平面向量平行的坐标表示教案

8.3.2平面向量平行的坐标表示

教学目标：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，

并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。

教学重点：平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题 教学难点：充要条件的推导，共线条件的判断

教学过程：

一、复习：1． 平行向量基本定理

2．平面向量的坐标运算法则

二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb

（0≠b ），那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

2．推导：设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 其中b ≠a

由a =λb (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2

121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0 结论：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠0

∴x 2, y 2中至少有一个不为0

2︒充要条件不能写成2

211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0

1221=-=⇔y x y x b a λ 三、应用举例

例一，判断下列两个向量是否平行

（1）a =（-1,3），b =（5，-15）

（2）AB =（2,0），CD =（0,3）

解：（1） （-1）⨯（-15）=3⨯5

∴a 与b 平行

（2） 2⨯3≠0⨯0 ∴AB 与CD 不平行

点评：利用坐标表示可以判断两个向量是否平行

两个课后练习巩固

例二 若向量a =(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x

解：∵a =(-1,x)与b =(-x, 2) 共线

∴(-1)×2- x •(-x )=0

∴x=±2

∵a 与b 方向相同

∴x=2

定评：如果两个向量共线 根据公式可以求出未知数

完成课后第二第三两题

例三 已知A (-1,-1)，B (1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的关系.

点评：如何证明三点共线 主要是证明两个有公共点的两个向量平行，

同时引导学生如何证明三点不共线 变式．已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7)

（1） 向量AB 与CD 平行吗？

（2）直线AB 与平行于直线CD 吗？

解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2)

又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD

()()()()()()()()11,312,421,513,62634//.

0A B C AB AC AB AC AB AC A =----==----=⨯-⨯=解：直线、直线有公共点，所以、、三又，故，点共线，

又：AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4)

2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行

∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD

四、练习：

1．已知平面向量)2,1(=→a ，),2(m b -=→，且→a ∥→b ，则→

→+b a 32的坐标

为 ． 2. 已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD

五、 高考链接

⑴（08全国2）设向量)3,2(),2,1(==→→b a ,若向量→→+b a λ，与向量)7,4(--

=→

c 共线，求λ值． ⑵（10陕西11）已知向量)2,1(=→a ，),1

(m b -=→，)2,1(-=→c ，若(→→+b a )∥→c ，则m= .

五、小结：1.向量平行的充要条件（坐标表示）

• 2．利用向量共线求未知数

• 3． 利用向量思想证明点共线的方法

六、作业：P64 练习8-6

《同步训练》P38、39

七、课后反思

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————