壁面涡旋结构与湍流脉动压力的大涡模拟研究

壁面涡旋结构与湍流脉动压力的大涡模拟研究
张晓龙;张楠;吴宝山
【摘要】湍流脉动压力是重要的流噪声声源，对其进行数值计算是流声耦合领域的重要课题，开展相应的研究十分必要。

文章采用大涡模拟方法（LES）结合四种亚格子涡模型与四套网格，对槽道壁面湍流脉动压力进行了数值计算，并与试验结果进行了对比分析，验证了数值计算方法的可靠性。

首先，介绍了大涡模拟的物理内涵与基本方程，给出了常用亚格子涡模型的表达式，并给出了相应的离散求解数值方法以及边界条件的设置。

其次，描述了槽道试验段的几何特征，给出了网格的剖分形式。

最后，详细讨论了槽道壁面湍流脉动压力频谱计算值与试验值之间的差异，进行了定量与定性的比较分析，同时分析了涡旋结构与近壁面流速分布，研究了亚格子涡模型与网格数量对计算结果的影响，为今后复杂几何模型壁面湍流脉动压力及其频率-波数谱的计算研究工作奠定了基础。

%Turbulent wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers are important source of flow noise. The computation of wall pressure fluctuations is a hot topic in the field of flow-sound coupling. It is necessary to carry out corresponding research. In this paper, wall pressure fluctuations of a tunnel wall is computed using large eddy simulation (LES) with four different sub-grid scale models and four sets of meshes of different grid number. The results are compared with the experiment of Abraham and discussed in detail. Firstly, some fundamentals of the numerical simulation are presented, including the philosophy of LES, for-mulations of different sub-grid scale models, discretization methods and boundary conditions, etc. Then, the rectangular test section of the tunnel and its computational domain are
depicted. Finally, the computed spec-trum of the wall pressure fluctuations is compared with that of Abraham’s e xperiment and analyzed qualita-tively and quantitatively. The effects of different sub-grid scale models and different grid numbers are also discussed in detail. Groundwork is made
for further research in turbulent wall pressure fluctuations.
【期刊名称】《船舶力学》
【年(卷),期】2014(000)008
【总页数】11页(P871-881)
【关键词】壁面湍流脉动压力;大涡模拟;槽道;亚格子涡模型
【作者】张晓龙;张楠;吴宝山
【作者单位】中国船舶科学研究中心，江苏无锡214082;中国船舶科学研究中心，江苏无锡 214082;中国船舶科学研究中心，江苏无锡 214082
【正文语种】中文
【中图分类】O357.5
1 引言
不论是水中运动的船舶、潜艇，还是在空气中运动的火箭、飞机等飞行器，它们在介质中运动时外表面都会形成边界层。

边界层内脉动速度扰动就产生物面上的脉动压力（pressure fluctuations或者wall pressure fluctuations）。

由于脉动压力是湍流非定常特性的重要表征，而且是流激噪声的重要来源，所以在流体诱发振动与噪声的许多工程应用问题中脉动压力都备受关注。

因此，近年来国内外对壁面湍
流脉动压力开展了大量试验与计算研究。

Abraham和Keith（1998）[1]在消音水洞中，通过在流向等间距布置48个传感器，测得了壁面湍流脉动压力流向的频率—波数谱，其使用的传感器阵列具有较
高的分辨率，从而保证了频率—波数谱“迁移脊”和部分低波数区域的测量准确度。

用基于试验测得的参数得到的时空尺度对频率-波数谱进行了无量纲化处理，
比较了不同无量纲处理方式的效果。

Cipolla和Keith（2008）[2]在庞多雷湖（Lake Pend Oreille）中进行圆柱表面
拖曳阵上的湍流脉动压力测试，试验在实尺度模型上进行，速度范围为10-18 kns，并得到了相应的频率—波数谱、自功率谱和迁移速度等。

试验结果表明当直拖时，频率-波数谱中有明显的迁移脊；当回转时，流体诱发的振动会主要影响频率-波数谱的低频部分，高频部分则更快地衰减。

在分析测试数据时Cipolla和Keith仍然引用Abraham（1998）的试验结果来证实其测试结果的合理性，这也足见Abraham（1998）的测量结果得到业界认可，具有经典价值，对湍流脉动压力测量与频率—波数谱的分析均产生了重要影响。

Manoha（2000）等人[3]采用大涡模拟方法，对厚平板钝后缘的非稳态流场的脉动压力进行了计算，并对尾缘壁面脉动压力进行了分析，其幅值、频率以及流向的演化均与钝后缘翼型的测量结果吻合很好。

Wang Meng（2009）等[4-6]应用LES方法对有拱度薄板机翼低速情况下的脉动压力进行计算，并结合FW-H方程对辐射噪声进行了计算。

计算得到机翼表面导
边区域压力场的频谱和展向相关性均与试验吻合较好，但低频域附近较差一些。

远场声压谱与试验结果很吻合，其引入的有限弦长修正虽然比较小，但能进一步提高准确度。

Jean-François和Klaus（2009）[7]用DES对后台阶流动的脉动压力进行了计算，计算得到的脉动压力主频率与试验吻合很好，功率谱与经验模型一致。

张楠（2008-2011）等人[8-11]通过LES结合FW-H声学类比方法，计算了两类
孔穴的流激噪声问题以及五种不同尺寸的方形孔腔在水中的流动特征及流激噪声。

还基于LES和Kirchhoff积分，对孔腔流动的发声机理进行了分析。

另外，还利用大涡模拟计算了SUBOFF主、附体的表面压力分布，并对平板及某水下航行体几
个离散点的脉动压力进行了计算，得到了脉动压力的频谱。

表面压力分布，与试验结果十分吻合，具有较高精度；平板脉动压力与试验值差异小于5 dB，比较可靠。

2 计算方法
2.1 大涡模拟方法
大涡模拟（LES）的主要思想是：将湍流分解为可解尺度湍流运动（包含大尺度脉动）和不可解尺度湍流运动（包含所有小尺度脉动），并且认为，大尺度运动几乎包含所有的能量，而小尺度运动主要起能量耗散作用，几乎不受流场边界形状或平均运动的影响，近似认为是各向同性的。

然后，小尺度运动对大尺度运动的作用通过建立模型（即亚格子涡模型）来实现，从而使运动方程封闭。

对可解尺度运动则直接进行数值求解。

物理空间的滤波过程可表示如下：
其中是滤波后的函数，D是滤波空间，G（x）是滤波函数（也可称作滤波器）；
上述滤波过程可以选用不同的滤波函数（滤波器），常用的滤波器主要有：盒式滤波器、傅氏截断滤波器和高斯滤波器。

滤波后的控制方程（连续方程和N-S方程）为：
其中：σi j为分子粘性引起的应力张量，τi j为亚格子应力张量需要用亚格子涡模
型进行模拟。

本文采用SL、DSL、WALE、KET四种亚格子涡模型进行计算，详细公式表达参见文献[12]。

对亚格子涡模型而言，主要有Smagorinsky（1963）提出的Smagorinsky（SL）模型[13]，也是最早的亚格子涡模型，其亚格子涡粘性取作，其中，Cs为Smagorinsky常数，△为过滤宽度，为大尺度应变率张量的幅值，Cs常取0.1～0.2。

为改善一般涡粘模型普适性较差的缺点，Germano（1991）[14]提出了一种动力亚格子涡模型（DSL），后来，Lilly（1992）[15]应用最小二乘法又对其作了改进。

该模型的涡粘性系数由下式给出：
其中：其中Li j为可解的湍流应力，它表征介于网格滤波宽度与测试滤波宽度之间的雷诺应力的贡献。

Mi j是一个与滤波宽度和应变率张量有关的中间量。

2.2 计算模型、网格及数值方法
众所周知，Huang在风洞中所做的SUBOFF潜艇尾流场测试已经成为水动力学界公认的标模基准检验试验（Benchmark test），国际与国内的水动力学研究人员
都用此试验数据来校核数值计算方法的可靠性。

同样，Abraham在安静性水筒中所做的平板湍流脉动压力测试也已经成为声学领域的标模基准检验试验，可以用来校核对声源的CFD计算方法的可靠性。

二者在各自领域都产生了重要而深远的影响。

本文即利用Abraham的试验数据详细验证了大涡模拟方法对于非定常流动和脉动压力的计算能力。

如图1所示，Abraham试验的矩形试验段长L=2.108 2 m，入口处矩形剖面宽
a=0.304 8 m，高h=0.101 6 m；出口处矩形剖面宽a1=0.304 8 m，高
h1=0.112 0 m。

从距入口端1.63 m处开始，流向等间距布置48个传感器，传
感器直径3.81 mm，传感器中心间距4.22 mm。

Abraham试验的三个工况入口
处水流速度分别为U0=3.1 m/s，4.6 m/s和6.1 m/s，测试点处的局部雷诺数分
别约为Re=4.47×106，6.70×106和1.02×107。

依照流体力学理论，平板边界
层在Rex＞3.0×106之后就已发展为湍流状态。

图1 槽道试验段及传感器布置示意图Fig.1 The rectangular test section and sensor array
本文采用三维模型计算，计算域采用结构化网格，网格剖分形式采用H型，采用4套网格（网格加细比）进行计算，各套网格数量见表1，最大网格数量为1 250万，计算区域网格如图2所示。

表1 所采用的4套网格数量（单位：百万）Tab.1 Grid number of different meshes(million)网格1网格2网格3网格4 0.551.554.4012.50
图2 计算区域网格Fig.2 The computational domain and grid
计算区域长Lc=2L，入口处矩形剖面宽a=0.304 8 m，高h=0.101 6 m；出口处矩形剖面宽a1=0.304 8 m，高h1=0.112 0 m；边界条件设为速度入口、自由出流以及无滑移壁面边界条件；时间项采用二阶隐式格式离散，动量方程采用限界中心差分格式离散，压力速度耦合采用SIMPLE算法。

计算时间步长△t=10-4s，频谱最高频率可达5 kHz。

壁面y+≈1。

3 计算结果与分析
3.1 流场计算结果与分析
图3-5给出了网格4对平均速度场的计算结果，并与Abraham的试验结果以及对数区域内Coles和Hirst的理论值进行了对比。

从图中可以看出，计算结果与试验值除在边界层外层附近稍有差别外（与试验值的微小差别可能是由于边界层外层的网格与近壁面处网格相比相对较粗糙引起），均吻合得很好；在对数区域内与Coles和Hirst的理论值也吻合得很好。

需要指出，由于Abraham只给出了边界层对数区域及外层边界层的试验值，这就使得过渡区域和层流底层的计算结果没有对应的试验值作为参考。

因此，这里给出Nikurads（1932）对圆管湍流边界层的试验测量结果，首先将计算结果与其进行了定性的比较，发现计算与试验得到的速
度剖面形式基本一致。

然后，尝试了将无量纲化的计算结果与Nikurads的试验结果进行了定量比较，如图6。

结果发现，虽然上述的两种边界层由不同的物理流动得到，但无量纲化处理之后的计算结果与Nikurads的试验结果十分吻合。

笔者认为，这表明了壁面湍流边界层的相似性：即不同物理流动对应的边界层基于自身对应的时空尺度进行无量纲化处理之后，具有基本相同的速度剖面分布；另外，也预示着对同一流体介质Blasius的关于边界层内速度剖面具有相似性的假设具有其合理性，并且可能也适用于湍流边界层（不考虑压力梯度的影响）。

前人研究表明[16]，有两种不同性质的湍流，一种称为“壁面”湍流，例如管、渠中的流动等等；另一种称为“自由”湍流，例如船舶后方的伴流、喷注的射流等等。

“壁面”湍流受到壁面的强烈作用，它的相似服从于“壁面定律”，速度可用u+=f（y+）来表示。

图3 计算速度剖面与Abraham试验的对比（U0=6.1 m/s）：（a）原速度剖面；（b）无因次速度剖面Fig.3 Comparison of the calculated and experimental velocity profiles(U0=6.1 m/s):(a)No-normalized;(b)Normalized
图4 计算速度剖面与Abraham试验的对比（U0=4.6 m/s）：（a）原速度剖面；（b）无因次速度剖面Fig.4 Comparison of the calculated and experimental velocity profiles(U0=4.6 m/s):(a)No-normalized;(b)Normalized
图5 计算速度剖面与Abraham试验的对比（U0=3.1 m/s）：（a）原速度剖面；（b）无因次速度剖面Fig.5 Comparison of the calculated and experimental velocity profiles(U0=3.1 m/s):(a)No-normalized;(b)Normalized
图7给出了基于不同网格数量的计算结果，利用Q判据得到的涡旋结构图（Q=2 000），此处采用Q判据的主要原因在于Q判据在识别涡旋结构方面的良好表现[17]。

从图中可以看出，就所采用的四套网格而言，在网格布置比较密的区域，尤其是传感器布置的区域，均可以明显地看到相应的涡旋结构。

但同时也可以看到，
虽然网格1较少的情况也可以捕捉到传感器周围的涡旋结构，但其所能捕捉到的涡旋结构也仅限于一些较大尺度的涡，随着网格数量的增加，更多小尺度的涡被捕捉到。

由以上的结果可以看出网格尺度对于涡旋结构捕捉能力的重要影响，同时由于涡旋结构与壁面湍流脉动压力密切相关，所以进而也可以看出网格尺度对于脉动压力的重要影响。

这在后面会详细讨论。

图6 计算速度剖面与Nikurads试验结果的对比Fig.6 Comparison of the calculated and experimental velocity profiles
图7 Q判据得到的涡旋结构示意图：（a）网格1；（b）网格2；（c）网格3；（d）网格4Fig.7 Vortical structures captured by Q criteria:(a)Grid 1;(b)Grid 2;(c)Grid 3 and(d)Grid 4
3.2 脉动压力计算结果与分析
本节详细分析亚格子涡模型与网格数量对计算结果的影响。

图8给出不同亚格子涡模型脉动压力频谱的计算结果与试验结果对比。

图9-11给出了不同网格数量下脉动压力频谱的计算结果与试验结果对比。

对图8中定量计算结果进行分析可以看出，亚格子涡模型DSL、WALE、KET计算得到的结果均与试验吻合较好。

从谱型来看，三种亚格子涡模型计算得到的功率谱均表现出了脉动压力频谱的典型特性（在低频段，谱级随频率基本不变，近似呈一水平线；在高频段，谱级以一定的斜率随频率下降）[12]，低频段和高频段的分界点在ωδ*/U0≈2处，这与Abraham的试验结果十分吻合。

三种亚格子涡模型DSL、WALE、KET的计算值与试验值定量比较的结果如下表2（负号表示小于试验值）所示，从表中可以看出，在频率较低（ωδ*/U0＜2）时，DSL和WALE模型表现最好，计算结果误差大小均在3 dB左右；KET模型误差稍大，在4.6 m/s 和6.1 m/s时分别为-4.83 dB和-7.36 dB。

在频率较高（ωδ*/U0＞2）时，三种模型的计算误差均有所增大，但DSL和WALE模型仍表现最好，计算结果误差维
持在5 dB左右；KET模型误差稍大，在4.6 m/s和6.1 m/s时分别为-8.12 dB和-12.94 dB。

但总的来说，三种亚格子涡模型都得到了较好的预测结果，计算误差基本都能保持在低频小于5 dB，高频小于10 dB。

另外，上述计算结果还说明脉
动压力频谱低频段计算精度高于高频段，这与国内外已有研究结果也是吻合的[4-6]。

图8 不同亚格子模型脉动压力频谱的计算结果与试验对比：（a）U0=6.1 m/s；（b）U0=4.6 m/sFig.8 Comparison of the calculated and experimental wall pressure frequency spectra:(a)U0=6.1 m/s;(b)U0=4.6 m/s
表2 不同亚格子涡模型的最大计算误差（单位：dB）Tab.2 Maximum errors by different sub-grid scale models(dB)Error(dB)U0(m/s)Model 4.6 m/s6.1 m/s ωδ*/U0＜2ωδ*/U0＞2ωδ*/U0＜2ωδ*/U0＞2 DSL WALE KET 3.1 2.8-4.8 5.7 5.0-8.1-3.7-2.5-7.4-6.7-5.1-12.9
需要指出，SL模型计算得到的频谱谱型与试验结果差别较大，定量比较的最大误
差可达-15.8 dB。

主要原因可能在于，SL模型涡粘性的表达式中含有常数Cs，即Smagorinsky常数，但通常来说Cs并不是常数，是随流动的不同而变化的，尤
其是在近壁面附近Cs的值要减小很多。

因此，SL模型取Cs为常数并不合理，因为不可能用一个Smagorinsky常数来表征千变万化的流动现象；另外，Smagorinsky模型也不能考虑能量从小尺度到大尺度的逆向传递（backscatter）。

因此，至少应考虑引入Van Driest阻尼来更合理地对亚格子涡粘性进行模拟或根
据流动的不同对局部的Cs进行相应的调整。

而其他三种模型则考虑了局部流动的差异，动态地求解亚格子涡粘性，比如：DSL模型就通过局部计算涡粘性系数来
尽可能地反映实际流动情况。

这可能是三种动态亚格子涡模型DSL、WALE、KET 计算得到的结果均与试验吻合较好的主要原因。

以下对图9-11中的定量计算结果进行分析。

首先看6.1 m/s情况（图9），网格1计算得到的频谱虽然也具有湍流脉动压力的典型特性，但频谱中谱密度关于频率的分布却与试验结果差别很大，其预报的能量集中在更低的频段，频谱在很低的频率（ωδ*/U0≈0.3）处就开始提前急剧衰减（试验结果则是在ωδ*/U0≈2），且在整个所计算的频段内，预报值明显偏低，误差较大，最大误差为-20.06 dB。

究其原因，主要在于网格过于粗糙，很多对脉动压力影响较大，含能量较高的涡并没有被很好地分辨出来。

随着网格的加密，一些较小尺度的涡被分辨出来，网格2计算得到的频谱与试验结果接近，但频谱仍在较低的频率（ωδ*/U0≈1.1）处就开始提前急剧衰减，预报值仍偏低，误差在局部能达到-16.10dB，但与试验结果能基本吻合。

随着网格的进一步加密，较小尺度的涡被分辨出来，网格3和网格4的预报则更加准确，计算得到的频谱与试验结果十分一致，频谱在频率ωδ*/U0≈2处开始急剧衰减，这与Abraham的试验结果也十分吻合，并且在所计算的频段内误差均能保持在5 dB以内，但网格4比网格3在高频段表现更好。

再看4.6 m/s情况（图10），同样是网格比较粗糙的原因，网格1和网格2计算得到的频谱中谱密度关于频率的分布与试验结果差别很大，其预报的能量集中在较低的频段，网格1和网格2分别在很低的频率ωδ*/U0≈0.1和ωδ*/U0≈0.3处就开始提前急剧衰减（试验结果则是在ωδ*/U0≈2），且在整个所计算的频段内，两套网格预报值明显偏低，误差较大，最大误差分别为-23.66 dB和-20.37 dB。

随着网格的进一步加密，更多较小尺度的涡被分辨出来，网格3和网格4的预报则更加准确，计算得到的频谱与试验结果十分一致，频谱在频率ωδ*/U0≈2处开始急剧衰减，这与Abraham的试验结果也十分吻合，并且在所计算的频段内误差小于8 dB，但网格4比网格3表现稍好。

图9 不同网格数量下脉动压力频谱计算结果与试验对比（U0=6.1 m/s）Fig.9 Comparison of the calculated and experimental wall pressure frequency
spectra(U0=6.1 m/s)
图10 不同网格数量下脉动压力频谱计算结果与试验对比（U0=4.6 m/s）Fig.10 Comparison of the calculated and experimental wall pressure frequency spectra(U0=4.6 m/s)
最后看3.1 m/s情况（图11），此时网格1、网格2和网格3计算得到的频谱中谱密度关于频率的分布均与试验结果差别很大，其预报的能量集中在较低的频段，网格1、网格2和网格3均在很低的频率ωδ*/U0≈0.2处就开始提前急剧衰减（试验结果则是在ωδ*/U0≈2），且在整个所计算的频段内，三套网格预报值明显偏低，误差较大，网格1、网格2和网格3最大误差分别为-25.65 dB、-26.97 dB和-20.51 dB。

随着网格的进一步加密，网格4的预报则更加准确，计算得到的频谱与试验结果基本一致，在所计算的频段内误差小于5.1 dB，但频谱在频率ωδ*/U0≈1处开始急剧衰减，早于Abraham的试验结果。

图11 不同网格数量下脉动压力频谱计算结果与试验对比（U0=3.1 m/s）Fig.11 Comparison of the calculated and experimental wall pressure frequency spectra(U0=3.1 m/s)
表3 不同网格数量下最大计算误差（单位：dB）Tab.3 Maximum errors by different meshes(dB)Error(dB)U0(m/s)Grid 3.1 m/s4.6 m/s6.1 m/s ωδ*/U0＜2ωδ*/U0＞2ωδ*/U0＜2ωδ*/U0＞2ωδ*/U0＜2ωδ*/U0＞2网格1网格2网格3网格4-25.65-26.97-20.51-5.05-23.46-24.02-15.45-5.06-23.66-20.37-3.23-3.37-19.94-18.40-7.72-5.90-20.06-16.10 3.96 4.12-17.23-9.46 4.81 3.96
综合以上的计算结果进行分析可以看出：
一方面，来流速度一定时，对湍流脉动压力的预报准确度随网格分辨率的增加而明显增加，湍流脉动压力的预报对网格的分辨率十分敏感。

这主要是因为本文所研究
的流动为零压梯度的流动，没有强逆压梯度区，从而没有流动的分离，也就没有大尺度的分离涡（如：马蹄涡、梢涡、尾涡等），依据湍流经典理论，平板湍流边界层内主要为小尺度的涡，从而湍流边界层内携带大部分能量的涡旋结构（含能涡）也具有较小的尺度。

湍流脉动压力频谱的预报准确度与能否准确模拟“含能涡”密切相关，平板湍流边界层内的含能涡尺度较小，因而需加密网格增强分辨率。

同时，脉动压力频谱高频部分的频谱特性主要是受湍流边界层内比含能涡尺度更小的“小涡”的影响，计算网格需能够分辨出这些小涡，因而要准确预报壁面湍流脉动压力则需要足够精细的网格。

另一方面，亚格子涡模型均为湍流模型，是基于完全发展湍流出发而建立的，但来流速度较低时更接近转捩区（如Re=4.47×10时，流动必然包含转捩的影响）。

虽然经验上来说动态亚格子涡模型能计算转捩，但对完全发展湍流而言，通过引入亚格子涡模型来对湍流进行准确模拟就已十分困难，而湍流转捩的过程是流动发生剧变的过程，想要通过亚格子涡模型或者对亚格子涡模型进行简单的转捩修正，就把流动的转捩及其影响准确地模拟出来则更是难上加难。

而且，湍流脉动压力的频谱，尤其是脉动压力高频部分的频谱特征主要受湍流边界层内“小涡”的影响（这在自由来流速度较低U0=3.1 m/s时尤为明显），而小涡的产生、输运、演化与
耗散本身也是一个非常复杂的过程，亚格子涡模型将不同性质的小涡作统一模化，也会引起计算上的误差，这就会引起脉动压力频谱，尤其是高频部分的计算误差较大。

所以说，亚格子涡模型也会对上述的计算结果间的差异有重要影响。

最后，由数值离散化过程中的误差也会对湍流脉动压力的预报产生一些影响。

4 结论与展望
本文用大涡模拟方法，结合不同的网格数量及四种不同的亚格子涡模型对槽道壁面湍流脉动压力进行了计算，并对脉动压力的频谱进行了详细的分析，探讨了网格数量与亚格子涡模型这两种重要计算因素对脉动压力计算结果的定性与定量影响，为
脉动压力及其频率-波数谱进一步的计算研究工作奠定了基础。

基于本文的计算结果，得到的主要结论如下：
（1）计算得到的流场与试验值和理论值均吻合很好，计算中湍流流场所显示出的相似性与前人的结果也非常一致，说明本文建立的数值方法对平均流场的计算表现良好。

（2）涡旋结构的捕捉与辨识对网格的分辨率十分敏感，当网格数量足够时方能捕捉到精细的涡旋结构。

（3）湍流脉动压力的预报受网格分辨率和亚格子模型的影响都很大，因此数值计算方法的选择与确定对脉动压力的准确预报至关重要；本文建立的数值计算方法对脉动压力的计算误差在低频段基本保持在5 dB以内，高频段10 dB以内，与国际上的研究成果一致。

综上所述，本文所建立的数值方法切实可靠，可以用于壁面湍流脉动压力的计算与分析研究，为壁面湍流脉动压力及其频率-波数谱进一步的研究工作打下了基础。

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