三视图还原法

三视图是高中立体几何的基本内容，是培养高中生空间观念的主要内容。纵观近几年的高考，有关三视图的考察逐年稳定，几乎成为各个卷型的必考题之一。这种题型的本质即为由三视图还原直观图，考察知识单一，目标明确，属于基础题目。但从得分情况来看，并不乐观。王坤通过调查发现：学生在由三视图还原直观图时，没有认真分析三个图形的特征，即开始还原；还原时，不根据图形特征考虑还原方法；不清楚三视图是怎么形成的；进行检验时，不画出还原后的几何体的三视图对照原三视图，只画一个或两个视图。要解决这些问题，就必须明确的给出由三视图还原直观图的方法，让学生有迹可循，有规可依。下面就以2012—2016年高考题为例，从不同角度进行分析，

一、割补法

1、（2014高考安徽卷文第8题）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ） A.233 B.476 C. 6 D. 7

分析：在三视图问题中，如果其中有正方形出现，我们就可以考虑采取用切割正方体的办法。具体做法： 如图，我们先画出正方体，然后将三视图中出现的线画在正方体上，注意点的位置，以及实线画在前面的面，虚线画在后面的面上，最后按照所画的线进行切割，就可以得到我们所需要的几何体的形状，并且由于该几何体边长均有正方体有关，所以很容易求出体积.

解析：如图1第一步先做出正方体并画出正视图中实线与虚线（实线画在前面的面，虚线画在后面的面上），同理做出其它面上的线可得图2，最后我们切割可得所求几何体.

由三视图可得，该多面体的的直观图是一个正方体1111ABCD A B C D -挖去左下角三棱锥EFG A -和右上角三棱锥''''G F E C -，如下图，则多面体的体积3

2311121312222=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，故选A. 2、（2015高考新课标2理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去

部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A.81

B.71

C. 61

D. 5

1

解析：如图1第一步先做出正方体并画出正视图中实线与虚线（实线画在前面的面，虚线画在后面的面上），同理做出其它面上的线可得图2，最后我们切割可得所求几何体.

由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111D B A A -，如图所示，设正方体棱长为a ，则33612131111a a V D B A A =⨯=

-，故剩余几何体体积为3336561a a a =-，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1，故选D. 3、（2014高考辽宁卷文第7题）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.π28-

B.π-8

C. 28π

- D. 48π

-

解析：

由三视图可得，几何体为棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体故体积为ππ-=⨯⋅⨯-=8212

182V ，故选B. 方法总结：当遇到三视图中存在正方形时，我们可以考虑采取切割正方体的方法，步骤如下：

1、作出正方体；

2、将三视图中每个视图中出现的线画在正方体对应的面上，注意点的位置，以及实线画在前面的面，虚线画在后面的面上；

3、最后按照所画的线进行切割.

我提出了以下教学对策：教师在教学过程中一定要注意知识的前后呼应，帮助学生把基础知识打牢固，帮助在头脑中形成知识网络并能灵活提取运用；使学生能做到学以致用、融会贯通；教师应使学生端正对数学这一门学科的态度，培养他们良好的学习习惯，督促他们要沉稳勤奋，不要对做题结果存在侥幸心理，该检验的一定要检验；教师应注意调整学生做题的时间，复杂的题目留的时间长，简单的题目留的时间短，督促学生提高做题效率，不要盲目追求做题速度而忽视做题质量；教师应注意让学生做三视图还原几何体方面的练习题时，应多给学生不同类型的题目，不要只做某一种而使学生形成思维定势，要使学生正视数学、正视自己的数学能力，不能盲目的相信自己，也不要对数学产生恐惧心理；教师应多鼓励学生不懂得的知识大胆问；教师应注意多培养学生的空间想象能力和动手操作能力，在日常生活和学习中多给他们提供一些三维立体图形让他们看、想、画；对于立体几何知识的讲授，有条件的都要使用多媒体展示其动态的过程，这样学生能直观的看到三视图形成的过程，更容易打好基础三视图