尖子生第二讲 有理数的巧算含答案

第二讲 有理数的巧算
考点·方法·破译
1．理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方法则，并能熟练进行有理数的运算.
2．掌握有理数加减乘除乘方混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算. 3．能用有理数运算律进行简便运算.
常用运算技巧
⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 基础夯实： 一、填空题
1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝__________
2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝__________
3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）
4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝__________
5、25.2-减去85-与8
3
-的差，所得的结果 ＝__________
2
1
2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝__________
6、若实数a 、b 满足
0a b a b
+=，则ab
ab ＝___________. 7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2
的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1
4的正方形
等分成两个面积为1
8
的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算
11111111
248163264128256
+++++++
＝__________. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与
原点O 的距离的和为_________；
9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是__________.
10、3.05万是精确到________位的近似数．
11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为_________ 米．
12、测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值h 的取值范围是在 ．
二、选择题
1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A ． 1
B ．0
C ．－1
D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ ）
A ．－a
B ．0
C ．2a
D ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）
A ．两数一定都是正数
B ．两数都不为0
C ．至少有一个为负数
D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－a ＞b ＞－b
C ．b ＞a ＞－b ＞－a
D ．－a ＞b ＞－b ＞a
6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）
A ．a ＞0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．a 、b 异号
D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大
7、如果a ＋b ＜0，0b
a
>，则下列结论成立的是（ ）
A ．a ＞0，b ＞0
B ．a ＜0，b ＜0
C ．a ＞0，b ＜0
D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ ）
A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0
B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0
C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0
D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A ．a ＋b ＞0
B ．b ＋c ＜0
C ．ab ＋ac ＞0
D ．a ＋bc ＞0
10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b
m cd m
+-+的值为（ ）
A ．－3
B ．1
C ．±3
D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ ）
A ．０
B ．１
C ．－１
D ．２
12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
13、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ ）小时？7
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．3.5 三、计算
（1）)217(75.2)413()5.0(+-+---； （2）18
5
3432877431---+-；
（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+------- （4）2
1
64118214837--+--+-
（5）)7
1
1()12787431(-⨯--； （6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯；
（7） 2011)1(524)436183(212-⨯÷⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯-+- （8）[]
22)3(231)5.01(1--⨯⨯---
※典例剖析
【例1】计算:)5
1413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++
【例2】、阅读材料，解答问题. 求2019
3
2
22
2221++++++ 的值.
解：令2019
3
2
22
2221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②
② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++ 运用材料以上方法计算：
7201620132555551++•••++++
【例3】计算
12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950
）
【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不
相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：
三、培优检测A 组 一、计算题
1、|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+-
2、5]4
3
)436183(2411[÷÷-+-
3、22)32
(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ 4、+⨯+⨯+⨯751531311 (2007)
20051⨯+
5、2232318)5
2()5()3(-÷--⨯-+--； 6、]})2(3
4[)75.0(5.0{)4725.0(12
4
--⨯--÷++-
B 组：
53
433323131、1999
19971
751531⨯+
+⨯+⨯ = ；
2、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ ．
3、35
21725155159353121
14715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ；
4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝
5、若||1m m =+，则()
2010
41m +=（ ）
A ．－１
B ．１
C ．12-
D ．12
6、设0a b c ++=，0abc >，则||||||
b c a c a b a b c +++++的值是（ ）
A ．-3
B ．1
C ． 3或－1
D ．－３或１
7、请你从右表归纳出13
＋23
＋33
＋43
＋…＋n 3
的公式并计算出
13＋23＋33＋43＋…＋1003的值＝__________..
8、已知c b a 、、都不等于零，且abc abc c c b b a a +++的最大值是m ，最小值为n ，求mn
n m
的值．
思考题：计算：60
59)60585958()602524232()60141
3121(+++•••+•••+++++•••+++
第二讲 有理数的巧算答案
基础夯实： 二、填空题
1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______
2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____
3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号）
4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____
5、25.2-减去85-与8
3
-的差，所得的结果 ＝______-2____
2
1
2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____
6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则ab
ab ＝_____-1______.
7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1
4的正方形
等分成两个面积为1
8
的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算
11111111
248163264128256
+++++++
＝____256255
______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与
原点O 的距离的和为___0______；
9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____.
10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．．
11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11
101.5⨯_______ 米． 12．．、．测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是．．．．．．在．
1.665h 1.655<≤ ．．
二、选择题
1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）
A ． 1
B ．0
C ．－1
D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ）
A ．－a
B ．0
C ．2a
D ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ）
A ．两数一定都是正数
B ．两数都不为0
C ．至少有一个为负数
D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ D ）
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－a ＞b ＞－b
C ．b ＞a ＞－b ＞－a
D ．－a ＞b ＞－b ＞a
6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ D ）
A ．a ＞0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．a 、b 异号
D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大
7、如果a ＋b ＜0，0b
a
>，则下列结论成立的是（B ）
A ．a ＞0，b ＞0
B ．a ＜0，b ＜0
C ．a ＞0，b ＜0
D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ C ）
A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0
B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0
C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0
D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ C ）
A ．a ＋b ＞0
B ．b ＋c ＜0
C ．ab ＋ac ＞0
D ．a ＋bc ＞0
10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b
m cd m
+-+的值为（ D ）
A ．－3
B ．1
C ．±3
D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ B ）
A ．０
B ．１
C ．－１
D ．２
12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ D ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
13、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ A ）小时？7
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．3.5 三、计算
（1）)2
1
7(75.2)413()5.0(+-+---=-2；
（2）185
3432877431---+-=-1.25；
（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+-------=1
（4）2164118214837--+--+-=8
7
8-
（5）)711()12787431(-⨯--=-3
1
；
（6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯=-1748；
（7） 2011)1(524)436183(212
-⨯÷⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯-+-=-1.5 （8）[]
22
)3(231)5.01(1--⨯⨯
---=6
1
※典例剖析
【例1】计算:)51413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++=6
1
【例2】、阅读材料，解答问题.
求201932222221++++++ 的值. 解：令2019
3
2
22
2221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②
② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++ 运用材料以上方法计算：
7
2016
201325
5
5551++•••++++=4
1
2
2018
-
【例3】计算
12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋49
50
）
==612.5
【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不
相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：
请问，该服装店售完这20件连衣裙后，赚了多少钱？答案：328元 三、培优检测A 组 一．、计算题．．．．
1．、．|)3(2|31)5.01(12
4--⨯⨯-+-=．
61
2．、．
5]4
3)436183(2411[÷÷-+-=7219
3．、．22
)3
2(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ =2593-
4．、．+⨯+⨯+⨯751531311……．．2007
20051
⨯+=20071003
5、2232318)5
2
()5()3(-÷--⨯-+--=-31；
6、]})2(3
4[)75.0(5.0{)4725.0(12
4
--⨯--÷++-=
312
-
5343
3323
13
问：这10袋盐一共有多重？答案：1000千克 B 组： 4、
1999
199********⨯++⨯+⨯ = 5997995
；
5、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ 115200 ．
6、35
2172515515935312114715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 52
；
4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝ 6
5、若||1m m =+，则()
2010
41m +=（ B ）
A ．－１
B ．１
C ．12-
D ．12
6、设0a b c ++=，0abc >，则||||||
b c a c a b a b c +++++
的值是（ B ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１
7、请你从右表归纳出13
＋23
＋33
＋43
＋…＋n 3
的公式并计算出
思考题：计算：60
59
)60585958()602524232()60141
3121(+++•••+•••+++++
•••+++=885。