我们一起来读一遍。

生齐读：a×（c+d）=a×c+a×d。

师：那关于乘法分配还有没有补充讲解？×××掌声有请。

（鼓掌）
师：那这样，你在黑板上把它画出来，让大家更清楚，画得大一点。

生：我们设这条边为a，然后这条边是b，这条边是c，然后a×b是这个长方形的面积，然后这个长方形的面积等于a×c，因为这两条边是相等的，长方形对边相等的，然后这条边，这个b，这下面一条也是b，这个c，下面一条也是c，然后这条边就是b+c，然后就能得到a×（b+c）=a×b+a×c。

师：把说的写下来可以吗？写在这儿。

（鼓掌）他用了一幅图让我们看懂了，是吧？只不过，来看看，他用的字母跟他的不一样，那表达的意思是不是一样？
生（齐）：一样的。

师：乘法分配律怎么说？什么叫乘法分配律？用字母会表示了，用文字言来说。

生：我觉得应该是把一个因数分解成两个加数相加，然后再用另外一个因数去乘这两个加数，分别乘两个加数，然后再把这两个积相加。

（鼓掌）生：我能用字母表示。

师：我们已经会用字母表示了，那我想字母不一样，表达的意思一样吗？
生：就是一个因数乘另一个因数等于把另一个因数分解成两个数的和，再乘
第一个因数。

（鼓掌）
师：怎么鼓掌了，听听他说的有什么问题啊。

生：我觉得姚××说的不是乘法分配律，他的用字母表示就应该是a×b=a×（b+c）。

师：姚××表达的其实前面我们把两个数相乘分解成了一个数乘两个数的和，是吧？其实乘法分配律说的是这个（a×（b+c）=a×b+a×c），那怎么说呢？
生：我认为乘法分配律是一个因数乘两个加数的和等于这个因数乘其中的一个加数加这个因数乘另一个加数。

（鼓掌）
师：谁会像他这样来再说一遍？
生：乘法分配律也就是一个因数乘一个加数加另一个加数的和等于一个因数乘其中一个加数加这个因数乘另一个加数。

（鼓掌）
师：同桌两个人互相说一遍。

同桌互相说。

师：刚才说起来比较拗口，但是用字母来表示的话你可以说清楚吗？a如果去乘什么？
生（齐）：b+c的和。

师：那就等于？
生（齐）：a×b+a×c
师：我觉得这样没说清楚，a×b的？
生（齐）：积，加a×c的积。

师：再说一遍。

生：a乘b加c的和等于a乘b的积加a乘c的积。

师：好了，那你想想看，还有话要说？
生：对于文字表示我还有一种表示，就是3299、999或11，101102，用102变成100的方法，我可以总结出一个规律：对于接近整十、整百、整千的数，就像99、999或11，101这样可拆成整十、整百、整千加上或减去一个小一点或大一点的数，就样就会很方便了。

师：把你的手记借给我，你看他说的就是他写在纸上的。

他说什么？对？
生（齐）：对于接近整十、整百、整千，如99、999、9999
师：后面不读了，不读了，省略号就行了，再读
生（齐）：11、101、1001
师：好，不读了。

生（齐）：可拆分成整十、整百、整千加上、减去一个小点的数，为方便。

师：你能读懂他的意思吗？他说的是什么？
生：我觉得他的意思是：遇到一些接近整千、整百的数，比如是999的话，那我们可以先把这个1加上去，用加上的和去乘另一个数，然后在算了答案之后再减掉那一个因数；如果是遇到101的话，我们可以先把这个1减掉，用100去乘另一个因数，之后再加上那一个因数。

师：就是有的题目中如果有99，有101，就可以简算的，是吧？编一道题目。

（生思考）
生：我编的题目是99×105。

师：哦，他编了一道题目，题目是什么？
生（齐）：99×105
师：用竖式会算吗？
生（齐）：会。

师：简算会吗？
生（齐）：会。

师：怎么简算？
生：就是先用99乘括号100加5，然后再用99乘100，然后再加99乘5.
师：好了，接下来我们可以算出来，是吗？就看他算的过程，从这一步到这一步，他的根据是什么？从这一步到这一步，他的根据。

生：他在这里把105拆分成了100和5，然后括号拆去就变成了99乘100，加上99乘5。

师：你说这么多，更简洁点，根据是什么？
生：就是105他觉得接近100，把它拆成100+5.
师：这是想怎么去算简便，是吧？
生：我觉得就应该是a×（c+d）=a×c+a×d。

师：那说的是什么规律啊?
生（齐）：乘法分配律。

师：就是前面大家交流的，乘法？
生（齐）：分配律。

师：那用字母来表示，在这儿，来看看，一个数乘两个数的和，就等于这个数分别去乘这两个数，对吧？怎么啦？
生：但是我发现99×100很好算，但是99×5，由于有99×5，这道题仍然不好算，所以还要再多个一步。

生：因为99接近100，所以我们可以把99先看成100，先用100乘5，再减去1乘5就可以了。

师：他的方法不一样了，是吧？来，再完整说一遍，你说我写。

生：等于100×5-1×5加上99×100.
师：来解释一下，到前面。

（鼓掌）
生：因为99比较接近100，所以我先把99看成100，然后再乘以5，因为这里多算了一个5，所以再减去1×5，再加上99×100。

（鼓掌）
师：他一说我明白了啊，这个99×100和这儿是一样的，是吧？然后这儿是99个5啊？他把99个5先看作？
生（齐）：100个5。

师：然后再怎么样呢？多了1个5，接着怎么样？减1个5，是这样的吧？
生：我觉得像李××这样算的话，那还不如先把99给看成100，100×105-99那不就更容易了吗？（鼓掌）就是99×105可以等于100×105-99，减去105，
100×105-105。

师：你的意思是说，我算的是99个105，我就用100个105减去1个105.
生：对。

师：这也是一种简算方法，是吗？你要说什么？你说。

生：我觉得，刚才李昱成说的方法是直接就用了尹丽上面写的这种方法，而李广威刚才讲的那种方法是首先用了乘法分配律，接着再用了尹丽发现的那个规律。

师：我看看，尹丽写的还蛮有意思的啊，我突然发现。

来看看上面写的。

生（齐）：A加B的和乘C等于A乘C加B乘C。

师：我还有个建议，什么建议啊？
生（齐）：小写。

师：一般用小写字母，对吧？你看看尹丽的下面还写了一个。

生（齐）：A减B乘C
师：怎么读？
生（齐）：A减B的差乘C等于A乘C减B乘C。

师：有没有发现，这一个规律是谁用的？
生：就是李星宇用的。

师：李星宇的，是吧？这个用的是哪个规律？下面的是吧？而且我们知道了像这样的规律叫什么？
生（齐）：乘法分配律。

师：这个也和乘法分配律有关，好，其实我们刚才在分析的时候就说到了，你看啊，如果这种的话，这个100个99加5个99，那也就是？
生：105个99.
师：是吧？然后这种的话呢就是从100个105里面去掉？
生（齐）：1个105。

师：得到？
生（齐）：99个105。

师：那现在再回到这儿，b个a加上c个a，那就等于？
生（齐）：b加c的和个a。

师：哦，b加c的和这么多个a。

从图上也能看出来，那你现在想想看，我就想起了一个疑问，是王若琪写的。

你把你当时你的疑问第一个，给大家说说。

生（王）：我的第一个疑问是：老师让我们写这份小研究是为了研究什么？
师：听到他的疑问了吗？我觉得这个疑问非常有意思，他一定知道答案，但他把这个提了来，说今天我们写这个小研究是研究什么，知道的说。

生（齐）：乘法分配律。

师：那什么是乘法分配律？用字母表示，我们就说一种。

生（齐）：a×（b+c）=a×b+a×c。

师：然后再看了尹丽的介绍，我们就知道，乘法分配律怎么运用，是吧？有什么运用？
生：乘法分配律可以使计算简便。

师：怎样的题目能计算简便呢？还要说吗？
生（齐）：不用。

师：哪儿有答案？
生（齐）：黑板上写了。

师：尹丽告诉我们的，是吧？再次把掌声送给尹丽。

（鼓掌）
师：来，尹丽，请你回。

我觉得我们是不是还应该把掌声送给王若琪？（鼓掌）
师：王若琪的一个问题让我们意识到今天我们是研究什么的，对不对？研究的什么？
生（齐）：乘法分配律。

师：我就在想啊，就像走路一样，我们走得很远很远的时候，咱们还要想一想，我去哪儿，干什么，对不对？还有问题是吗？
生：我知道尹丽刚才为什么写比如说a减b的差乘c等于a乘c减b乘c也算分配律，因为我们一开始，比如李广威他一开始讲的，99×105等于99×（100+5），他是把105分成了100和5相加，而像99这样的数我们可以把它看作100-1，然后再乘105。

（鼓掌）
师：说到这儿我们觉得要特别感谢我们有一个同学编了一个特别好的题目，谁呀？
生（齐）：×××
师：编的题目是什么？
生（齐）：99×105。

师：既用了乘法分配律，又用了这个和乘法分配律相关的规律，是吧？不过现在看看黑板还有问题，但时间到了，来不及解决了，我们看看这个问题是什么？前面是××写的吧，我们是分成了两个数相？
生（齐）：加。

师：一个数去乘两个数的和，他写成a乘？
生（齐）：c乘d。

师：两个数相乘，是吧？那这样是不是乘法分配律呢？
师：有说是，有说不是，那这个今天下课以后再去研究，明天再交流。

明天不能交流，应该是星期几啊？
生（齐）：星期一。

师：那今天的手记还有一个，我们大家知道，运用乘法分配律可以使计算简便，是吧？是使所有的计算都简便？
生：不是。

师：那应该是什么？
生：有一部分简便。

师：有一部分计算能简便，是吗？好，那第二个手记内容就是：那一些，一部分是哪些题目能用乘法分配律计算？听明白两个问题了吗？第一个问题：这是
不是乘法分配律？第二个，使一些计算简便，一部分计算简便，为什么说一些，一部分？好，这节课就上到这儿。