最小生成树算法实验报告

作业1最小生成树的生成算法

1.1算法应用背景

在实际生活中，图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。例如，用图的顶点代表城市，顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路，用边的权代表道路的长度或通信线路的费用，则最小花费生成树问题，就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。

1.2算法原理

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边（即），而

w(u, v) 代表此边的权重，若存在T 为E 的子集（即）且为无循环图，使得的w(T) 最小，则此T 为G 的最小生成树。

许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

1.3算法描述

1)最小生成树之普里姆算法描述：

令G=(V,E,W)，为简单期间，令顶点集为V={0,1,2…，n-1}。假定与顶点i，j相关联的边为e i，j, e i，j的权用c[i][j]表示，T是最小花费生成树的边集。这个算法维护两个顶点集合S 和N，开始时：令T=Ф,S={0},N=V-S。然后，进行贪婪选择，选取i∈S，j∈N，并且c[i][j]最小的i和j；并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{e i，j}.重复上述步骤，直到N为空，或找到n-1条边为止。此时，T中的边集，就是所要求取的G中的最小花费生成树。由此，可描述普里姆算法的步骤如下：

（1）T=Ф，S={0},N=V-S。

（2）如果N为空，算法结束；否则，转步骤（3）。

（3）寻找使i∈S，j∈N，并且c[i][j]最小的i和j。

（4）S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{e i，j}；转步骤（2）。

2)用贪心策略解普里姆算法的正确性证明

普里姆算法所产生的最小代价生成树的边集是T，无向赋权图G 的最小代价生成树的

边集是T* ，用归纳法证明T=T* 。

1. 开始时，T= Φ，上述论点为真；

2. 把边e=(i,j) 加入到T 之前，论点为真.

令G*=(S,T)是G的最小代价生成树的子树，按照算法，选择e=(i,j) 加入T时，i∈S ，j∈N,并且c[i][j]最小, 并令，S`=S∪{j}，T`=T∪{e} ，G`=(S`,T`) 。

此时，有：

(1) G`是树。因为e 只和S中的一个顶点关联，加入后不会使G` 构成回路，且G`仍然连通。

(2) G`是G的最小代价生成树的子树。

因为，如果e∈T* ，这个结论成立；如果e∈T* ，那么，与e关联的顶点，必是T*中两个不相邻接的顶点，根据性质4，T* ∪{e} 将包含回路。

e是回路的一条边，且，e=(i,j) ，i∈S ，j∈N 。则回路中必存在另一条边，e`=(x,y) ，x∈S ，y∈N 。按算法的选择，e的权小于或等于e`的权。令T** =T*∪{e}- {e`}。则T**的权小于或等于T*的权。

若T**的权小于T*的权，与T* 是最小代价生成树的边集相矛盾，所以，e∈T* ；若T**的权等于T*的权，这时，用新的T*来标记T** 。

在这两种情况下，都有e1∈T* 。

综上所述T=T* ，普里姆算法所产生的生成树是的最小代价生成树。

1.4程序实现及程序截图

1.4.1程序源码

#include "stdio.h"

#define true 1

#define false 0

float int_max=0x7fff,graph[100][100]; int neig[100],key_point[100];

int s[100];//集合s

void prim(int end,int v);

int main()

{ int v,e;

int i,j;

int x=1;

int start,end;

float distance;

printf("请输入连通带权图的顶点数和边数："); while(scanf("%d%d",&v,&e))

{

printf("\n----------------------");

for(i=1;i<=v;i++)

{

for(j=1;j<=v;j++)

graph[i][j]=int_max;

}

printf("\n请输入%d条边的起点和终点，以及权值。\n",e);

printf("\n-------------------------\n");

while(e--)

{

printf("第%d条边的起点：终点：权值",x);

scanf("%d%d%f",&start,&end,&distance);

graph[start][end]=graph[end][start]=distance;

x=x+1;

}

printf("\n--------------------------\n");

prim(1,v);

printf("\n");

}

return 0;

}

void prim(int end,int v)

{

int i,j;

float min;

s[1]=true;//s={1}

for(i=2;i<=v;i++)

{

neig[i]=end;//顶点i的近邻

key_point[i]=graph[end][i];//顶点i的与近邻的关联边的权值

s[i]=false;

}

key_point[end]=0;

for(i=2;i<=v;i++)

{

end=1;

min=int_max;

for(j=1;j<=v;j++)//在n集合中检索与s最接近的顶点end

if(!s[j]&&key_point[j]

{

end=j;

min=key_point[j];

}

if (end==1) break;//图非连通，退出循环

printf("起点%d-->终点%d连通

",neig[end],end);

printf(" 权值为%0.2f\n",min);

s[end]=true;

for(j=1;j<=v;j++) //更新n集合中的顶点的近邻信息

if(!s[j]&&graph[end][j]

{

key_point[j]=graph[end][j];

neig[j]=end;

}

}

}