微专题十七 数列综合
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微专题十七 数列综合
交通大学附属中学 亮
例1.(2014·一模)已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且S n =n a n -a 1
2
.
(1)求a 1;
(2)求证:数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设lg b n =
a n +1
3n
,试问是否存在正整数p ,q (其中1
数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,请说明理由. 【难点分析】与数列有关的不定方程的整数解
【突破策略】根据等比数列的定义和通项公式,建立方程组即可求解 解:(1)令n =1,则a 1=S 1=
1a 1-a 1
2
=0.
(2)证明:由S n =
n a n -a 1
2,即S n =
na n
2, ①
得S n +1=
n +1a n +1
2
.
② ②-①得(n -1)a n +1=na n , ③ 于是na n +2=(n +1)a n +1.
④
④-③得na n +2+na n =2na n +1, 即a n +2+a n =2a n +1, 又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,
所以数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以a n =n -1.
(3)假设存在正整数数组(p ,q )使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,
于是2p 3p =13+q 3q .
所以
q =3q (
2p 3p -1
3
).(*) 易知(p ,q )=(2,3)为方程(*)的一组解. 当p ≥3,且
p ∈N *时,
2p +1
3p +1
-2p 3p =2-4p
3p +1<0,故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列, 于是2p 3p -13≤2×333-1
3
<0,所以此时方程(*)无正整数解.
综上,存在唯一正整数数组(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列.
例2.(2014·苏北四市质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n +1=pS n +q (p ,q 为常数,
n ∈N *),且a 1=2,a 2=1,a 3=q -3p .
(1)求p ,q 的值; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)是否存在正整数m ,n 使
S n -m
S n +1-m <
2m
2m +1
成立?若存在,求出所有符合条件的有序
数对(m ,n );若不存在,请说明理由. 【难点分析】数列与不等式的综合
【突破策略】先求和,再化简不等式,确定m 的取值
解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ S 2=pa 1+q ,S 3=pS 2+q ,即⎩⎪⎨⎪⎧
3=2p +q ,
3+q -3p =3p +q ,
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p =1
2,q =2.
(2)由(1)知,S n +1=1
2S n +2.
①
当n ≥2时,S n =1
2S n -1+2,
②
①-②,得a n +1=1
2
a n (n ≥2).
又a 2=12a 1,所以a n +1=12a n (n ∈N *),所以数列{a n }是首项为2,公比为1
2的等比数列,
所以a n =1
2
n -2. (3)由(2)得S n =21-1
2n
1-
12=4(1-1
2n ).
假设存在符合条件的m ,n .
则由
S n -m
S n +1-m <
2m
2m +1
,得
41-1
2
n -m
41-12
n +1
-m
<2m
2m +1,即2n 4-m -42n 4-m -2<2m
2m +1
,即22n 4-m -2>1
2m +1
.
因为2m +1>0,所以2n (4-m )-2>0, 所以m <4,且2<2n (4-m )<2m +1+4.(*)
因为m ∈N *,所以m =1或2或3.
当m =1时,由(*)得2<2n ×3<8,所以n =1; 当m =2时,由(*)得2<2n ×2<12,所以n =1或2; 当m =3时,由(*)得2<2n <20,所以n =2或3或4.
综上可知,存在符合条件的所有有序数对(m ,n )为(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).
例3.(2014·质检)已知数列{a n }中,a 2=a (a 为非零常数),其前n 项和S n 满足S n =
n a n -a 1
2
(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若a =2,且1
4
a 2m -S n =11,求m ,n 的值;
(3)是否存在实数a ,b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足a n +b ≤p 的最大项恰为第3p -2项?若存在,分别求出a 与b 的取值围;若不存在,请说明理由. 【难点分析】等差数列与等比数列的综合,数列的通项 【突破策略】等差数列的通项公式,数列的项与项之间的关系
解:(1)由已知得a 1=S 1=1·a 1-a 12=0,所以S n =na n 2,则S n +1=n +1a n +1
2,所
以2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n ,n ∈N *,
所以na n +2=(n +1)a n +1,
两式相减得2a n +1=a n +2+a n ,n ∈N *, 即a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *, 故数列{a n }是等差数列.
又a 1=0,a 2=a ,所以a n =(n -1)a .
(2)若a =2,则a n =2(n -1),所以S n =n (n -1).