2017-2018年山东省德州市武城二中高一上学期数学期中试卷和解析

2017-2018学年山东省德州市武城二中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）A．（1，4） B．[1，4） C．{1，2，3}D．{2，3，4}
2．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，函数解析式为：f（x）=1﹣2x，则当x＞0时，该函数的解析式为（）
A．f（x）=﹣1﹣2x B．f（x）=1+2x C．f（x）=﹣1+2x D．f（x）=1﹣2x 3．（5分）已知函数y=x2﹣2x+2，x∈[﹣3，2]，则该函数的值域为（）A．[1，17] B．[3，11] C．[2，17] D．[2，4]
4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+8，且f（﹣2）=10，则f（2）的值是（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．10
5．（5分）给定下列函数：①f（x）=②f（x）=﹣|x|③f（x）=﹣2x﹣1 ④f（x）=（x﹣1）2，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的条件是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
6．（5分）函数y=的值域是（）
A．R B．[，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）
7．（5分）如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．（5分）函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
9．（5分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是
（）
A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）
10．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
11．（5分）已知f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，而且f（x）是减函数，如果f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0，那么实数m的取值范围是（）A．（1，）B．（﹣∞，） C．（1，3） D．（，+∞）
12．（5分）定义max（a，b）=，f（x）=max（|x﹣1|，﹣x2+6x﹣5），若f（x）=m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，4）B．（0，3） C．（0.4）D．（3，4）
二、填空题
13．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间是．
14．（5分）已知f（x2+1）定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为．
15．（5分）幂函数在（0，+∞）为增函数，则m的值为．
16．（5分）（x＞0，e表示自然对数的底数），若g（x）在（0，+∞）上有零点，则m的取值范围是．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：；
（2）．
18．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．
（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
19．（12分）当x＞0时，f（x）有意义，且满足条件f（2）=1，f（x•y）=f（x）+f（y），f（x）是增函数．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（3）+f（4﹣8x）＞2，求x的取值范围．
20．（12分）某公司股票在30天内每股的交易价p（元）与时间t（天）组成有序数对（t，p），点（t，p）落在如图所示的两条线段上（0≤t≤30），该公司股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）满足Q=﹣t+40．
（1）据图，写出该种股票每股交易价格p（元）与时间t（天）所满足的函数解析式；
（2）在（1）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日的交易额最大，最大值是多少？
21．（12分）已知f（x）=16x﹣4x+1+5，x∈[﹣1，2]．
（1）设t=4x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．
22．（12分）函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）﹣log a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
2017-2018学年山东省德州市武城二中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）A．（1，4） B．[1，4） C．{1，2，3}D．{2，3，4}
【解答】解：∵A={x∈Z||x|＜4}={x∈Z|﹣4＜x＜4}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={1，2，3}，
故选：C．
2．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，函数解析式为：f（x）=1﹣2x，则当x＞0时，该函数的解析式为（）
A．f（x）=﹣1﹣2x B．f（x）=1+2x C．f（x）=﹣1+2x D．f（x）=1﹣2x
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是奇函数，
由x＜0时，f（x）=1﹣2x，
可得f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（1+2x）=﹣1﹣2x，
故选：A．
3．（5分）已知函数y=x2﹣2x+2，x∈[﹣3，2]，则该函数的值域为（）A．[1，17] B．[3，11] C．[2，17] D．[2，4]
【解答】解：函数y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣3，2]，
∴当x∈[﹣3，1）时，此函数单调递减，可得y∈（1，17]；
当x∈[1，2]时，此函数单调递增，可得y∈[1，2]．
综上可得：此函数的值域为：[1，17]．
故选：A．
4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+8，且f（﹣2）=10，则f（2）的值是（）
A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．10
【解答】解：记函数g（x）=ax3+bx，则g（﹣x）=﹣ax3﹣bx=﹣g（x），
所以函数g（x）为奇函数，必有g（﹣2）=﹣g（2）
由题意可得f（﹣2）=g（﹣2）+8=10，解得g（﹣2）=2，
所以g（2）=﹣2，故f（2）=g（2）+8=﹣2+8=6
故选：C．
5．（5分）给定下列函数：①f（x）=②f（x）=﹣|x|③f（x）=﹣2x﹣1 ④f（x）=（x﹣1）2，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的条件是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【解答】解：因为对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），故满足条件的函数是一个减函数．
对于①，函数是反比例函数，其在（0，+∞）是一个减函数，满足题意；
对于②，f（x）=﹣|x|，其在（0，+∞）是一个减函数，满足题意；
对于③，函数是一次函数，其在（0，+∞）是一个减函数，满足题意；
对于④，函数f（x）=（x﹣1）2在（0，1）是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故不满足题意；
故选：A．
6．（5分）函数y=的值域是（）
A．R B．[，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）
【解答】解：令t=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，则y=．
由于t≤1，∴y≥=，
故选：B．
7．（5分）如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x﹣3为递增函数，（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（﹣∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；
（3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，
解得a，又a＜0，故．
综合得，
故选：D．
8．（5分）函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：函数，
可得：f（﹣1）=5＞0，
f（0）=3＞0，
f（1）=＞0，
f（2）=＞0，
f（3）=﹣0，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选：D．
9．（5分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）
【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，
所以有，解得≤a＜，
故选：C．
10．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：函数y=0.6x为减函数；
故a=0.60.6＞b=0.61.5，
函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；
故a=0.60.6＜c=1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
11．（5分）已知f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，而且f（x）是减函数，如果f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0，那么实数m的取值范围是（）A．（1，）B．（﹣∞，） C．（1，3） D．（，+∞）
【解答】解：∵f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，
∴﹣1＜x＜1，f（﹣x）=﹣f（x）．
∵f（x）是减函数，
∴f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0可转化为
f（m﹣2）＞﹣f（2m﹣3），
∴f（m﹣2）＞f（﹣2m+3），
∴，
∴．．
故选：A．
12．（5分）定义max（a，b）=，f（x）=max（|x﹣1|，﹣x2+6x﹣5），
若f（x）=m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，4）B．（0，3） C．（0.4）D．（3，4）
【解答】解：由题意可知当|x﹣1|≥﹣x2+6x﹣5时，f（x）=|x﹣1|，
当|x﹣1|＜﹣x2+6x﹣5时，f（x）=﹣x2+6x﹣5，
作出函数f（x）和y=m的图象如下：
其中红色线为f（x）的图象，由图可知当m∈（3，4）时，
直线y=m和函数f（x）有4个不同的公共点，
故方程f（x）=m有四个不同的实数解，故选：D．
二、填空题
13．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．【解答】解：由x2﹣4＞0得（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
令t=x2﹣4，由于函数t=x2﹣4的对称轴为y轴，开口向上，
所以t=x2﹣4在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）递增，
又由函数y=log t是定义域内的减函数．
所以原函数在（﹣∞，﹣2）上递増．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
14．（5分）已知f（x2+1）定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为[1，] ．【解答】解：∵f（x2+1）定义域为[0，3]，即0≤x≤3，
∴1≤x2+1≤10，即函数f（x）的定义域为[1，10]，
由1≤2x﹣1≤10，得1≤x≤．
∴f（2x﹣1）的定义域为[1，]．
故答案为：[1，]．
15．（5分）幂函数在（0，+∞）为增函数，则m的值为1．
【解答】解：∵函数是幂函数．
∴可得m2﹣4m+4=1，解得m=1或3．
当m=1时，函数为y=x3在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意，
当m=3时，函数为y=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．
故答案为：1．
16．（5分）（x＞0，e表示自然对数的底数），若g（x）在（0，+∞）上有零点，则m的取值范围是[2e，+∞）．
【解答】解：（x＞0，e表示自然对数的底数），
g（x）在（0，+∞）上有零点，即方程m=x+有解；
可得：m=x+=2e，当且仅当x=e时取等号；
则m的取值范围是：[2e，+∞）．
故答案为：[2e，+∞）．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：；（2）．
【解答】解：（1）；
==；
（2）=
=．
18．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．
（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
【解答】（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，
∴A={x|1≤x≤3}，∵log 2x＞1，即log2x＞log22，∴x＞2，
∴B={x|x＞2}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}；C R B={x|x≤2}，∴C R B∪A={x|x≤3}；
（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，当C⊆A，
当C为空集时，a≤1；
当C为非空集合时，可得1＜a≤3，
综上所述a≤3．
19．（12分）当x＞0时，f（x）有意义，且满足条件f（2）=1，f（x•y）=f（x）+f（y），f（x）是增函数．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（3）+f（4﹣8x）＞2，求x的取值范围．
【解答】解：（1）令x=2，y=1，则f（2×1）=f（2）+f（1）=1，得f（1）=0；（2）令f（2）=1，那么f（2）+f（2）=2，
令x=y=2，f（4）=f（2）+f（2）=2
由f（2）+f（2）=2，
可得f（3）+f（4﹣8x）＞f（4）
∴（12﹣24x）＞f（4）
∵f（x）是增函数．
∴
解得：．
故得x的取值范围是（﹣∞，）．
20．（12分）某公司股票在30天内每股的交易价p（元）与时间t（天）组成有序数对（t，p），点（t，p）落在如图所示的两条线段上（0≤t≤30），该公司股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）满足Q=﹣t+40．
（1）据图，写出该种股票每股交易价格p（元）与时间t（天）所满足的函数解析式；
（2）在（1）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日的交易额最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）由图知，点A（0，2），B（20，6），C（30，5）．
则AB的方程为：p=t+2，
BC的方程为：p=﹣t+8，
故p=；
（2）由（1）得：y=，
即：y=，
当0≤t＜20时，函数y=﹣t2+6t+80的图象的对称轴为直线t=15，
∴当t=15时，y max=125；
当20≤t≤30时，函数y=t2﹣12t+320的图象的对称轴为直线t=60，
∴该函数在[20，30]上单调递减，即当t=20时，y max=120．
而125＞120，
∴第15天日交易额最大，最大值为125万元
21．（12分）已知f（x）=16x﹣4x+1+5，x∈[﹣1，2]．
（1）设t=4x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．
【解答】解：（1）由t=4x，可在x∈[﹣1，2]是单调增函数，
即有x=2时，t取得最大值为16，x=﹣1时，t取得最小值为；
（2）令t=4x，x∈[﹣1，2]，
则，
原式变为：y=t2﹣4t+5=（t﹣2）2+1，
其对称轴t=2，开口向上，
当t=2时，此时，f（x）取得最小值1；
当t=16时，此时x=2，f（x）取得最大值170．
22．（12分）函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）﹣log a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意：f（x）=log a（2﹣3x），
∴2﹣3x＞0，即x＜，
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，）；
（2）易知g（x）=log a（2﹣ax）﹣log a（2+ax），
∵2﹣ax＞0且2+ax＞0，
∴关于原点对称，
又∵，
∴
，
∴g （x ）为奇函数．
（3）令μ=2﹣ax ，∵a ＞0，a ≠1， ∴μ=2﹣ax 在[2，3]上单调递减， 又∵函数f （x ）在[2，3]递增，
∴0＜a ＜1，又∵函数f （x ）在[2，3]的最大值为1， ∴f （3）=1，即f （3）=log a （2﹣3a ）=1， ∴
，∵0＜a ＜1，∴
符合题意．
即存在实数，使函数f （x ）在[2，3]递增，并且最大值为1．
赠送初中数学几何模型
【模型二】半角型：图形特征：
A
B
正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=1
2
∠BAD 推导说明：
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
E
-a
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°
D
E
a +b
-a
a
45°
A
B
E
挖掘图形特征：
x-a
a
-a
运用举例：
1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长．
E
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠
ABE＝45°.
（1）求线段AB的长；
（2）动点P从B出发，沿射线
．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；
（3）求AE－CE的值.
变式及结论：
4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
F。