高等代数课件(北大版)第三章 线性方程组§3-3

§3.3 2020/1/14 线性相关性
数学与计算科学学院
换句话说， 对于一个向量组 1,2, ,s , 若由 k11 k22 kss 0
必有 k1 k2 ks 0,
则称向量组 1,2, ,s 为线性无关的.
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二、向量组的等价
1、定义
若向量组 1,2 , ,s 中每一个向量 i (i 1, 2, , s) 皆可经向量组 1, 2, , t 线性表出，则称向量组 1,2 , ,s 可以经向量组 1, 2 , , t 线性表出；
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个
注：1) 若 k，也称向量 与 成比例.
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2）零向量0可由任一向量组的线性表出.
3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.
4）任一 n 维向量 (a1,a2 , ,an ) 都是向量组 1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0,0, ,1)
k1 11k2 3k3 4
（1）
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对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵
1 5 1 2
1 5 1 2
1
0

2 3
1 3

A

源自文库
2 3 1
5 12 11
3 6 3
1
3 4



0 0 0
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2、线性无关
定义2：若向量组 1,2 , ,s 不线性相关，则称 向量组 1,2, ,s 为线性无关的. 即
若不存在 P 中不全为零的数 k1, k2 , , ks P ，使
k11 k22 kss 0 则称向量组 1,2, ,s 为线性无关的.
若能，写出它的一个线性组合．
(2,1,3,4) 1 (1,2,3,1), 2 (5, 5,12,11), 3 (1, 3,6,3)
解：设 k11 k22 k33，即有方程组
k1 5k2 k3 2

2k1 5k2 3k3 1 3k1 12k2 6k3 3
3 0 0
1 0 0
1
0 0



0
0 0
1
0 0
1 3
0 0
1
3
0 0

所以方程组(1)有解．它的一般解为

k1 k2

21
3 k3 3

1 3
k3

1
令 k3 1, 得(1)的一个解 (1,0,1)， 从而有
1 3
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的一个线性组合．
事实上，有对任意 (a1,a2 , ,an ) , 皆有
a11 a2 2 an n . 1, 2 , , n也称为 n 维单位向量组．
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例1 判断向量 能否由向量组 1,2,3 线性表出.
向量组等价.
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2、性质
向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
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三、线性相关性
1、线性相关
定义1：如果向量组1,2 , ,s (s 2)中有一向量 可经其余向量线性表出，则向量组 1,2, ,s
一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大无关组
2020/1/14
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一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组 合，则称向量 可由向量组 1,2, ,s 线性表出.
（2）
称为线性相关的.
注：特殊情形
1）向量组1,2 线性相关 1,2成比例.
2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.
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定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
线性相关的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks
使 k11 k22 kss 0.
注：在 s 2 时，定义1与定义1'是等价的.
例2 判断下列向量组是否线性相关.
(1) 1 (1, 2,3), 2 (2,4,6), 3 (3,5, 4) (2) 1 (1,0,0), 2 (1,1,0), 3 (1,1,1)
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6）向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s
线性无关的充要条件是齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2

a12
x1

a22
x2


a1n
x1

a2n
x2

只有零解；
as1xs 0 as2xs 0 asn xs 0
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3、线性相关性的有关性质
1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
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4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
5）如果向量组1,2 , ,s 线性无关，而向量组 1,2, ,s , 线性相关，则 可经向量组 1,2 , ,s 线性表出.(习题3)