微专题十七 数列综合

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微专题十七 数列综合

交通大学附属中学 亮

例1.(2014·一模)已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且S n =n a n -a 1

2

.

(1)求a 1;

(2)求证:数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设lg b n =

a n +1

3n

,试问是否存在正整数p ,q (其中1

数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,请说明理由. 【难点分析】与数列有关的不定方程的整数解

【突破策略】根据等比数列的定义和通项公式,建立方程组即可求解 解:(1)令n =1,则a 1=S 1=

1a 1-a 1

2

=0.

(2)证明:由S n =

n a n -a 1

2,即S n =

na n

2, ①

得S n +1=

n +1a n +1

2

.

② ②-①得(n -1)a n +1=na n , ③ 于是na n +2=(n +1)a n +1.

④-③得na n +2+na n =2na n +1, 即a n +2+a n =2a n +1, 又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,

所以数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以a n =n -1.

(3)假设存在正整数数组(p ,q )使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,

于是2p 3p =13+q 3q .

所以

q =3q (

2p 3p -1

3

).(*) 易知(p ,q )=(2,3)为方程(*)的一组解. 当p ≥3,且

p ∈N *时,

2p +1

3p +1

-2p 3p =2-4p

3p +1<0,故数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列, 于是2p 3p -13≤2×333-1

3

<0,所以此时方程(*)无正整数解.

综上,存在唯一正整数数组(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列.

例2.(2014·苏北四市质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n +1=pS n +q (p ,q 为常数,

n ∈N *),且a 1=2,a 2=1,a 3=q -3p .

(1)求p ,q 的值; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)是否存在正整数m ,n 使

S n -m

S n +1-m <

2m

2m +1

成立?若存在,求出所有符合条件的有序

数对(m ,n );若不存在,请说明理由. 【难点分析】数列与不等式的综合

【突破策略】先求和,再化简不等式,确定m 的取值

解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ S 2=pa 1+q ,S 3=pS 2+q ,即⎩⎪⎨⎪⎧

3=2p +q ,

3+q -3p =3p +q ,

解得⎩⎪⎨⎪⎧

p =1

2,q =2.

(2)由(1)知,S n +1=1

2S n +2.

当n ≥2时,S n =1

2S n -1+2,

①-②,得a n +1=1

2

a n (n ≥2).

又a 2=12a 1,所以a n +1=12a n (n ∈N *),所以数列{a n }是首项为2,公比为1

2的等比数列,

所以a n =1

2

n -2. (3)由(2)得S n =21-1

2n

1-

12=4(1-1

2n ).

假设存在符合条件的m ,n .

则由

S n -m

S n +1-m <

2m

2m +1

,得

41-1

2

n -m

41-12

n +1

-m

<2m

2m +1,即2n 4-m -42n 4-m -2<2m

2m +1

,即22n 4-m -2>1

2m +1

.

因为2m +1>0,所以2n (4-m )-2>0, 所以m <4,且2<2n (4-m )<2m +1+4.(*)

因为m ∈N *,所以m =1或2或3.

当m =1时,由(*)得2<2n ×3<8,所以n =1; 当m =2时,由(*)得2<2n ×2<12,所以n =1或2; 当m =3时,由(*)得2<2n <20,所以n =2或3或4.

综上可知,存在符合条件的所有有序数对(m ,n )为(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).

例3.(2014·质检)已知数列{a n }中,a 2=a (a 为非零常数),其前n 项和S n 满足S n =

n a n -a 1

2

(n ∈N *).

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若a =2,且1

4

a 2m -S n =11,求m ,n 的值;

(3)是否存在实数a ,b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足a n +b ≤p 的最大项恰为第3p -2项?若存在,分别求出a 与b 的取值围;若不存在,请说明理由. 【难点分析】等差数列与等比数列的综合,数列的通项 【突破策略】等差数列的通项公式,数列的项与项之间的关系

解:(1)由已知得a 1=S 1=1·a 1-a 12=0,所以S n =na n 2,则S n +1=n +1a n +1

2,所

以2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n ,n ∈N *,

所以na n +2=(n +1)a n +1,

两式相减得2a n +1=a n +2+a n ,n ∈N *, 即a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *, 故数列{a n }是等差数列.

又a 1=0,a 2=a ,所以a n =(n -1)a .

(2)若a =2,则a n =2(n -1),所以S n =n (n -1).

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