大学物理 质点角动量讲解

dS lim S三 角 形 dt t0 t
S三 角 形
1
r

r
sina
2
讨论：
行是与星矢受径力反方平向行与的矢。径在M一条r直F线 0上(中心力), 总
故对力L心,质v点所m 受的力L矩为常零量,角动量守恒！
力心
r
F
dS L C
dt 2m
1.行星受力吗?
i
i 1
2.dd质Lti 点 r系i 的(j角i f动ij 量F定i外 )理
Fi

pi ·
·i

·
·
Fj
ri
f ij
··
f ji
· j
rj
·

dL d ( dt dt i
Li )
i
dLi dt
i
O
ri ( fij )
ji
i
ri Fi外

dL


dt
i
ri Fi外 M 外
合内力矩 =0 合外力矩 M外
3当. 角M 动外 量 0守时恒，定L律 常矢量
对于某一定点，如果质点系所受的外力矩 的矢量和为零，则质点系对同一定点的角 动量矢量保持不变。
注意：对质点系：


F 0,与M 0是不同的条件m
M

大小：M rF sina
F

方向：
o
ra
右手螺旋法则
单位:N.m
[L] ML2T 2
对比中学的力矩 力臂=r sina
例4. x轴沿水平向右, y轴竖直向下,在t =0时刻将
质量为m的质点由a处静止释放,让它自由下落.求
在任意时刻t ,质点所受的对原点O的力矩和对原
点 例解MLO5：.一的rr任质角F(意m点动时v的量()a刻i角. (ta动vyij量)y为gmj )tgLjjm6gatt2jmi gk(2atmoyg1t)kjmg(jr1av2ta3
jk i
ki j
一. 质LLO点与对v定同r点方m向的角动量右大方手L 小向四对r：：指定矢从Lp点量第mO叉一mv：r积rs个in矢v量沿
Z

v
小于180度的方向转到第
L
二个矢量时，拇指的方向。
O X
r
m
Y
单位：Kg.m2 / s 或 J.s
大小：L mvrsin mvd
L
v m
r
r
Sun
等于零吗？
v
方向：
m
思考: 什么情况下L=0？ d
r
O
二.角动量定理
* 微分公式

d
(A B)
dt
dL dt

d
dt
z
Байду номын сангаас
(
r

mv
)

d dt
r
( v
mv
M rF
F

考虑角动量变化的原因
第五章：角动量守恒
一. 质点对定点的角动量 二. 力矩 角动量定理 三. 角动量守恒定律 四. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 五. 角动量守恒定律应用
本章重点：
本章难点：
角动量的定义;守恒条件及应用 矢量运算
教材阅读指导：
P79-23~26行，P87__94:不要求
其余要
数学准备：矢量运算知识复习：
为零，则质点对同一定点的角动量矢量保
持不变。
说明：1.适用对象：单个质点；质点系
2.条件：对单个质 点：

F 0,M 0
M 0

F

0,力在r的延长线M

0
有心力场
例6.质量为m的小球系在绳的一端,另一端通过
圆孔向下,水平面光滑。开始小球作圆周运动
(r1,v1)。然后向下拉绳,使小球做半径为r2的圆周
F1

F2
O
M
例9.半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处, 其上穿过一条轻绳,质量相同的两个孩子,在同一高 度从静止开始同时向上爬.任何时刻,相对绳子,甲的 速率是乙的2倍.试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦.
A. 甲 C. 同时到达 B. 乙 D. 谁先到达不能确定 解：以二小孩为系统：
外力：重力

x
8t 2 )k
求解质：点M 在 dtL=
1
s时所受力矩 . 12ti 2 j (36t
2

16t )k
dt

t=1s
12i 2 j 20k
三. 角动量守恒定律


当M 0时 ， L 常矢量
M

dL
dt
对于某一定点，如果质点所受的合外力矩
mv1r1 mv2r2
v1 太阳水星系统,只有万有引力作用,机械能守恒
1 2
mv12
GMm r1

1 2
mv
2 2
GMm r2
问题:能由水星在轨道上任意一点到日心的
距离求出这点的速率吗?
四. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系对定点的角动量

N
L Li ri pi
2.行星的动量时刻在变吗? 其角动量在变吗?
例8.水星绕太阳运行轨道的近日点和远日点到太
阳的距离分别为 r1 4.59107 km r2 6.98107 km
求水星越过近日点和远日点时的速率。
解：太阳对水星的引力指向日心
F r
r1
f
r2

v2对日心,M 卫星 r的角F 动 0量守恒
运动。求：v2=？
v 2
解:作用在小球的力始终 v 1
通过O点（有心力）
r1 O r2
对O点力矩=0
质点角动量守恒：
F
mv1r1 mv2r2
v2

v1
(
r1 r2
)
( v1)
例7.证明开普勒第二定律(Kepler’s laws )：行星对 太阳的径矢,在相等的时间内扫过相等的面积。
证明什么？
[L] ML2T 1
相对于不同点,角动量是不同的.
例1.质点圆周运动,对圆心O点的角动量
v r
L L mvr
L
例2.行星在绕太阳公转时的椭圆
Or
v
轨道上对太阳的角动量：

L

r
p

mr
v
L mvrsin 方向：

例3.质点直线运动对某定点 v
的角动量：
dA

B

A
dB
考虑：
dt
)
r

dp
dt
dt


r F
12—..力角—矩动力：量FFM定对 理Or点：MF的 力ddLt矩
O
r x 注 (2)意L:,(M1)用相于对惯于性同系一点
y
关于力矩：
取
r,
F
所在平面为xoy平面
对O点的力矩M
f
r2
v2
F
v1
3.用分量式

虽然 Mi 0 , 但对某轴外力矩为零,则总
角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.
Mix 0 ; Lx 常量 与刚体一同讨论
本章总结：
1.质点角动量L：质r 点p的 m位r矢v与 动量的叉积
2.对定点的力矩 ：位 矢与力的叉积
M rF
3.质点(系)角动量定理：
dL dt


ri
i

Fi外

M外
4. 质点(系)角动量守恒定律：当 M外 0时，
L 常矢量

单个质点：M 0
F 0,M 0

F

0,力在r的延长线M

0
对质点系：
F

0,与M

0是不同的条件
作业:
5.1; 5.6; 5.7; 表示); 5.15
5.11(用给出量
下次上习题课，请带<<拓展>>书。
习题课一（1~11页）中，下列题不要: P5—4，5； P7—10； P9—8，9；2；P10—5，P12页开始；
质点系对O角动量守恒 rm甲 v甲对地i rm乙 v乙对地i 0
v甲 对 地 v乙 对 地
C. 同时到达
五.角动量守恒的几种可能情况： 1.孤立系 (自阅教材88页 5-2-4)
为什么星系是扁状，盘型结构？
2.有心力场,对力心角动量守恒.
v 2
v 1
r1 O r2

r1

v
L
dS C dt
r m
dS lim S三角形 dt t0 t
S

1
r

r
sin a
2


dS

1 r lim
r
sina
1 r
dr
sina

1 r v sinα
dt 2 t0 t
2 dt
2
L 2m
L
v
a
Δr

m
r
行星对太阳的径矢扫过的面积：
内力：二质点 与绳子间的张力 M外 mgri mgri 0
质点系对O角动量守恒
例9.半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处， 其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。在同 一高度从静止开始同时向上爬，任何时刻，相对 绳子，甲的速率是乙的2倍，试问谁先到达滑轮处？ 忽略摩擦。 解：以二小孩为系统：
点积
ab ba
a

a

a
2
叉积
a b b a
aa 0
点积的微商
d
(a b)

a
db

da
b
叉积的微商
dt d
(a

b)

a
dt db
dt
da

b
dt
dt dt
ij k