第02章 图论
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e2 n4 e3 n3
3-5
e1 n2 e4 n5
WHPU
n7
e5 e6 n6
2.1 无向图
定义2.4 相邻矩阵 ：拥有m个节点和n条边的图G=(V， 定义2.4 拥有m个节点和n条边的图G=(V， G=(V E)的相邻矩阵是一种 的相邻矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j E)的相邻矩阵是一种m×m矩阵，其中第i行第j列的元 素是1 当且仅当节点i和节点j之间存在一条边， 素是1，当且仅当节点i和节点j之间存在一条边，否则 该元素是0 该元素是0。 案例
n1 e2 n4 e3 e5 e6 n6 e1 n2 e4 n5
WHPU
n7
indeg(n7)=0 outdeg(n7)=0
n3
3-14
2.2 有向图
定义2 12有向图的相邻矩阵 拥有m 有向图的相邻矩阵： 定义 2 . 12 有向图的相邻矩阵 ： 拥有 m 个节点的有向图 D=(V，E)的相邻矩阵是一种 的相邻矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j D=(V，E) 的相邻矩阵是一种 m×m 矩阵 ， 其中第 i 行第 j 列的元素是1 当且仅当节点i到节点j存在一条边， 列的元素是1，当且仅当节点i到节点j存在一条边，否 则该元素是0 则该元素是0。
案例： 案例： <n3,n4>,<n4,n6>,<n6,n3>
n1 e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e5 e4 n5 WHPU n7
wk.baidu.com
e6
n6
2.2 有向图
定义2.15 半路径：(有向 半路径是一系列边，使得对于该序列 半路径： 有向 半路径是一系列边， 有向)半路径是一系列边 定义 中至少有一个相邻边对偶ei、 来说 来说， 中至少有一个相邻边对偶 、ej来说 ， 第一条边的初始节点是 第二条边的初始节点， 第二条边的初始节点，或第一条边的终止节点是第二条边的终 止节点。 案例 e2 n4 e3 n3
n1
案例
e2 n4 e3 n3 e6 e5 n6
e1 n2 e4 n5
WHPU
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3-15
2.2 有向图
定义2.13 路径：(有向 路径是一系列边，使得对于该 路径： 有向 路径是一系列边， 有向)路径是一系列边 定义 序列中的所有相邻边对偶ei、 来说 来说， 序列中的所有相邻边对偶 、ej来说 ， 第一条边的终 止节点是第二条边的初始节点。 止节点是第二条边的初始节点。 案例
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n1 e1 n2 e5 e6 n6 e4 n5
WHPU
n7
2.2 有向图
定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 17 0 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间没有路径， 连接的。 ni 和nj之间没有路径，称ni 和nj是0-连接的。 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 18 1 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间有一条半路径，但是没有路径， ni 和nj之间有一条半路径，但是没有路径，称ni 和nj是1-连接 弱连接”等价关系，不考虑方向） 的。（“弱连接”等价关系，不考虑方向） 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 19 2 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间有一条路径， 连接的。 ni 和nj之间有一条路径，称ni 和nj是2-连接的。 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 20 3 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 有一条路径，并且从n 有一条路径， 从 ni 到 nj有一条路径，并且从nj 到ni 有一条路径， 称 ni 和 nj 是 3-连接的。(等价) 连接的。 等价)
V={n1，n2，n3，n4，n5，n6，n7}
e2
1
E={ e1，e2，e3，e4，e5，e6} ={(n1，n2)，(n1，n4)， (n3，n4)，(n2，n5)， (n4，n6)，(n3，n6)}
n4 e3 n3 e6 e5 n6
n2 e4 n5
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WHPU
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2.1 无向图
定义2.2节点的度 定义2.2节点的度 2.2
WHPU
n7
2.1 无向图
定义2.3 关联矩阵：拥有m个节点和n条边的图G=(V， 定义2.3 关联矩阵：拥有m个节点和n条边的图G=(V， G=(V E)的关联矩阵是一种 的关联矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j E)的关联矩阵是一种m×n矩阵，其中第i行第j列的元 素是1 当且仅当节点i是边j的一个端点， 素是1，当且仅当节点i是边j的一个端点，否则该元素 是0 。 案例 n
n1 e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e4 n5
WHPU
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e5 e6 n6
2.1 无向图
定义2.5 路径：路径是一系列的边，对于序列中的任 定义2.5 路径：路径是一系列的边， 何相邻边对偶e 边都拥有相同的(节点)端点。 何相邻边对偶ei、ej，边都拥有相同的(节点)端点。 路径可以使用二项形式的矩阵乘法和加法， 路径可以使用二项形式的矩阵乘法和加法，直接通过 图的相邻矩阵生成 案例 n1
WHPU
3-8
2.1 无向图
定义2.7组件：图的组件是相连节点的最大集合。 定义2.7组件：图的组件是相连节点的最大集合。 2.7组件
案例：两个组件{n1,n2,n3,n4,n5,n6}， 案例：两个组件{n1,n2,n3,n4,n5,n6}，{n7} {n1,n2,n3,n4,n5,n6}
定义2.8 压缩图 给定图G=(V,E) G=(V,E)， 定义2.8 压缩图：给定图G=(V,E)，其压缩图通过用 2. 压缩节点替代每个组件构成。 压缩节点替代每个组件构成。
e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e4 n5
WHPU
n7
e5 e6 n6
2.1 无向图
连接性：节点n 是被连接的， 定义2.6 连接性：节点ni和nj是被连接的，当且仅当 它们都在同一条路径上
自反:因为每个节点显然都在到其本身长度为0 自反:因为每个节点显然都在到其本身长度为0的路径上 对称:由于如果n 在一条路径上， 对称:由于如果ni和nj在一条路径上，则nj和ni也在同一条路 径上 传递:由于如果n 在一条路径上， 在一条路径上， 传递:由于如果ni和nk在一条路径上，nk和nj在一条路径上， 则ni和nj也在同一条路径上
e2 n4 e3 n3 e6 e5 n6 n1 e1 n2 e4 n5
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3-10
n7
2.2 有向图
定义2 定义2.10 有向图
有向图D=(V，E) 包含 一个节点的有限集合V={n 包含： 有向图 D=(V，E)包含 ： 一个节点的有限集合 V={n1，n2，… D=(V ，nm}， 一 个 边 的 集 合 E={e1，e2，…，ep}， 其 中 每 条 边 ， 是节点n ∈V的一个有序对偶 的一个有序对偶。 ek=< ni，nj>，是节点ni、nj∈V的一个有序对偶。 一般图和有向图之间的差别与说明式和命令式程序设计语言 之间的差别与说明式 一般图和有向图之间的差别与说明式和命令式程序设计语言 之间的差别有很强的类比性 C和Prologue，实体/关系(ER)模型 Prologue，实体/关系(ER)模型
WHPU
3-11
2.2 有向图
定义2 定义2.10 有向图 案例
V={ n1，n2，n3，n4，n5，n6，n7} E={ e1，e2，e3，e4，e5，e6} ={<n ={<n1，n2>，<n1，n4>， <n3，n4>，<n2，n5>， <n4，n6>，<n6，n3> } e2 n4 e3
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节点的度是以该节点作为端点的边的条数 节点n的度记做deg(n) 节点n的度记做deg(n)
案例
deg(n1)=2 deg(n2)=2 deg(n3)=2 deg(n4)=3 deg(n5)=1 deg(n6)=2 deg(n7)=0
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图
论
主讲教师: 主讲教师 丁月华 Email:ding_mickey@sina.com
章节内容
掌握无向图的基本概念 掌握有向图的基本概念 掌握用于测试的图的表示方法 2.1 无向图 2.2 有向图 2.3 用于测试的图
WHPU
3-2
2.1 无向图
定义2.1 无向图： 图G=(V，E)由节点的有限 并且非空 无向图： 由节点的有限(并且非空 定义 ， 由节点的有限 )集合 和节点无序对偶集合 组成。 V={n1，n2，… 集合V和节点无序对偶集合 组成。 集合 和节点无序对偶集合E组成 其中每条边e ，nm} E={e1，e2，…，ep} 其中每条边 k={ ni，nj}， ， ， ni、nj∈V。集合 ni，nj}是一个无序对偶，记做 i， 是一个无序对偶， 。集合{ 是一个无序对偶 记做(n nj)。 。 n1 案例 e
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3-13
2.2 有向图
定义2.11 内度与外度 定义2.11
案例
indeg(n1)=0 outdeg(n1)=2 indeg(n2)=1 outdeg(n2)=1 indeg(n3)=1 outdeg(n3)=1 indeg(n4)=2 outdeg(n4)=1 indeg(n5)=1 outdeg(n5)=0 indeg(n6)=1 outdeg(n6)=1
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n7
n3
e6
n6
2.2 有向图
定义2.11 内度与外度 定义2.11
有向图中节点的内度， 有向图中节点的内度，是将该节点作为终止节点的不同边的 条数。节点n的内度记做indeg indeg（ 条数。节点n的内度记做indeg（n）。 有向图中节点的外度， 有向图中节点的外度，是将该节点作为开始节点的不同边的 条数。节点n的外度记做outdeg(n) outdeg(n)。 条数。节点n的外度记做outdeg(n)。 deg(ni)=indeg(ni)+outdeg(ni)
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2.2 有向图
有向图连接性案例
n1和n7 是0-连接 n2和n6 是1-连接 n1 n1和n6 是2-连接 e2 连接。 n3和n6 是3-连接。 n4 e3 n3 e6 e5 n6 n2 e4 n5
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2.2 有向图
定义2 21强组件 有向图的强组件是3 强组件： 定义2.21 强组件 ： 有向图的强组件是 3-连接节点的最 大集合。 大集合。 强组件是集合{ 案例 ：强组件是集合{ n3、n4、n6}和{n7}，
e2 n4 e3
e2<n1, n4>, e5 <n4, n6> e1<n1,n2> , e4< n2, n5> e3<n3,n4> , e5< n4, n6>
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n1 e1 n2 e5 e6 n6 e4 n5
WHPU
n7
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2.2 有向图
定义2.14 环路：环路是一个在同一个节点上开始和结 环路： 定义 束的有向路径。 束的有向路径。
WHPU
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2.3.1 程序图
定义2 程序图： 定义 2 . 22 程序图 ： 给定一个采用命令式程序设计语言编写的 程序，其程序图是一种有向图，其中节点是程序语句 程序语句， 程序，其程序图是一种有向图，其中节点是程序语句，边表示 控制流(从节点i到节点j有一条边，当且仅当对应节点j 控制流(从节点i到节点j有一条边，当且仅当对应节点j的语句 可以立即在节点i对应的语句之后执行) 可以立即在节点i对应的语句之后执行)。 补充：对该定义也可进行改进， 补充：对该定义也可进行改进，即将节点修改为要么是整个语 要么是语句的一部分。 句，要么是语句的一部分。 程序图有时候也称为“流图” 程序图有时候也称为“流图”
n1 e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e4 n5 n7
n1 e2 S
1
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压缩图
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S
2
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2.3 用于测试的图
2.3.1 程序图 2.3.2 有限状态机 Petri网 不做要求） 2.3.3 Petri网 （不做要求） 2.3.4 事件驱动的Petri网 （不做要求） 事件驱动的Petri Petri网 不做要求） 2.3.5 状态图
n1 e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e4 n5
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2.1 无向图
定义2 圈复杂度： 的圈数由V(G)= n+p给出 V(G)=e 给出， 定义 2 . 9 圈复杂度 ： 图 G 的圈数由 V(G)=e-n+p 给出 ， 其中： 中的边数。 中的节点数。 其中：e是G中的边数。n是G中的节点数。p是G中的组 件数。 件数。 案例：V(G)=6 案例：V(G)=6-7+2=1
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2.1 无向图
定义2.4 相邻矩阵 ：拥有m个节点和n条边的图G=(V， 定义2.4 拥有m个节点和n条边的图G=(V， G=(V E)的相邻矩阵是一种 的相邻矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j E)的相邻矩阵是一种m×m矩阵，其中第i行第j列的元 素是1 当且仅当节点i和节点j之间存在一条边， 素是1，当且仅当节点i和节点j之间存在一条边，否则 该元素是0 该元素是0。 案例
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indeg(n7)=0 outdeg(n7)=0
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2.2 有向图
定义2 12有向图的相邻矩阵 拥有m 有向图的相邻矩阵： 定义 2 . 12 有向图的相邻矩阵 ： 拥有 m 个节点的有向图 D=(V，E)的相邻矩阵是一种 的相邻矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j D=(V，E) 的相邻矩阵是一种 m×m 矩阵 ， 其中第 i 行第 j 列的元素是1 当且仅当节点i到节点j存在一条边， 列的元素是1，当且仅当节点i到节点j存在一条边，否 则该元素是0 则该元素是0。
案例： 案例： <n3,n4>,<n4,n6>,<n6,n3>
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2.2 有向图
定义2.15 半路径：(有向 半路径是一系列边，使得对于该序列 半路径： 有向 半路径是一系列边， 有向)半路径是一系列边 定义 中至少有一个相邻边对偶ei、 来说 来说， 中至少有一个相邻边对偶 、ej来说 ， 第一条边的初始节点是 第二条边的初始节点， 第二条边的初始节点，或第一条边的终止节点是第二条边的终 止节点。 案例 e2 n4 e3 n3
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案例
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2.2 有向图
定义2.13 路径：(有向 路径是一系列边，使得对于该 路径： 有向 路径是一系列边， 有向)路径是一系列边 定义 序列中的所有相邻边对偶ei、 来说 来说， 序列中的所有相邻边对偶 、ej来说 ， 第一条边的终 止节点是第二条边的初始节点。 止节点是第二条边的初始节点。 案例
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2.2 有向图
定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 17 0 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间没有路径， 连接的。 ni 和nj之间没有路径，称ni 和nj是0-连接的。 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 18 1 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间有一条半路径，但是没有路径， ni 和nj之间有一条半路径，但是没有路径，称ni 和nj是1-连接 弱连接”等价关系，不考虑方向） 的。（“弱连接”等价关系，不考虑方向） 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 19 2 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 之间有一条路径， 连接的。 ni 和nj之间有一条路径，称ni 和nj是2-连接的。 定义2 连接：对有向图中的两个节点n 定义 2 . 20 3 - 连接 ：对有向图中的两个节点 ni 和 nj， 当且仅当 有一条路径，并且从n 有一条路径， 从 ni 到 nj有一条路径，并且从nj 到ni 有一条路径， 称 ni 和 nj 是 3-连接的。(等价) 连接的。 等价)
V={n1，n2，n3，n4，n5，n6，n7}
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E={ e1，e2，e3，e4，e5，e6} ={(n1，n2)，(n1，n4)， (n3，n4)，(n2，n5)， (n4，n6)，(n3，n6)}
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2.1 无向图
定义2.2节点的度 定义2.2节点的度 2.2
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2.1 无向图
定义2.3 关联矩阵：拥有m个节点和n条边的图G=(V， 定义2.3 关联矩阵：拥有m个节点和n条边的图G=(V， G=(V E)的关联矩阵是一种 的关联矩阵是一种m 矩阵，其中第i行第j E)的关联矩阵是一种m×n矩阵，其中第i行第j列的元 素是1 当且仅当节点i是边j的一个端点， 素是1，当且仅当节点i是边j的一个端点，否则该元素 是0 。 案例 n
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2.1 无向图
定义2.5 路径：路径是一系列的边，对于序列中的任 定义2.5 路径：路径是一系列的边， 何相邻边对偶e 边都拥有相同的(节点)端点。 何相邻边对偶ei、ej，边都拥有相同的(节点)端点。 路径可以使用二项形式的矩阵乘法和加法， 路径可以使用二项形式的矩阵乘法和加法，直接通过 图的相邻矩阵生成 案例 n1
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2.1 无向图
定义2.7组件：图的组件是相连节点的最大集合。 定义2.7组件：图的组件是相连节点的最大集合。 2.7组件
案例：两个组件{n1,n2,n3,n4,n5,n6}， 案例：两个组件{n1,n2,n3,n4,n5,n6}，{n7} {n1,n2,n3,n4,n5,n6}
定义2.8 压缩图 给定图G=(V,E) G=(V,E)， 定义2.8 压缩图：给定图G=(V,E)，其压缩图通过用 2. 压缩节点替代每个组件构成。 压缩节点替代每个组件构成。
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2.1 无向图
连接性：节点n 是被连接的， 定义2.6 连接性：节点ni和nj是被连接的，当且仅当 它们都在同一条路径上
自反:因为每个节点显然都在到其本身长度为0 自反:因为每个节点显然都在到其本身长度为0的路径上 对称:由于如果n 在一条路径上， 对称:由于如果ni和nj在一条路径上，则nj和ni也在同一条路 径上 传递:由于如果n 在一条路径上， 在一条路径上， 传递:由于如果ni和nk在一条路径上，nk和nj在一条路径上， 则ni和nj也在同一条路径上
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2.2 有向图
定义2 定义2.10 有向图
有向图D=(V，E) 包含 一个节点的有限集合V={n 包含： 有向图 D=(V，E)包含 ： 一个节点的有限集合 V={n1，n2，… D=(V ，nm}， 一 个 边 的 集 合 E={e1，e2，…，ep}， 其 中 每 条 边 ， 是节点n ∈V的一个有序对偶 的一个有序对偶。 ek=< ni，nj>，是节点ni、nj∈V的一个有序对偶。 一般图和有向图之间的差别与说明式和命令式程序设计语言 之间的差别与说明式 一般图和有向图之间的差别与说明式和命令式程序设计语言 之间的差别有很强的类比性 C和Prologue，实体/关系(ER)模型 Prologue，实体/关系(ER)模型
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2.2 有向图
定义2 定义2.10 有向图 案例
V={ n1，n2，n3，n4，n5，n6，n7} E={ e1，e2，e3，e4，e5，e6} ={<n ={<n1，n2>，<n1，n4>， <n3，n4>，<n2，n5>， <n4，n6>，<n6，n3> } e2 n4 e3
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节点的度是以该节点作为端点的边的条数 节点n的度记做deg(n) 节点n的度记做deg(n)
案例
deg(n1)=2 deg(n2)=2 deg(n3)=2 deg(n4)=3 deg(n5)=1 deg(n6)=2 deg(n7)=0
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掌握无向图的基本概念 掌握有向图的基本概念 掌握用于测试的图的表示方法 2.1 无向图 2.2 有向图 2.3 用于测试的图
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2.1 无向图
定义2.1 无向图： 图G=(V，E)由节点的有限 并且非空 无向图： 由节点的有限(并且非空 定义 ， 由节点的有限 )集合 和节点无序对偶集合 组成。 V={n1，n2，… 集合V和节点无序对偶集合 组成。 集合 和节点无序对偶集合E组成 其中每条边e ，nm} E={e1，e2，…，ep} 其中每条边 k={ ni，nj}， ， ， ni、nj∈V。集合 ni，nj}是一个无序对偶，记做 i， 是一个无序对偶， 。集合{ 是一个无序对偶 记做(n nj)。 。 n1 案例 e
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2.2 有向图
定义2.11 内度与外度 定义2.11
案例
indeg(n1)=0 outdeg(n1)=2 indeg(n2)=1 outdeg(n2)=1 indeg(n3)=1 outdeg(n3)=1 indeg(n4)=2 outdeg(n4)=1 indeg(n5)=1 outdeg(n5)=0 indeg(n6)=1 outdeg(n6)=1
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2.2 有向图
定义2.11 内度与外度 定义2.11
有向图中节点的内度， 有向图中节点的内度，是将该节点作为终止节点的不同边的 条数。节点n的内度记做indeg indeg（ 条数。节点n的内度记做indeg（n）。 有向图中节点的外度， 有向图中节点的外度，是将该节点作为开始节点的不同边的 条数。节点n的外度记做outdeg(n) outdeg(n)。 条数。节点n的外度记做outdeg(n)。 deg(ni)=indeg(ni)+outdeg(ni)
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2.2 有向图
有向图连接性案例
n1和n7 是0-连接 n2和n6 是1-连接 n1 n1和n6 是2-连接 e2 连接。 n3和n6 是3-连接。 n4 e3 n3 e6 e5 n6 n2 e4 n5
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2.2 有向图
定义2 21强组件 有向图的强组件是3 强组件： 定义2.21 强组件 ： 有向图的强组件是 3-连接节点的最 大集合。 大集合。 强组件是集合{ 案例 ：强组件是集合{ n3、n4、n6}和{n7}，
e2 n4 e3
e2<n1, n4>, e5 <n4, n6> e1<n1,n2> , e4< n2, n5> e3<n3,n4> , e5< n4, n6>
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n1 e1 n2 e5 e6 n6 e4 n5
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2.2 有向图
定义2.14 环路：环路是一个在同一个节点上开始和结 环路： 定义 束的有向路径。 束的有向路径。
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2.3.1 程序图
定义2 程序图： 定义 2 . 22 程序图 ： 给定一个采用命令式程序设计语言编写的 程序，其程序图是一种有向图，其中节点是程序语句 程序语句， 程序，其程序图是一种有向图，其中节点是程序语句，边表示 控制流(从节点i到节点j有一条边，当且仅当对应节点j 控制流(从节点i到节点j有一条边，当且仅当对应节点j的语句 可以立即在节点i对应的语句之后执行) 可以立即在节点i对应的语句之后执行)。 补充：对该定义也可进行改进， 补充：对该定义也可进行改进，即将节点修改为要么是整个语 要么是语句的一部分。 句，要么是语句的一部分。 程序图有时候也称为“流图” 程序图有时候也称为“流图”
n1 e2 n4 e3 n3
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e1 n2 e4 n5 n7
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压缩图
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2.3 用于测试的图
2.3.1 程序图 2.3.2 有限状态机 Petri网 不做要求） 2.3.3 Petri网 （不做要求） 2.3.4 事件驱动的Petri网 （不做要求） 事件驱动的Petri Petri网 不做要求） 2.3.5 状态图
n1 e2 n4 e3 n3
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2.1 无向图
定义2 圈复杂度： 的圈数由V(G)= n+p给出 V(G)=e 给出， 定义 2 . 9 圈复杂度 ： 图 G 的圈数由 V(G)=e-n+p 给出 ， 其中： 中的边数。 中的节点数。 其中：e是G中的边数。n是G中的节点数。p是G中的组 件数。 件数。 案例：V(G)=6 案例：V(G)=6-7+2=1