立体几何体积问题

立体几何体积问题

1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=o

， //EF 平

面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.

（1）求证 //FM 平面BDE ；

（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）

15

5

试题解析

（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ，

因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=o

， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，

因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥， 因为3EH BH ==6BE =

所以2

2

16156222BDE

S ∆⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭

， 设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为1133

422BDM BCD S S ∆∆=

==

， 所以由E BDM M BDE V V --=，得1

3115

333h =⨯ 解得15

h =

.学 即F 到平面BDE 15

2、如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC P ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.

(1)求证 CF DE ⊥；

(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积. 【答案】(1)见解析(2)

203

（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，

因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ， 所以FM ⊥平面ABCD ．

因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ， 所以FM ＝CM ＝1，学

所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝

＋＝

．

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=︒，点M 在线段PC 上，且2PM MC =， O 为AD 的中点.

（Ⅰ）若PA PD =，求证 平面POB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积.

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）

2

3

.

方法二

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PAD ∆为等边三角形， 2AD AB ==,∴3AO =，

∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB = 由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴11

23322

OBC S BC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯= ∵PM=2MC

∴2221212333333333

P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∆==

==⨯⨯=⨯⨯⨯= 4、已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形， 90CFE DEF ︒

∠=∠=，

22DE CF EF ===， G 为AB 的中点， 3GD =.

（Ⅰ）求证 AE ⊥平面CDEF ；

（Ⅱ）求六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）见解析（2）

8

3

（Ⅱ）连接CE ，则ABCDEF C-ABFE A-CDE =V V V +六面体四棱锥三棱锥 由（Ⅰ）可知AE ⊥平面CDEF ， CF ⊥平面ABFE . 所以ABFE -ABFE 1433V S CF =⋅⋅=正方形四棱锥， A-CDE 1433CDE V S AE ∆=⋅⋅=三棱锥， 所以ABCDEF

448333

V =+=六面体.

5.如图，正方形ABCD 中， 22AB =， AC 与BD 交于O 点，现将ACD V 沿AC 折起得到三棱锥D ABC -， M ， N 分别是OD ， OB 的中点.

(1)求证 AC MN ⊥；

(2)若三棱锥D ABC -的最大体积为0V ，当三棱锥D ABC -的体积为03

2

V ，且DOB ∠为锐角时，求三棱锥D MNC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)

36

.

(2)当体积最大时三棱锥D ABC -的高为DO ，当体积为

032V 时，高为32

DO ， OBD V 中， OB OD =，作DS OB ⊥于S ，∴3

2

DS OD =

，∴60DOB ∠=︒， ∴OBD V

为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC ， 易知D MNC C DMN V V --=.

∵CO ⊥平面DOB ，∴2h CO ==，∴1113

132224

DMN ODN S S =

=⨯⨯⨯=

V V ， ∴1133

23346

D MNC C DMN DMN V V S CO --==

⋅=⨯⨯=

V . 6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且

1AB AC =， 1AB B C ⊥.

⑴ 求证 AO ⊥平面11BB C C ；