第13章 动静法

二、关于惯性力的概念
FI ma
因该力与质点的惯性有关，故称为质点的惯性力；
但应注意：
1）质点并没有受到惯性力的作用，该原理中的
“平衡力系”实际上是不存在的。但假想地加上惯性力
后，就可将动力学问题借用静力学的理论和方法求解；
2）惯性力虽是虚加的力，但使该质点获得a的施力
物体受到的反作用力却与质点的惯性力有关，在某些情
(2)
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约
束力和虚加的惯性力构成“平衡”力系。
内力若Fi的把(e) 合作力用于质，点则的F所i(i有) 力分为外力的合力
，
Fi(e) Fi(i) FIi 0 ( i 1,2,......, n )
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力
和虚加的惯性力构成“平衡”力系。
解得 a g tanq q 角随着加速度 的a 变化而变化，当 不a 变时，q 角也不变。只要测出q 角，就能知道列车的加速
度 。摆a 式加速计的原理就是这样。
三、 质点系的动静法
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,......,n )
子的拉力。
a
FI2 P2
P1 FI1
Q
解：由 Fx 0 : Q F1 F2 FI1 FI 2 0
F2 N2
F1 N1
且F1
fP1、F
2
fP2、F
I1
P1 g
a、、F I 2
P2 g
a
求拉力T，可以P2为研究对象
a
Q P1 P2
f
g
由 Fx 0 : T F2 FI 2 0
FI2 P2
T
T
F2
FI 2
fP2
P2 g
P1
Q
P2
f
g
T QP2 P1 P2
F2 N2
可见质点系总重的情况下，拉力T并不取决于摩擦的状况，
并因第二重物的减少而降低，所以在编组货物列车时，最好
把较重的车辆靠近机车。
四、刚体惯性力系的简化
对质点系应用动静法，每个质点上均需虚加惯性 力，给求解质点系（包括刚体动力学问题）带来困难。 有必要利用静力学的力系简化理论，将惯性力系简化， 求出惯性力系的主矢和主矩，以等效地代替原来的惯 性力系。此外，刚体平动、定轴转动和平面运动时， 其上各点的运动有一定的联系，也有可能将惯性力系 进行简化，这样会给解题带来方便。
故刚体平动时，其惯性力系可简化
为通过质心的合力，其大小等于刚体质
量与加速度的乘积，合力的方向与加速
度方向相反。
FI
maC
二、定轴转动刚体
先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的情况。
直线 i : 平动， 过Mi 点， FIi miai
O
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O 为转轴z 与质量对称平面的交点，向O 点简化：
况下恰好等于质点的惯性力；
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆， 质量为m , 当车厢向右作匀加速运动时，单摆向左
偏 角度q，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。 a
解：选单摆的摆锤为研究对象
虚加惯 性力 FI ma ( P mg)
FT FI
P
由动静法, 有
Fx 0 , mg sinq FI cosq 0
达朗伯原理提出了研究非自由质点系动力学的 一个新的方法——动静法；其把动力学问题从形 式上转化为静力学问题，并利用静力学中研究平 衡问题的方法来求解动力学问题。
一、质点的动静法
顿第移如二项图定 所并律示令有质F：I点ma的m运Fa动,则，F上N由, 式牛变为
F FN FI 0
(1) 其形式上为一平衡方程。
（一）惯性力系的主矢
设一质点mi、ai，刚体的质量M，质心加速度ac。
FIR
F (e) Ii
mi ai
由重心坐标公式
rC
mi ri M
maC miai
FIR mac
即：无论刚体做什么运动，惯性力系的主矢都
等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质
心加速度方向相反。主矢的大小和方向与简化中心
用动静法求解动力学问题时，
Fix(e) FIix 0
对于平面任意力系：
Fiy ( e )
MO (Fi
(e
)
)
FIiy
0
MO (FIi )
0
对于空间任意力系：
Fix(e) Fiy(e)
FIix 0 , FIiy 0 ,
M M
yx((FFii((ee))))
M x (FIi ) 0 M y (F Ii ) 0
Fiz(e) FIiz 0 ,
M z (Fi(e) ) M z (FIi ) 0
实际应用时, 同静力学一样选取研究对象, 列平
衡方程求解。
例2 两重物P1及P2 ，用绳索联结，在Q作用下水 平运动，已知摩擦系数f。试求重物的加速度a及绳
对于整个质点系，则有
Fi(e)
Fi(i) FIi 0
ห้องสมุดไป่ตู้
MO (Fi(e) ) MO (Fi(i) ) MO (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、
共线，有
Fi
(
i
)
0，
MO
(
Fi
(i
)
)
0
则上式可改写为
Fi(e)
FIi
0
(3)
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
在上式中，可假想 FI是一个力，大小为ma，
方向与a方向相反。
如果人为地虚加上该力，则其与主动力、约束力
将组成一“平衡”力系，则可以应用静力学的力系平
衡条件求解未知量。这种方法称为动静法。
上式称为质点的达朗伯原理。
思： 站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬时，磅秤的 指针是向轻的方向摆动，还是向重的方向摆动？ 试用动静法解释。
Fi(e)
FIi
0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加 在每个质点上的惯性力组成“平衡”力系，以便用 静力学方法来解决质点系动力学问题，这种方法称 为质点系的动静法。对整个质点系来说，动静法给 出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的 平衡，而与内力无关。
的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。
（二）惯性力系的主矩
1、刚体作平动
速度作平动a相C时同，，刚如体图任， 一以点O为i的简加化速中度心，a与有i 质心 的加
MIO ri (miai ) ( miri ) aC mrC aC
若选质 心C为简化中心，则rC=0，有：
MIC 0