2 休哈特定量控制图
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1
休哈特定量控制图
Shewhart Control Charts for Variables
2
xbar-R控制图
3
对单一质量特性的定量指标进行监测。 监测均值－xbar控制图 监测方差－s控制图 R控制图
xbar控制图
4
如果已知m和s，则控制限为
如果m和s未知，则由样本估计，故抽取至少20 到25个子组，每个子组4到6个抽样。 总均值：
漂移模式
47
原因是新工人、新方法、新原材料、新机器、 检测方法或标准的改变、操作者技术、关注度、 积极性的改变等。 激励因素可能带来过程性能的提高。
趋势模式
48
朝着一个方向变化。 原因是工具等关键过程组件的逐渐磨损、老化。 化学过程中可能是混合物的设定或分解。 操作者疲劳，或监督的出现。 季节性因素，如温度。
当规格中心与分布中心不重合时
C pk T 2eT T 2e 6S T 6S 6S
T
e 1 2
f（x）
P2 P1 TL
21
Tm
μ TU
x
过程能力指数的评价标准
22
Cp的取值范围
级别
过程能力的评价
Cp>=1.67
1.67>Cp>=1.33
I
II
过程能力较高
过程能力充分
1.33>Cp>=1.0
构建xbar-s控制图
62
构建过程与xbar-R控制图相似。 样本方差：
s图控制限
63
样本方差s2是总体方差s2的无偏估计量
样本标准差s不是总体标准差s的无偏估计量。
故s的无偏估计量为
s已知的控制限
64
由于标准差s的标准差为 则3-sigma控制限为：
定义 则控制限简化为
10
如果找不到可溯原因，可暂时保留，观察未来 的点是否异常。如果可以，则可将其安全剔除。 否则，说明这些点确实来自失控状态，需要深 入分析。 如果仅有1、2个异常点，可采用相同方法处理。 如果R图异常，则说明方差不稳定，则xbar图的 控制限是不可靠的。 如果大量的点出现异常，则应分析其模式特征。 通常与模式相关的可溯因素较容易发现。
系数的来源
7
则控制限为
如定义 则可得前述xbar图控制限公式。
由 R的标准差为
由于s未知，估计sR
则R图的3-sigma控制限为
如令 则可得前述R图控制限公式。
8
阶段一的xbar-R控制图应用
9
采集20-25个样本，每个样本3-5个样件。 如果所有点都在控制限以内且无非随机模式出 现，则说明过程是受控的。 否则说明过程是失控的。需要对每一个落在控 制限之外的点进行回溯分析，找到可溯原因， 并加以改进。然后去掉异常点，重新计算控制 限。直至所有点都落在控制限以内且无非随机 模式出现。
基于标准值的控制限
43
在已知过程的均值和方差时，不需要历史数据， 则
此种情况并不常见。
常见非随机点集模式
44
首先确定R图是受控的。当xbar和R图都表现出 非随机模式时，应优先消除R图的可溯原因。一 般来说这样做可以自动消除xbar图的非随机模 式。 当R图失控时，不要试图研究xbar图。
35
如果检测中等偏大漂移(2s以上)，可选小样本 n=4、5、6。 如果检测小漂移，则需大样本n=15～25。 可以通过适用警戒限和敏感规则提高检测小漂 移的能力。但不建议常规适用敏感规则。 可使用CUSUM和EWMA控制图。 R图对小样本标准差的偏离相当不敏感，大样本 则会剧烈降低估计s的有效性，所以当n较大时， 建议采用s或s2图。
39
40
概率限
41
由指定的第一类错误率设定控制限，称为概率 限。 对xbar图，取k=Za/2，其Za/2为标准正态分布的 上a/2分位点。 如取a=0.002，则Za/2=Z0.001/2=3.09。
42
如取a=0.002，则需查得W=R/s分布的0.001和 0.999分位点，并用Rbar/d2估计s。 控制限为W0.001(n)(R/d2)和W0.999(n)(R/d2)。 令D0.001=W0.001(n)/d2， D0.009=W0.009(n)/d2 则控制限为
xbar－R控制图应用案例
11
对半导体光刻工序的抗流宽度进行监控。对我 们认为处于受控状态的过程抽取25个样本，每 个样本5个样件。抽样间隔时间为1小时。
12
平均极差：
由n=5，查表得D3=0，D4=2.114，则R图控制限为
13
R图显示无异常。
由于R图显示过程变异性是受控的，则可以构建xbar图。 中心线为
样本极差：
平均极差：
Xbar－R控制图的控制限
5
xbar图控制限
R图控制限
A2、D3、D4可查表
用R估计s
6
令x1,x2,…,xn为来自均值为m、方差为s2的正态分 布的n个随机观测样本。 样本的极差为
随机变量W=R/s称为相对极差。W的均值为d2， 取决于样本量，即E(W)=d2。 正态分布标准差s的一个无偏估计量为
如果均值从受控的m0漂移到m1=m0+ks，则第一 个子组样本未检测到漂移的概率，即b风险为 由于 ，则控制限为
则
51
简化后得
例如，xbar图取L=3，n=5，k=2，即确定第一个 样本检测出m1=m0+2s漂移的概率，则
b风险为0.0078，能检测到的概率为10.0078=0.9922
正态分布与过程能力
LSL USL
-3s
-2s -1 s
µ + s +2 s +3 s
工序能力B= ±3s
19
过程能力指数
20
过程能力指数是衡量过程能力对产品规格要求满足 程度的数量值，记为Cp。通常以规格范围T与过程能 力B的比值来表示。即：
T T T TU TL Cp B 6s 6s 6s
另一种解释
26
计算
本例
本工序用掉了规格范围的84%
控制图的修订
27
பைடு நூலகம்
应定期对控制图进行修订，如每周、每月或每 25、50、100个样本。 修订时建议至少采用25个子组样本。 如果将中心线设定为目标值，当R图受控时，应 尽量将过程均值与目标值调整为重合。DOE能 为调节均值找到影响因子。 当R图失控时，通常去掉失控点，重新计算R的 均值及xbar控制限，并估计标准差。
改变控制限
37
xbar-R控制图的样本量是固定的，如需可变样本 量则可采用xbar-s控制图。 考虑成本等因素，如需永久改变样本量，则可 在原控制图基础上计算。
A2、D3、D4为新样本量的对应取值。
案例：改变样本量
38
由于过程受控，为了节约成本，决定将样本量 从5个减少到3个。 已知 查表得 新控制限为
过程能力
17
过程能力是指过程处于受控状态或稳定状态下 在加工精度方面的实际能力，过程能力体现了 过程稳定地实现加工质量的范围。 它有助于掌握各道过程的质量保证能力，为产 品设计、工艺、工装设计、设备的维修、调整、 更新、改造提供必要的资料和依据。
受控状态
18
工序处于稳定状态，是指工序的分布状态不随 时间的变化而变化，或称工序处于受控状态。 受控过程仅受随机性因素的影响，因此，过程 质量特征值服从正态分布。
ARL的OC曲线
56
ARL是为了检测到漂移所需采集的样本个数的 期望值。 例如，以n=3监测1.5s 的漂移，则ARL1=3，即 平均3个样本能观测到1个。 当n增加到16时，ARL1=1。 缺点：
偏态分布 受标准差估计准确性影响
ATS
57
报警前平均时间
平均采样量
58
检测到漂移之前的平均采集样本个数。
非正态性对xbar-R控制图的影响
49
正态是假设，实际上存在非正态的可能。 控制图是稳健的，除非极其非正态。 多数情况下，4或5的样本量能确保足够的稳健 性。 R图对非正态比xbar图更敏感。 正态性和独立性假设是xbar图的理论基础，尤 其对阶段二而言。
OC曲线在阶段二的应用
50
控制限、规格限和自然公差限的关系
31
控制限，即自然公差限是过程自然变异形成的。 规格限是管理者、工程师、顾客或产品开发者 指定的。 控制限和规格限之间没有数学或统计关系。 不建议在控制图上绘制规格限。
控制限与自然公差限
32
子组估计的适当性
33
xbar图监测样本间变异（时间维）； R图监测样本内变异（某时刻过程内部变异）。 如以所有样本估计s，则
阶段二xbar-R控制图应用
28
以同样的方式采集20个新样本。
将样本均值和极差绘制在控制图上。
29
第43、45点落在控制限外，说明在此时间点之前发生了 可溯原因。从形态上看，从38点开始出现了均值漂移。
用盒图做深入分析
30
绘制盒图。未发现异常的单个观测值。方差变化不大。 从点38到45的均值为1.6633，则将产生更多不合格品，需 启动OCAP寻找可溯原因。
循环模式
45
xbar图的原因：系统性环境变化，如温度、操 作者疲劳、常规的操作者或设备的轮换、电压 或压力的波动、生产设备的其他变量等。 R图的原因：维修进度、操作者疲劳、工具磨损 导致变异增加。
混合模式
46
极少有点在中心线附近。 此模式是两个以上分布重叠产生的过程输出。 原因之一是操作者的“过度控制”，即过于频 繁的调整过程。 原因之二是产品输出源于多个源头(如几台并行 设备)，然后汇入一个过程中。
将导致s的估计过度，原因是s中既包含组内变异， 也包含了组件变异。因此用R估计s是适当的。
控制图设计指南
34
控制图设计内容包括样本量、抽样频率、控制 限。 完善的设计需要了解：
抽样成本； 研发成本； 失控信号触发的纠正行动； 质量损失成本。
可从经济的角度优化控制图。
控制图设计建议
由n=5，查表得A2=0.577，则控制限为
14
xbar图显示无异常。因此所有点都是受控的，此控制图 可用于阶段二。
估计工序能力
15
估计过程的标准差为
其中有n=5查表得d2。
16
抗流宽度的规格限为1.5±0.5microns 根据标准差估计值可估计当前的不合格品率
记为350ppm，即每百万件有350件不合格品。
例如，以n=16检测1.5s 漂移，大约需要10个样件。 如n=3，则平均需9个样件。
59
xbar-s控制图
60
以R估计s的方法计算简便，但有效性不如s。 两者的相对有效性为
小样本时性能接近，n>10以上性能下降较快。
xbar－s控制图的优点
61
(1) 当n较大时，s估计比R准确，因此性能更优。 (2) 样本量n是可变的。
1.0>Cp>=0.67
III
IV
过程能力尚可，但接近1.0时要注意
过程能力不足，需要采取措施
0.67>Cp
V
过程能力严重不足
计算Cp、Cpk的前提条件
过程受控 正态性 独立性
不要对不稳定的过程计算Cp 和 Cpk
23
24
计算当前的工序能力
当前的工序能力尚可。
工序能力的几种图示
25
R图的OC曲线
54
假设受控的标准差为s0，漂移后为s1，则OC曲 线为未发现漂移的概率，即b风险。 以l=s1/s0表示漂移量 可见小样本时R图对漂移 不敏感，如n=4,5,6。 如果n>10,12，建议用 s图代替R图。
xbar图的ARL
55
受控ARL
失控ARL
ARL服从几何分布，均值为1/p。
s未知的控制限
36
OC曲线对确定样本量是非常有帮助的。 建议采用小样本、频繁抽的模式。 对高产量过程(如50000件/小时)，抽样频率和数 量应相应增大。一般情况下，高产量过程具有 较高的在线采集数据能力，以满足过程监测的 需要。 一般情况下建议采用3 sigma限。担当第一类损 失很高时，可适当加大控制限，如3.5 sigma。 然而，当失控信号易于快速处理时，可缩小控 制限，如2.5或2.75 sigma。
构建xbar图的OC曲线
52
n下的关系。 n=3,4,5时，识别小漂移 的概率很小。 第r个子组被识别的概率
b风险与希望检测到的标准差单元在不同样本量
ARL
53
在漂移被检测到之前采集样本数量的期望值为
本例中 含义是以样本量n=5检测1s漂移时，平均4个样本就 能发现1个漂移。 证明xbar图用小样本是可靠的。虽然小样本会造成 较大的b风险，但是由于样本被不断循环抽取，所 以发现漂移的速度还是足够快的，即使不是第一个 样本就发现漂移。
休哈特定量控制图
Shewhart Control Charts for Variables
2
xbar-R控制图
3
对单一质量特性的定量指标进行监测。 监测均值－xbar控制图 监测方差－s控制图 R控制图
xbar控制图
4
如果已知m和s，则控制限为
如果m和s未知，则由样本估计，故抽取至少20 到25个子组，每个子组4到6个抽样。 总均值：
漂移模式
47
原因是新工人、新方法、新原材料、新机器、 检测方法或标准的改变、操作者技术、关注度、 积极性的改变等。 激励因素可能带来过程性能的提高。
趋势模式
48
朝着一个方向变化。 原因是工具等关键过程组件的逐渐磨损、老化。 化学过程中可能是混合物的设定或分解。 操作者疲劳，或监督的出现。 季节性因素，如温度。
当规格中心与分布中心不重合时
C pk T 2eT T 2e 6S T 6S 6S
T
e 1 2
f（x）
P2 P1 TL
21
Tm
μ TU
x
过程能力指数的评价标准
22
Cp的取值范围
级别
过程能力的评价
Cp>=1.67
1.67>Cp>=1.33
I
II
过程能力较高
过程能力充分
1.33>Cp>=1.0
构建xbar-s控制图
62
构建过程与xbar-R控制图相似。 样本方差：
s图控制限
63
样本方差s2是总体方差s2的无偏估计量
样本标准差s不是总体标准差s的无偏估计量。
故s的无偏估计量为
s已知的控制限
64
由于标准差s的标准差为 则3-sigma控制限为：
定义 则控制限简化为
10
如果找不到可溯原因，可暂时保留，观察未来 的点是否异常。如果可以，则可将其安全剔除。 否则，说明这些点确实来自失控状态，需要深 入分析。 如果仅有1、2个异常点，可采用相同方法处理。 如果R图异常，则说明方差不稳定，则xbar图的 控制限是不可靠的。 如果大量的点出现异常，则应分析其模式特征。 通常与模式相关的可溯因素较容易发现。
系数的来源
7
则控制限为
如定义 则可得前述xbar图控制限公式。
由 R的标准差为
由于s未知，估计sR
则R图的3-sigma控制限为
如令 则可得前述R图控制限公式。
8
阶段一的xbar-R控制图应用
9
采集20-25个样本，每个样本3-5个样件。 如果所有点都在控制限以内且无非随机模式出 现，则说明过程是受控的。 否则说明过程是失控的。需要对每一个落在控 制限之外的点进行回溯分析，找到可溯原因， 并加以改进。然后去掉异常点，重新计算控制 限。直至所有点都落在控制限以内且无非随机 模式出现。
基于标准值的控制限
43
在已知过程的均值和方差时，不需要历史数据， 则
此种情况并不常见。
常见非随机点集模式
44
首先确定R图是受控的。当xbar和R图都表现出 非随机模式时，应优先消除R图的可溯原因。一 般来说这样做可以自动消除xbar图的非随机模 式。 当R图失控时，不要试图研究xbar图。
35
如果检测中等偏大漂移(2s以上)，可选小样本 n=4、5、6。 如果检测小漂移，则需大样本n=15～25。 可以通过适用警戒限和敏感规则提高检测小漂 移的能力。但不建议常规适用敏感规则。 可使用CUSUM和EWMA控制图。 R图对小样本标准差的偏离相当不敏感，大样本 则会剧烈降低估计s的有效性，所以当n较大时， 建议采用s或s2图。
39
40
概率限
41
由指定的第一类错误率设定控制限，称为概率 限。 对xbar图，取k=Za/2，其Za/2为标准正态分布的 上a/2分位点。 如取a=0.002，则Za/2=Z0.001/2=3.09。
42
如取a=0.002，则需查得W=R/s分布的0.001和 0.999分位点，并用Rbar/d2估计s。 控制限为W0.001(n)(R/d2)和W0.999(n)(R/d2)。 令D0.001=W0.001(n)/d2， D0.009=W0.009(n)/d2 则控制限为
xbar－R控制图应用案例
11
对半导体光刻工序的抗流宽度进行监控。对我 们认为处于受控状态的过程抽取25个样本，每 个样本5个样件。抽样间隔时间为1小时。
12
平均极差：
由n=5，查表得D3=0，D4=2.114，则R图控制限为
13
R图显示无异常。
由于R图显示过程变异性是受控的，则可以构建xbar图。 中心线为
样本极差：
平均极差：
Xbar－R控制图的控制限
5
xbar图控制限
R图控制限
A2、D3、D4可查表
用R估计s
6
令x1,x2,…,xn为来自均值为m、方差为s2的正态分 布的n个随机观测样本。 样本的极差为
随机变量W=R/s称为相对极差。W的均值为d2， 取决于样本量，即E(W)=d2。 正态分布标准差s的一个无偏估计量为
如果均值从受控的m0漂移到m1=m0+ks，则第一 个子组样本未检测到漂移的概率，即b风险为 由于 ，则控制限为
则
51
简化后得
例如，xbar图取L=3，n=5，k=2，即确定第一个 样本检测出m1=m0+2s漂移的概率，则
b风险为0.0078，能检测到的概率为10.0078=0.9922
正态分布与过程能力
LSL USL
-3s
-2s -1 s
µ + s +2 s +3 s
工序能力B= ±3s
19
过程能力指数
20
过程能力指数是衡量过程能力对产品规格要求满足 程度的数量值，记为Cp。通常以规格范围T与过程能 力B的比值来表示。即：
T T T TU TL Cp B 6s 6s 6s
另一种解释
26
计算
本例
本工序用掉了规格范围的84%
控制图的修订
27
பைடு நூலகம்
应定期对控制图进行修订，如每周、每月或每 25、50、100个样本。 修订时建议至少采用25个子组样本。 如果将中心线设定为目标值，当R图受控时，应 尽量将过程均值与目标值调整为重合。DOE能 为调节均值找到影响因子。 当R图失控时，通常去掉失控点，重新计算R的 均值及xbar控制限，并估计标准差。
改变控制限
37
xbar-R控制图的样本量是固定的，如需可变样本 量则可采用xbar-s控制图。 考虑成本等因素，如需永久改变样本量，则可 在原控制图基础上计算。
A2、D3、D4为新样本量的对应取值。
案例：改变样本量
38
由于过程受控，为了节约成本，决定将样本量 从5个减少到3个。 已知 查表得 新控制限为
过程能力
17
过程能力是指过程处于受控状态或稳定状态下 在加工精度方面的实际能力，过程能力体现了 过程稳定地实现加工质量的范围。 它有助于掌握各道过程的质量保证能力，为产 品设计、工艺、工装设计、设备的维修、调整、 更新、改造提供必要的资料和依据。
受控状态
18
工序处于稳定状态，是指工序的分布状态不随 时间的变化而变化，或称工序处于受控状态。 受控过程仅受随机性因素的影响，因此，过程 质量特征值服从正态分布。
ARL的OC曲线
56
ARL是为了检测到漂移所需采集的样本个数的 期望值。 例如，以n=3监测1.5s 的漂移，则ARL1=3，即 平均3个样本能观测到1个。 当n增加到16时，ARL1=1。 缺点：
偏态分布 受标准差估计准确性影响
ATS
57
报警前平均时间
平均采样量
58
检测到漂移之前的平均采集样本个数。
非正态性对xbar-R控制图的影响
49
正态是假设，实际上存在非正态的可能。 控制图是稳健的，除非极其非正态。 多数情况下，4或5的样本量能确保足够的稳健 性。 R图对非正态比xbar图更敏感。 正态性和独立性假设是xbar图的理论基础，尤 其对阶段二而言。
OC曲线在阶段二的应用
50
控制限、规格限和自然公差限的关系
31
控制限，即自然公差限是过程自然变异形成的。 规格限是管理者、工程师、顾客或产品开发者 指定的。 控制限和规格限之间没有数学或统计关系。 不建议在控制图上绘制规格限。
控制限与自然公差限
32
子组估计的适当性
33
xbar图监测样本间变异（时间维）； R图监测样本内变异（某时刻过程内部变异）。 如以所有样本估计s，则
阶段二xbar-R控制图应用
28
以同样的方式采集20个新样本。
将样本均值和极差绘制在控制图上。
29
第43、45点落在控制限外，说明在此时间点之前发生了 可溯原因。从形态上看，从38点开始出现了均值漂移。
用盒图做深入分析
30
绘制盒图。未发现异常的单个观测值。方差变化不大。 从点38到45的均值为1.6633，则将产生更多不合格品，需 启动OCAP寻找可溯原因。
循环模式
45
xbar图的原因：系统性环境变化，如温度、操 作者疲劳、常规的操作者或设备的轮换、电压 或压力的波动、生产设备的其他变量等。 R图的原因：维修进度、操作者疲劳、工具磨损 导致变异增加。
混合模式
46
极少有点在中心线附近。 此模式是两个以上分布重叠产生的过程输出。 原因之一是操作者的“过度控制”，即过于频 繁的调整过程。 原因之二是产品输出源于多个源头(如几台并行 设备)，然后汇入一个过程中。
将导致s的估计过度，原因是s中既包含组内变异， 也包含了组件变异。因此用R估计s是适当的。
控制图设计指南
34
控制图设计内容包括样本量、抽样频率、控制 限。 完善的设计需要了解：
抽样成本； 研发成本； 失控信号触发的纠正行动； 质量损失成本。
可从经济的角度优化控制图。
控制图设计建议
由n=5，查表得A2=0.577，则控制限为
14
xbar图显示无异常。因此所有点都是受控的，此控制图 可用于阶段二。
估计工序能力
15
估计过程的标准差为
其中有n=5查表得d2。
16
抗流宽度的规格限为1.5±0.5microns 根据标准差估计值可估计当前的不合格品率
记为350ppm，即每百万件有350件不合格品。
例如，以n=16检测1.5s 漂移，大约需要10个样件。 如n=3，则平均需9个样件。
59
xbar-s控制图
60
以R估计s的方法计算简便，但有效性不如s。 两者的相对有效性为
小样本时性能接近，n>10以上性能下降较快。
xbar－s控制图的优点
61
(1) 当n较大时，s估计比R准确，因此性能更优。 (2) 样本量n是可变的。
1.0>Cp>=0.67
III
IV
过程能力尚可，但接近1.0时要注意
过程能力不足，需要采取措施
0.67>Cp
V
过程能力严重不足
计算Cp、Cpk的前提条件
过程受控 正态性 独立性
不要对不稳定的过程计算Cp 和 Cpk
23
24
计算当前的工序能力
当前的工序能力尚可。
工序能力的几种图示
25
R图的OC曲线
54
假设受控的标准差为s0，漂移后为s1，则OC曲 线为未发现漂移的概率，即b风险。 以l=s1/s0表示漂移量 可见小样本时R图对漂移 不敏感，如n=4,5,6。 如果n>10,12，建议用 s图代替R图。
xbar图的ARL
55
受控ARL
失控ARL
ARL服从几何分布，均值为1/p。
s未知的控制限
36
OC曲线对确定样本量是非常有帮助的。 建议采用小样本、频繁抽的模式。 对高产量过程(如50000件/小时)，抽样频率和数 量应相应增大。一般情况下，高产量过程具有 较高的在线采集数据能力，以满足过程监测的 需要。 一般情况下建议采用3 sigma限。担当第一类损 失很高时，可适当加大控制限，如3.5 sigma。 然而，当失控信号易于快速处理时，可缩小控 制限，如2.5或2.75 sigma。
构建xbar图的OC曲线
52
n下的关系。 n=3,4,5时，识别小漂移 的概率很小。 第r个子组被识别的概率
b风险与希望检测到的标准差单元在不同样本量
ARL
53
在漂移被检测到之前采集样本数量的期望值为
本例中 含义是以样本量n=5检测1s漂移时，平均4个样本就 能发现1个漂移。 证明xbar图用小样本是可靠的。虽然小样本会造成 较大的b风险，但是由于样本被不断循环抽取，所 以发现漂移的速度还是足够快的，即使不是第一个 样本就发现漂移。