sec费米面和态密度
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分别移到第一布里渊区 • 变形费米面，使满足
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
23
自由电子和金属费米面
• 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示
• fcc结构，空晶格模型费米面，原胞内3电子
* 第一布里渊区全部填满，费米面延伸到第2第3布 里渊区
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为
dSdk kx
Z
2V
2 3
dSdk
考虑自旋
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
ky
33
E k E(k) dk
dk
E k E(k)
• 于是 • 所以
Z
2V
2 3
dSdk
• 我们从分析布里渊区边界的 能带结构入手
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费米面和态密度
7
1、等能面在布里渊区边界的畸变
• E(k)关系相对于空 晶格模型发生畸变
* 这幅图畸变关系
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反
靠近边界时，等 能面向外凸
• 在此以下， 接近自由电 子态密度
• 看这个箭头 在k空间对应 的位置？
* 正好是从 Gamma点开 始的第一个 出现的布里 渊区边界！
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
37
思考：为什么在此箭头以下，态密度 与自由电子气的基本相当，而在此以 上，态密度发生了变化？
10.107.0.68/~jgche/
2V
2 3
dS
k Ek
E
DE
Z E
2V
2 3
dS
k Ek
• 如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是 一多值函数，不止一条能带，则
DE
j
2V
2 3
dS
k E j k
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费米面和态密度
* 用2, 3, 4, …表示高布 里渊区，由分离的碎 片组成，但形状、面 积等都与第一布里渊 区完全相同
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费米面和态密度
12
高布里渊区碎片移动组成布里渊区示意图
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费米面和态密度
13
空晶格模型费米面
• T=0时电子的最高的填充能级费米能级EF • 随个波等矢能面k连(曲续面的)变，化这的样E的(曲k)=面E称F在为k费空米间面构成一
• Ag的费米面 (Fermi surface, FS)
* 设问：自由电子气费米面形状如何？
• 为什么会有这种变化？
* 费米面如何穿越布里渊区？
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费米面和态密度
2
下图左边是能带结构，右边是什么图？
• Al的能带和态密度 (density of states, DOS)
相交
• 等能面在B区边界
发生突变
10
2、金属费米面
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费米面和态密度
11
高布里渊区：以二维正方格子为例
• 费米面是电子占据 与非占据分界面
* 费米面根据原胞电子 数的多少，会延伸至 不同的高布里渊区。 这样在简约布里渊区 表示中，费米面形状 会非常复杂
• 高布里渊区
E E k k k k E E k k k kK
E E
k K / 2
k K / 2
E E k K / 2 k K / 2
k E(k) K / 2 0
• 所以等能面与布里渊区边界垂直相交
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费米面和态密度
费米面和态密度
14
设问：半导体、绝缘体是不是用费米 面概念？
不用！ 用价带顶概念。
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费米面和态密度
15
以四价原子、二维正方空晶格模型为例
• 金属(近自由电子)费米面可由自由电子费米面 得到，因此先看自由电子费米面
* 价电子数N决定费米圆的半径费米波矢 * 自由电子气费米波矢
费米面和态密度
38
4、如何过渡到近自由电子态密度？
关键是布里渊边界会产生畸变
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费米面和态密度
39
态密度与等能面的关系
• 态密度定义：E~E+dE间隔状态数。实际上， 就是这个间隔内等能面的面积除以等能面梯度
DE
2V
2 3
dS
k Ek
2V
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费米面和态密度
24
自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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费米面和态密度
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自由电子(bcc空晶格模型)费米面
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费米面和态密度
26
自由电子(hcp空晶格模型)费米面
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4
19
过渡到近自由电子费米面
• 费米面是能级等于费米能级的等能面
* 在k空间，自由电子的等能面是球面，所以，自由 电子的费米面是个球面
• 已知：能带在跨越布里渊区边界时，会有畸变 能隙
* 那么，费米面在跨越布里渊区边界会如何变化呢？ 靠近布里渊区边界处，费米面也有畸变
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
2V
2 3
m 2k
4k 2
C
E
• 对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电 子，可以看作自由电子态密度的迭加
* 靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边 界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭 合的
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费米面和态密度
36
回到前面例子：注意箭头
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费米面和态密度
18
• 前面是费米面的周期图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满
• 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片
到第一布里渊区，按不同能带作费米面
1
2
3
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费米面和态密度
• 态密度：能量空间的电子的状态密度
* 单位能量间隔内电子状态数 * 其物理意义就是该能量的简并度
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费米面和态密度
4
第17讲、费米面和态密度
1. 等能面在布里渊区边界的畸变 2. 金属费米面 3. 电子的能量状态密度 4. 如何过渡到近自由电子态密度
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9
等能面如何穿越布里渊 区边界？
S
P
S’
K Q
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费米面和态密度
• P和Q是倒格点，
* K是倒格矢
* 垂直于K的直线 即B区边界
• 等能面S(实线)与 边界相交
* S’是其等价等能 面，周期性
* 现不连续过界
• S不能连续地通过 边界
* 修正，圆弧
* 圆弧与边界垂直
• 从能量最低 处开始，非 常接近自由 电子的态密 度，直到大 约-5eV，偏 离自由电子 态密度。这 会为什么？
* 看态密度的 物理意义
10.107.0.6பைடு நூலகம்/~jgche/
费米面和态密度
30
能量状态密度
• 孤立原子中，能级分裂； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间
隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！ • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ • 能量态密度就是表示这种密集程度的量
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费米面和态密度
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能态密度的定义
• 能量间隔在E~E+dE中的状态数
* 如果dZ表示状态数目，则态密度为
D(E) dZ dE
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费米面和态密度
32
能带与态密度的关系
kz
• 自由电子气模型中，已知 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是分立的，均匀 的，密度为V/(2π)3。
3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩
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费米面和态密度
21
二维正方格子等能面畸变示意图
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费米面和态密度
22
费米面Harrison作图法
• 倒格子——画布里渊区 • 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 • 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片
离开边界时，等 能面向内缩
E(k)
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费米面和态密度
k
8
等能面如何与布里渊区边界相交？
• 因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不 能连续穿越布里渊区边界
• 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
Ek E k Ek Ek K
2 3
m 2k
4k 2
~
2k
C
k* F
3 2
N V
1/ 3
三维
kF
2
N A
1/ 2
二维
对四价原子
kF
2
4 1/ 2 A
2 2 a
kF
2
N L
一维
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费米面和态密度
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引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 设问：自由电子气态密度形状如何？
• 为什么会有这种变化？
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费米面和态密度
3
本讲目的：FS和DOS从自由电子气过渡
• 费米面：零温度时最高占据能级的等能面
* 在自由电子气模型中，已经知道费米面 * 金属中，在弱外场下，只有费米能级附近电子占据
状态会发生变化，因此，费米面的结构对金属的输 运性质就非常重要 * 半导体、绝缘体不涉及费米面
费米面和态密度
27
实际费米面
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费米面和态密度
28
3、电子的能量状态密度
• 费米面给出的是处于最活跃的能 量范围的电子结构信息
• 那么，其他能量区间呢？
* 电子的能量状态密度能给出什么电 子结构的信息？
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费米面和态密度
29
例：Al的能带和态密度
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据
* 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据
• 费米圆与第 二、三、四 布 里渊区相交
• 第二、三、四 布里渊区部分 占据
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费米面和态密度
17
• 围绕着邻 近的倒格 点作半径 为kF的圆
* 周期图
• 周期图中 可以看出 每个高布 里渊区中 碎片的形 状
* 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面及其附近(kBT)电子状态密
度决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面
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上讲回顾：金属、绝缘体的能带论解释
• 电子如何填充能带
* 第一布里渊区不等价的状态数=原胞总数，N * 因此可用原胞内电子填充能带来判断填充情况
满带、空带、半满带
• 金属、绝缘体和半导体的能带论解释
满带不导电 金属、绝缘体、半导体
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费米面和态密度
1
下图fcc的布里渊区内是什么图？
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
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费米面和态密度
20
费米面的畸变
• 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变：
1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆
2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出
34
空晶格模型态密度
• 能带
Ek 2k 2
2m
• 在k空间等能面是球面，半径为
k
2mE
• 在球面上
k Ek
dE dk
2k m
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费米面和态密度
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• 球面面积为
dS 4k 2
• 所以
DE
2V
2 3
dS
k Ek
费米面和态密度
5
相比于自由电子气费米面(球面)，实际晶体 的费米面为什么会有这样的变化？
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费米面和态密度
6
相当于问：费米面何以 如此穿越布里渊区边界
• 费米面能量等于费米能级 的等能面
* 等能面=k空间能量相等的曲 面
* 因此，这个问题实际上是 问，等能面在布里渊区边界 的结构？
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
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费米面和态密度
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自由电子和金属费米面
• 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示
• fcc结构，空晶格模型费米面，原胞内3电子
* 第一布里渊区全部填满，费米面延伸到第2第3布 里渊区
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为
dSdk kx
Z
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dSdk
考虑自旋
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费米面和态密度
ky
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E k E(k) dk
dk
E k E(k)
• 于是 • 所以
Z
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2 3
dSdk
• 我们从分析布里渊区边界的 能带结构入手
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1、等能面在布里渊区边界的畸变
• E(k)关系相对于空 晶格模型发生畸变
* 这幅图畸变关系
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反
靠近边界时，等 能面向外凸
• 在此以下， 接近自由电 子态密度
• 看这个箭头 在k空间对应 的位置？
* 正好是从 Gamma点开 始的第一个 出现的布里 渊区边界！
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费米面和态密度
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思考：为什么在此箭头以下，态密度 与自由电子气的基本相当，而在此以 上，态密度发生了变化？
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dS
k Ek
E
DE
Z E
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dS
k Ek
• 如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是 一多值函数，不止一条能带，则
DE
j
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2 3
dS
k E j k
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费米面和态密度
* 用2, 3, 4, …表示高布 里渊区，由分离的碎 片组成，但形状、面 积等都与第一布里渊 区完全相同
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费米面和态密度
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高布里渊区碎片移动组成布里渊区示意图
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
13
空晶格模型费米面
• T=0时电子的最高的填充能级费米能级EF • 随个波等矢能面k连(曲续面的)变，化这的样E的(曲k)=面E称F在为k费空米间面构成一
• Ag的费米面 (Fermi surface, FS)
* 设问：自由电子气费米面形状如何？
• 为什么会有这种变化？
* 费米面如何穿越布里渊区？
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费米面和态密度
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下图左边是能带结构，右边是什么图？
• Al的能带和态密度 (density of states, DOS)
相交
• 等能面在B区边界
发生突变
10
2、金属费米面
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费米面和态密度
11
高布里渊区：以二维正方格子为例
• 费米面是电子占据 与非占据分界面
* 费米面根据原胞电子 数的多少，会延伸至 不同的高布里渊区。 这样在简约布里渊区 表示中，费米面形状 会非常复杂
• 高布里渊区
E E k k k k E E k k k kK
E E
k K / 2
k K / 2
E E k K / 2 k K / 2
k E(k) K / 2 0
• 所以等能面与布里渊区边界垂直相交
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费米面和态密度
费米面和态密度
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设问：半导体、绝缘体是不是用费米 面概念？
不用！ 用价带顶概念。
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费米面和态密度
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以四价原子、二维正方空晶格模型为例
• 金属(近自由电子)费米面可由自由电子费米面 得到，因此先看自由电子费米面
* 价电子数N决定费米圆的半径费米波矢 * 自由电子气费米波矢
费米面和态密度
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4、如何过渡到近自由电子态密度？
关键是布里渊边界会产生畸变
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费米面和态密度
39
态密度与等能面的关系
• 态密度定义：E~E+dE间隔状态数。实际上， 就是这个间隔内等能面的面积除以等能面梯度
DE
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dS
k Ek
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费米面和态密度
24
自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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费米面和态密度
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自由电子(bcc空晶格模型)费米面
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费米面和态密度
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自由电子(hcp空晶格模型)费米面
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过渡到近自由电子费米面
• 费米面是能级等于费米能级的等能面
* 在k空间，自由电子的等能面是球面，所以，自由 电子的费米面是个球面
• 已知：能带在跨越布里渊区边界时，会有畸变 能隙
* 那么，费米面在跨越布里渊区边界会如何变化呢？ 靠近布里渊区边界处，费米面也有畸变
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
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C
E
• 对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电 子，可以看作自由电子态密度的迭加
* 靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边 界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭 合的
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费米面和态密度
36
回到前面例子：注意箭头
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费米面和态密度
18
• 前面是费米面的周期图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满
• 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片
到第一布里渊区，按不同能带作费米面
1
2
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• 态密度：能量空间的电子的状态密度
* 单位能量间隔内电子状态数 * 其物理意义就是该能量的简并度
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第17讲、费米面和态密度
1. 等能面在布里渊区边界的畸变 2. 金属费米面 3. 电子的能量状态密度 4. 如何过渡到近自由电子态密度
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等能面如何穿越布里渊 区边界？
S
P
S’
K Q
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费米面和态密度
• P和Q是倒格点，
* K是倒格矢
* 垂直于K的直线 即B区边界
• 等能面S(实线)与 边界相交
* S’是其等价等能 面，周期性
* 现不连续过界
• S不能连续地通过 边界
* 修正，圆弧
* 圆弧与边界垂直
• 从能量最低 处开始，非 常接近自由 电子的态密 度，直到大 约-5eV，偏 离自由电子 态密度。这 会为什么？
* 看态密度的 物理意义
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费米面和态密度
30
能量状态密度
• 孤立原子中，能级分裂； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间
隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！ • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ • 能量态密度就是表示这种密集程度的量
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费米面和态密度
31
能态密度的定义
• 能量间隔在E~E+dE中的状态数
* 如果dZ表示状态数目，则态密度为
D(E) dZ dE
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费米面和态密度
32
能带与态密度的关系
kz
• 自由电子气模型中，已知 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是分立的，均匀 的，密度为V/(2π)3。
3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩
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费米面和态密度
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二维正方格子等能面畸变示意图
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费米面和态密度
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费米面Harrison作图法
• 倒格子——画布里渊区 • 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 • 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片
离开边界时，等 能面向内缩
E(k)
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费米面和态密度
k
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等能面如何与布里渊区边界相交？
• 因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不 能连续穿越布里渊区边界
• 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
Ek E k Ek Ek K
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三维
kF
2
N A
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二维
对四价原子
kF
2
4 1/ 2 A
2 2 a
kF
2
N L
一维
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费米面和态密度
16
引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 设问：自由电子气态密度形状如何？
• 为什么会有这种变化？
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费米面和态密度
3
本讲目的：FS和DOS从自由电子气过渡
• 费米面：零温度时最高占据能级的等能面
* 在自由电子气模型中，已经知道费米面 * 金属中，在弱外场下，只有费米能级附近电子占据
状态会发生变化，因此，费米面的结构对金属的输 运性质就非常重要 * 半导体、绝缘体不涉及费米面
费米面和态密度
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实际费米面
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费米面和态密度
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3、电子的能量状态密度
• 费米面给出的是处于最活跃的能 量范围的电子结构信息
• 那么，其他能量区间呢？
* 电子的能量状态密度能给出什么电 子结构的信息？
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例：Al的能带和态密度
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据
* 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据
• 费米圆与第 二、三、四 布 里渊区相交
• 第二、三、四 布里渊区部分 占据
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费米面和态密度
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• 围绕着邻 近的倒格 点作半径 为kF的圆
* 周期图
• 周期图中 可以看出 每个高布 里渊区中 碎片的形 状
* 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面及其附近(kBT)电子状态密
度决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面
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上讲回顾：金属、绝缘体的能带论解释
• 电子如何填充能带
* 第一布里渊区不等价的状态数=原胞总数，N * 因此可用原胞内电子填充能带来判断填充情况
满带、空带、半满带
• 金属、绝缘体和半导体的能带论解释
满带不导电 金属、绝缘体、半导体
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费米面和态密度
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下图fcc的布里渊区内是什么图？
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
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费米面和态密度
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费米面的畸变
• 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变：
1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆
2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出
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空晶格模型态密度
• 能带
Ek 2k 2
2m
• 在k空间等能面是球面，半径为
k
2mE
• 在球面上
k Ek
dE dk
2k m
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• 球面面积为
dS 4k 2
• 所以
DE
2V
2 3
dS
k Ek
费米面和态密度
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相比于自由电子气费米面(球面)，实际晶体 的费米面为什么会有这样的变化？
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相当于问：费米面何以 如此穿越布里渊区边界
• 费米面能量等于费米能级 的等能面
* 等能面=k空间能量相等的曲 面
* 因此，这个问题实际上是 问，等能面在布里渊区边界 的结构？