第八章 理想刚塑性体的滑移线解法

[证明] 沿 线： 2k C ，沿 线： 2k C ，显然有
(C C ) ；
1 2

1 (C C ) 4k
上式是同一点的 、 、 C 、 C 应满足的关系。考察图 8.4a 中的 4 个点，显然有
1 1 (C 1 C 1 ) ， 1,2 (C 1 C 2 ) 4k 4k 1 1 2,1 (C 2 C 1 ) ， 2,2 (C 2 C 2 ) 4k 4k
图 8.3 滑移线坐标系
O
ß
y
s1 sm k k
sm
sm a k
θ
k
φ
sm
x
9
最大剪应力方向与主应力方向夹角为±45°。 规定从大主应力 1 顺时针转过 45°到达 滑移线方向为 方向，另一个为 方向。则在 xy 平面内， 线、 线的微分方程为
dy tan ( 族) dx dy cot ( 族) dx
（8.2.16）
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4.滑移线（特征线）的性质
根据式（8.2.15） ，可以导出滑移线具有如下几个主要性质。 （1） 1 与 2 滑移线之间，沿任何 线， 、 的改变值保持为 常数；同样， 1 与 2 滑移线之间，沿任何 线， 、 的改变值 也保持为常数，这称之为 Hencky 第一定理。
1,1
因此
1,1 1,2 2,1 2,2 1,1 1,2 2,1 2,2
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（8.2.17） （8.2.18）
同理可得
（2）若 1 ， 2 之间的某条 线为直线，则 1 ， 2 之间的所有 线都为直线。 [说明] 该性质直接根据式（8.2.17）给出。
1 k 2 3 k
σy τyx σx
p
（8.2.6）
σ1 σm
σ1 τxy σ3 σx
p
π/4 θ
k
k σm
σ3 σm
p
τxy
y
τyx σy σ1
φ=θ+π/4
k σ1
k
σm
o
x
（a）一般应力状态 （b）主应力状态 （c）主剪应力状态
8
2．滑移线的概念
由平面问题的应力分析可知， 最大剪应力一定作用在与 主平面成 45°方位的截面上，见图 8.2c。 在物体内每点所取的单元体上， 都可以找到这样相互垂 直的两个方向，将其连接即可绘制出两族处处相 互正交的曲线，一簇称为 ，一簇称为 ，如图 8.3 所示，并可用此两族曲线表示最大剪应力作 用截面的方向。 在经典塑性理论中，当最大剪应力达到屈服条件 时，将沿此迹线错动，因此将主剪应力迹线称为 应力滑移线或滑移线。
（8.1.3）
（4）应力应变关系：在经典塑性力学中，采用 Levy-Mises 关系
s ij ij
（5）体积不可压缩条件
ii 0
（8.1.4）
（8.1.5）
按弹性力学，对平面应变问题，还需要满足
z 0, z = (x y ), xz = yz =0, xz =yz =0
第八章 理想刚塑性体的滑移线解法
工程中有一些问题，如金属成形加工中的辊轧、抽拉，岩土工程中的土坡 稳定，挡土墙及地基承载力等平面应变问题，要获得其准确的塑性力学解 答往往是很困难的 但是我们可以借助塑性极限分析理论，引入理想刚塑性（忽略弹性变形、 不计硬化）假设，推求工程上很有实用价值的极限荷载或其近似值，进而 能够极大地简化塑性分析理论与过程，在金属加工和岩土工程中应用很 广。 本章主要介绍基于增量理论求解理想刚塑性体平面应变问题的滑移线法 或特征线法
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1.滑移线 设滑移线由两个均匀应力场和夹在它们 中间的一个中心场组成。 如图 8.5 所示。 OAB 区域和 OCD 区域是均匀应力 场，由于边界上 nt =0，它们的滑移 线为两簇与边界成 45°的直线，滑 移区域为等边三角形； OBC 区域是中心场，其张角为 2

线 L，沿着该线有
2k sin 2 x 2k sin 2 y
0 y 0 x
（8.2.9）
这是一组双曲线型的一阶非线性微分方程，可采用特征线求解。设在 xy 平面内存在特征
d
（8.2.10）
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用坐标微分 dx, dy 可将 d , d 分别表示为
2
（8.2.4）
塑性区内各点应力状态应满足屈服条件或（8.1.2） ，即
y 2 2 2 x xy k s 2
件下塑性区的应力状态可表示为
2
（8.2.5）
由图 8.2c 可见，最大剪应力面上的正应力就等于平均应力 ，故理想刚塑性体平面应变条
3
1 2
（8.1.6）
满足上述方程组的塑性区应力和速度分布，不一定是真实解或完全解。 真实解或完全解还必须满足刚性区内一些条件： （1）刚体的平衡条件 （2）刚性体区内 i j 0 。如果这部分材料可以运动，它必须是刚体运动。
2 这里的材料可 （3） 刚性区内部各点的应力状态应满足屈服条件 J 2 k 。
（3）滑移线已知，只要知道任一点的 值，滑移场其他各点的应力值均为已知。 [说明] 设 A 点的 A 已知，求任意一点 B，如图 8.4b。 已知条件给出了整个滑移线，因此，任意一点（包括 A 点） 的 已知。 沿 线： A 2k A C 1 ， 可算出 C 1 ； C 2k C C 1 ， 。 可算出 C （因为 C 已知） 沿 线： C 2k C C 1 ， 可算出 C 1 ； B 2k B C 1 ， 可算出 B 。
2
。
根据 OA 边上各点的应力状态判断 线， 线。 已知 OA 边界上 nt =0， n =0，经分析： t <0 是小主应力，因此 n =0 是大主应力。 根据 8.2 节关于滑移线的定义，可确定哪一条是 线，如图 8.5 所示。 ， 线必须正确确定，否则求出的极限荷载是错误的。
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（4）如果滑移线的某段为直线，则沿着这条直线的 ， ， C 和 C 以及 x ， y 和 xy 均 为常数。 [ 说明 ] 设 线为直线，则沿该直线 为常数，在同一条滑移线上 C 是常数，因此
C 2k 也是常数。
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§8.3 应用实例分析 8.3.1 楔形体单边受压
d
dx dy , x y
d
dx dy x y
（8.2.11）
综合（8.2.9） 、 （8.2.10）和（8.2.11）得
2k (dx cos 2 dy sin 2 )
2k (dx sin 2 dy cos 2 ) dx dy 进而可得 x y x y
（8.2.7）
将应力状态 x 、 y 、 xy 替换为滑移线方向微元体上的正应力 ，剪应力 k 以及 滑 移线与 x 轴的夹角 得
x k sin 2
y = +ksin2
xy =kcos2
（8.2.8）
显然，一旦 、 求出，则该点的应力状态即可求出。
φ=θ+π/4
k σ1
k
σm
o
x
（a）一般应力状态 （b）主应力状态 （c）主剪应力状态 图 8.2 微小单元上的应力状态
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8.2.2 应力滑移线 1.应力状态特点
在图 8.1 所示的塑性区中任取一点 P，其一般应力状态如图 8.2 所示。 考虑到（8.1.6）式的
z ( x y )
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3.沿滑移线的应力场
在建立了滑移线网格后，将 x、y 坐标系中的应力分量转换到 、 曲线坐标系中的 公式为（8.2.8） ，将式（8.2.8）代入平衡方程（8.1.1）即得滑移线坐标表示的极限平衡微 分方程
x 2k cos 2 2kcos 2 y
dy cot dx
（8.2.13）
比较式（8.2.13）和（8.2.7）可以发现，该特征线与 、 滑移线重合。
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将特征根 2k 代入式（8.2.10）得：
d 2kd 0 ( 线) d +2kd 0 ( 线)
沿滑移线积分得
（8.2.14）
如图 8.5， 楔形体的张角 （ OA 与
OD 的夹角） 为 2 （2 ＞ /2） ；

在 OD 边上 xy =0 ，在 OA 边上
n nt =0；
在 OD 边上的一段给定垂直向 下的速度分布 v y V ( x) ； 求 p 等于多大时达到塑性极限 荷载，使得楔形体以 v y 的速度开始向下滑动。 这个问题对研究边坡的稳定性问题有参考意义。
处于刚性或弹性状态。 （4）在刚塑性交界处，平衡条件要求法向正应力和剪应力分量连续；物 体连续性要求法向速度必须连续。
4
§8.2 应力滑移线 8.2.1 基本方程求解
如果给定应力边界条件，则由平衡方程（8.1.1）和屈服条件（8.1.2）可求出应力分量。 将屈服条件（8.1.2）分别对 x 和 y 求导得
（8.2.1）
式中
x y 。这是一组一阶拟线性偏微分方程，可用数理方程中双曲线的特征线法求 4 xy
解。结合屈服条件，就能求出三个应力分量。
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图 8.1 单边受压的楔形体
σy τyx σx
p
σ1 τxy σ3 σx
p
π/4 θ
σm k
σ1
k σm
σ3 σm
p
τxy
y
τyx σy σ1
可知 z 是中主应力，其它两个主应力为（见图 8.2.b）
1 2
（8.2.2）
1,3 =
最大剪应力为
x y
2
x y 2 xy 2
2
（8.2.3）
max
x y 2 xy 2
7
1
§8.1 理想刚塑性材料平面应变问题的基本方程 刚塑性体极限分析理论应当满足刚塑性体的平衡条件、几何条件和本构 关系。在求解刚塑性体平面应变问题时则需要满足如下基本方程： ( 1 ) 无体力时的平衡方程
x xy 0 y x yx y 0 y x
2 xy
xy x

x y x
2
y ， x x
2 xy
xy y

x y x
2
y y y
代入平衡方程（8.1.1） ，消去 xy 的微商得
x y x 0 y x y y x y 0 y x x
(8.1.1)
( 2 ) 屈服条件: 采用 Mises 条件时，在平面应变情况下有
x y J2 2 2 2 2 xy k s
2
(8.1.2)
2
（3）几何关系
V V x x y = y z 0 x y V xy Vx y yz =xz =0 x y
（8.2.12）
(2k cos 2 )dx 2k sin 2 dy 0 2k sin 2 dx (2k cos 2 )dy 0
dx, dy 非零解要求该方程组的系数矩阵行列式为零，得到两个特征根 2k 。将其代回
（8.2.12）得：
dy tan dx
2k const1( 线) 2 线） 2k const （
（8.2.15）
用类似的特征线法也可以求出沿滑移线的速度场（详细推导过程请见陈明祥编著的《弹塑 性力学》 ）
dV V d 0( 线) dV V d =0( 线)