《解析几何初步》全章复习与巩固

《解析几何初步》全章复习与巩固
1．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10
2．经过圆22
20x x y ++=的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．10x y +-= D ．10x y ++=
3．若圆心在x C 位于y 轴左侧，且与直线x+2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )
A ．22(5x y +=
B ．22
(5x y +=
C ．22
(5)5x y -+= D ．22
(5)5x y ++=
4．直线x+y ＝1与圆22
20(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是( )
A ．(01)
B ．11)
C ．(11)
D ．(01) 5．圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
2
1+
D ．221+ 6．由直线y ＝x+1上的一点向圆(x -3)2+y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A ．1
B ．
C
D ．3
7．在圆2
2
(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )
A ．4条
B ．5条
C ．6条
D ．8条
8．过点(-4，0)作直线l 与圆2
2
24200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则x 的方程为( ) A ．5x+12y+20＝0
B ．5x+12y+20＝0或x+4＝0
C ．5x -12y+20＝0
D ．5x -12y+20＝0或x+4＝0
9．直线l 与圆2
2
240x y x y a ++-+=(a ＜0)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(1，0)，则直线l 的方程为________．
10．已知圆C 的圆心与点P (-2，1)关于直线y ＝x+1对称．直线3x+4y -11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．
11．已知圆C :2
2
(2)3x y -+=，直线l 与圆C 相切并且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．
12．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ．
13．若直线l 过点P (3，0)且与两条直线1l :2x -y -2＝0，2l :x+y+3＝0分别相交于两点A 、B ，且点P 平分线段AB ．求直线l 的方程．
14．如果实数x 、y 满足(x+2)2+y 2＝3，求
(1)
y
x
的最大值；(2)2x -y 的最小值． 15. 已知曲线C ：x 2
＋y 2
－4ax ＋2ay －20＋20a ＝0. (1) 证明：不论a 取何实数，曲线C 必过一定点；
(2) 当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； (3) 若曲线C 与x 轴相切，求a 的值.
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线1l 被直线l :3
y x 反射，反射光线2l 交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与1l 、2l 相切．
(1)求1l 所在直线的方程和圆C 的方程；
(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．
【答案与解析】
1. 【答案】B 【解析】42,82
m
k m m -=
=-=-+ 2．【答案】A
【解析】设所求直线方程为x -y+m ＝0，又过(-1，0)点，代入得m ＝l ，故直线方程为10x y -+=． 3．【答案】D
【解析】设圆心为(a ，0)(a ＜0)．因为直线x+2y ＝0
==，解得5a =-．所以圆C 的方程为22
(5)5x y ++=． 4．【答案】A
【解析】由题意知，直线与圆相离，圆心(0，a )到1x y +=
a >，解得11a <<．又0a >，故选A ．
5. 【答案】B
【解析】圆心为max (1,1),1,1C r d == 6．【答案】C 【解析】
设
满
足
条
件
的
点
为
(a
，
a+1)
，
则
切
线
长
l ===，当a ＝1时，min l =
7．【答案】B
【解析】画出草图观察并计算验证可知这样的直线有5条． 8．【答案】B
【解析】当l 斜率不存在时，方程为x ＝-4，此时弦心距为3，半径为5，可得半弦长为4，满足题意；当l 斜率存在时，设方程为(4)y k x =+
，又半径为5，半弦长为4，可求得
5
12
k =-
，则l 为512200x y ++=． 9．【答案】x -y -1＝0
【解析】该圆的圆心为(-1，2)，圆心与弦AB 中点确定的直线应与直线l 垂直，故斜率乘积应等于-1，可得1
11
l k -=
=-，所以直线l 的方程为01y x -=-，即10x y --=． 10．【答案】2
2
(1)18x y ++=
【解析】设点P (-2，1)关于直线1y x =+的对称点为C (a ，b )，则1
1212122
b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，. ∴ 01a b =⎧⎨=-⎩
，
. ∴ 圆心C (0，-1)，
∴ 圆心C 到直线34110x y --=的距离为|411|
35
d --==． 又弦长|AB |＝6，
由半径、半弦长、弦心距d 构成直角三角形得2
2
2
||2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
∴ 2
9918r =+=．
∴ 圆C 的方程为2
2
(1)18x y ++=． 11．
0y ±=
或20x y +-=
【解析】当截距为0时，设直线为0kx y -=，由(2，0)
=
k =
0y ±=；截距不为0时，设直线为
1x y
a a +=
=
2a =±，故直
线为20x y +-=． 12．【答案】11
(,)k k
【解析】1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=对于任何a R ∈都成立，
则0
10x y ky -=⎧⎨-=⎩。

13．【解析】根据题意设点B (t ，-t -3)．又AB 的中点P (3，0)，所以点A 的坐标为(6-t ，t+3)，
显然，A 在直线1l 上，代入直线方程得：2(6)(3)20t t --+-=，解之得：7
3
t =
， 所以点B 71633⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，直线l 的方程：160
30(3)733
y x -
--=--，即8x -y -24＝0．
14．【解析】如图所示，22
(2)3x y ++=表示以(-2，0)
(1)令
y
k x
=，则y kx =，即k 是连接坐标原点(0，0)与圆上点(x ，y )的直线的斜率． 当直线与圆相切时取最值，点(-2，0)到直线的距离2
1d k
=+3d =2
31k
=+
解之得3k =y
x
3． (2)令2x -y ＝k ，则y ＝2x -k ，即k 是y ＝2x -k 在y 轴上截距的相反数，
显然当直线2y x k =-与圆相切时，截距取最值，圆心(-2，0)到直线的距离
55
d =
= 令3d r == |4|15k +=
∴ 415k =-±，∴ 2x y -的最小值是415--
15. （1） 曲线C 的方程可变形为（x 2＋y 2－20）＋（－4x ＋2y ＋20）a ＝0.由22
4,
200, 2.42200,
x x y y x y =⎧+-=⎧⎨⎨
=--++=⎩⎩解得∴ 点（4，－2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，－2）.
（2） 原方程配方得（x －2a ）2＋（y ＋a ）2＝5（a －2）2.∵ a ≠2时，5（a －2）2＞0， ∴ C 的方程表示圆心是（2a ，－a 5a －2|的圆.设圆心坐标为（x ，y ），则有2,
,
x a y a =⎧⎨=-⎩消去a ，
得y ＝－
12x ，故圆心必在直线y ＝－1
2
x 上. （3） 5a －2|＝|a |，解得a 55
± 16．【解析】(1)直线1l :2y =，设直线1l 交直线l 于点D ，则(232)D ，
． ∵ l 的倾斜角为30°，∴ 2l 的倾斜角为60°，
∴ 23k = 反射光线2l 所在的直线方程为y -23(23)x -， 340x y --=．已知圆C 与直线1l 相切于点A ，设C (a ，b )．
∵ 圆心C 在过点D 且与l
=∴
8b =+①．又圆心C 在过点A 且与直线1l 垂直的直线上， ∴
a =②．
由①、②知b ＝-1．又圆C 的半径r ＝2-(-1)＝3，故所球圆C
的方程为22
((1)9x y -++=．
(2)设点B (0，-4)关于直线l 的对称点为00()B x y '，
，
则
00423
2y x
-=，且0
4
y x +=(2)B '-， 由点与圆的位置关系知当B '，P ，Q 共线，且直线B Q '过圆心C 时，PB+PQ 最小， 故PB+PQ 的最小值为3B C '-． 设()P x y ，
，
∵ PC B C k k y x '=⎧⎪⎨=⎪⎩
，
，
∴
y x =⎪
=⎪⎩
， 解得212
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
即122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，
PB+PQ
的最小值为333B C '-==．。