全等三角形解题技巧(供参考)

造全等三角形解题的技巧

全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。

友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。

一、见角平分线试折叠，构造全等三角形

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：∠B：∠C=2：1。

证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。

在△ABD和△AED中

∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。

∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。

又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。

∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。

证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。

∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。

∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。

在△ADF和△ADC中，

∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴∠F=∠C。

又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。

点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。

图3

提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。

又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。

∴。

点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。

二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形

例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。

图4

证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。

∵AD为BC上的中线，∴BD=CD，

在△ACD和△GBD中，

∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。

∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG，

∵AC=BG，∴BE=AC。

点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。

例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC

图5

试判断△EMC的形状，并说明理由。

解析：△EMC为等腰直角三角形。

理由：分别延长CM、ED，使其相交于点N，

可证△BCM△DNM。则BC=DN，CM=NM。

由于△DEA△ACB，则DE=AC，AE=BC，

∴DE+DN=AC+AE。即EN=EC，

则△ENC为等腰直角三角形。

∵CM=NM，∴EM⊥CN，

则可知△EMC为等腰直角三角形。

注：①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。

②亦可连接AM，利用角的度数来证明。

练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，

图6

求证：（1）BE平分∠ABC。

（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。

提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。

练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？

注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

则△BDE△CDA。

∴BE=AC=5，DE=AD=7。

在△ABE中，BE=5，AE=14。

利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9

三、构造全等三角形，证线段的和差关系

例4 如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠1=∠2。

图7

求证：BE+DF=AE。

证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。

在△ABG和△ADF中，

∵AB=AD，∠ABG=∠D=，BG=DF，∴△ABG△ADF。∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。

∵∠1=∠2，∴∠4=∠2。

∵AB∥CD，∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。

又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE。∴AE=GE。

∵EG=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=AE。

从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。

1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．

1. 全等三角形有如下性质：

(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；

(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；(4)全等三角形的面积相等，周长相等．

2. 等腰三角形两边相等的三角形叫等腰三角形．

(1)等边对等角；

(2)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；

(3)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；

(4)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；

(5)顶角等于180°减去底角的两倍；

(6)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．

3．等腰三角形可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．