用定义法证明数列极限存在应注意的问题_董宇峰

1 n
均 为无 穷小 量,
所以
上述的放大都是适当的, 自然证明结果亦是正确的。
可见由于放大后的 ( n) 不同 而找到 不同的 N ( ) 并
不影响我们所要证明的结果。这与数列极限定义 中
并不要求 N( ) 必须是唯 一的而只要 求 N ( ) 存在 是
完全一致的。
等式 极易解出为 n>
3 8
,
可取
是我 们 把 x n- a 放 的 过 大 了。 上 面 的 ( n ) =
3n+ 8n
1在
n
的过程中已不再 是无穷小 量了, 因 此
从不等式 ( n) < 中解不出适合极 限定义要求 的 N
( ) 了。类似上面的 错误 在一 些自 考学 员的 习题 中 会常出现的, 这里提示广大学员不要再重犯。
其次, 我们需要说明适当放大 后的 ( n) 不一 定 是唯一的。对一个数列而言, 放大 后的 ( n) 可以 是
不相同的。仍以例 2 来说明:
3n- 1 8n3 + 5
3n 8 n3
=
3 8 n2
<
1 n2
<
1 n
,
这里
( n) 除了可取 为
3 8 n2
外,
还可以取为
1 n2
或
1 n
,
当
( n) =
1 n2
时,
可
取
N
例 2:
证明: lim
n
3 n8n 3+
1 5
=
0
( )=
1
证: 对
> 0, 解不等式
3n 8n 3+
对一些极简单的数列, 我 们可 以用直 接解 不等
式| x n- a| < 的方法找到 N ( ) 的存在。
例 1:
证明: lim n
(-
1) n+ n
1
=
0
证: 对
> 0, 解不等式
(-
1) n+ n
1
-
0
<
,
由
(
-
1) n
n+
1
-
0
=
1 n
<
, 可取 N(
)=
1。
在一般情况下, 不等式| xn- a| < 并不 总是可以
理分式表示 的 xn - a , 通常 采用 放 大分 子或 缩 小 分母的方法来使分 式值放 大, 如 我们 前面 例 2 中 所 用的方法, 对某些含有无理式的数列, 我们通常先 将
首先, 我们在运用 上述放 大的 办法证 明数 列极 限存在时, 一定要 注意放大 的 适当 。即 不能 随意
地放得过大。如何做到放大的 适当 呢? 这里需要 掌握的原 则 是: 放大 后 的 ( n) 必 须 为一 无 穷小 量
N(
)=
3。 8
上述适当放大 的方法 较为 简捷的 找到 了 N ( )
还有一个常常让 自考学 员感 到困惑 的问 题, 是 如何将 x n- a 适当地 放大。应该 说这是 一个实 践 性很强的问题, 没有一 个统 一的模 式可 循。对用 有
的存在, 从而证明 了数列 极限的 存在。对 广大 自考 学员来说, 初学极限概念, 在运用上述放大法证明数 列极限存在时, 应当注意以下问题:
( 当 n 时) , 否则会导致错误。仍以例 2 来说明: 证: 对 > 0, 解不等 式
3n- 1 8n3+ 5
3n + 8n
1<
8n - 3n> 1
n>
1 8-3
可取 N( ) =
1 8-3
其有理化, 然后再放大。
例 3: 证明: lim n+ 1- n = 0 n
证: 对
> 0, 可取 N ( ) =
15 -
0
<
当
( n) =
1 n
时,
可取
N(
)=
1
显然, 采用例 1 的方法直接去解不等式 是困难 的。 我们采用如下适当放大办法:
由
3n 8n3 +
1 5
-
0
=
3n- 1 8n3+ 5
3n 8 n3wenku.baidu.com
=
3 8 n2
<
这里,
( n) =
3 8 n2
在
n
时为 一 无穷 小量, 不
由于在 n
时,
1 n2
及
直接解出来的, 常常是需要我们将| xn - a| 适当地放大
为| xn- a| ( n) , 其中 ( n) 在形式上较| xn - a| 为 简
单, 且不等式 ( n) < 亦较| xn- a| < 易解出。
即有3
n+ 8n
1
>
成立, 这 显然与极限 定义中 的要求 是
矛盾的。因而是错误的。造成这种错误结果的原 因
1 42
希望学员们通过 一定数 量的 例题或 习题, 慢 慢
积累经验, 逐步掌握用 定义法证 明数 列极限 存在 的
方法, 这 对学员们进一 步深化对 极限 概念的 理解 是 极有帮助的。
( 作者单位: 河北师范大学计算中心) ( 校对: 李全柱)
河北自学考试 13
为困难。本文以数 列极限 为例, 来 说明运 用定 义法 < 0 时, 对 任意的 自然数 n, 应 有 8n - 3n< 1 成立,
证明数列极限存在应该注意的问题。
大家都知道, 用定 义法证 明数 列极限 存在 的关 键是: 对 > 0, 都 能找 到 N ( ) 的 存在, 使 当 n> N
时, 有| x n- a| < 成立。
用定义法证明数列极限存在应注意的问题
董宇峰
极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法
上面的证明表面上我们也找 到了 N ( ) 的存在,
证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些 但这个结果却 是 错误 的。原 因 是我 们 在 解不 等 式
自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较 8n - 3n> 1, 时忽略了 8n - 3n 的符号。当 8n - 3n