覆盖粗糙集模型资料

X
)
(
X
)
.
（6）
Bn(
X
)
Bn(
X
)
C
(
X
).
（7） C ( X ) {K C; K C ( X )}.
（8） {X; X A} (A). （9） {C(X ); X A} C(A). （10） {C(X ); X A} C(A). （11） C({x}) 当且仅当 {x}C. （12）C({x}) md(x). （13）md(x) {K C; x K}. （14）若{x}C(X ) ，则{x}C(X ). （15）C(X ) Bn(X ) .
例 设U {a,b, c, d, e} ， K1 {a, b, c, d} ， K2 {a,b} ， K3 {e}， C {K1, K2 , K3}. 显然 C 构成U 的覆盖。令 X K2 ，则 C ( X ) {K2} ， X K2. 又 ~ X {c, d, e} ， C (~ X ) {K3} ， (~ X ) K3 {e}. md (c) md (d ) {K1}，故 C (~ X ) {K1, K3} ， (~ X ) K1 K3 U. 于是 X ~ (~ X ) 不成立，即上近似与下近似不是对偶的。
第八讲: 覆盖粗糙集模型
1基本定义
Z. Bonikowski, E. Bryniarski, U. Wybraniec, Extensions and intentions in the rough set theory, Information Sciences 107 (1998) 149-167.
X
C ( X ) 为
X
的上近似，其中 Bn( X )
{md (x);
x
X
}.
例 3.1.1 设U {a,b,c, d,e, f } ， K1 {b,c,e}， K2 {a,b,c, d,e} ， K3 {a,e, f }，C {K1, K2, K3}. 显然C 构成U 的覆盖。令 X {b,c,e, f } ，则
若 令 X {a} ， Y {c} ， 则 C( X ) ， md (a) {K1, K2} ， 故 Bn(X ) md(a) ， C ( X ) {K1, K2} ， 从 而 X K1 K2 {a,b, c}. 又 C (Y ) ， md (c) {K2 , K3} ， 故 Bn(Y ) md (c) ， C (Y ) {K2 , K3} ，从而 Y K2 K3 {a, c, d}. 于是， X Y U. 另一方面， X Y {a, c} K2 ， ( X Y ) K2 ， ( X Y ) ， Bn(X Y ) ， 故 ( X Y ) K2. 即 ( X Y ) X Y 不成立。此例中， X ( X Y ) ，即关于上近似的单调性一般不成立。
A P(U ) ， x U ，
（1） C () C () ， C (U ) C (U ) C.
（2） C ( X ) C ( X ). （3） C ( X ) C ( X ) C ( X ).
（4）若 X Y ，则 C ( X ) C (Y ) 且 X Y.
（5）
C (
定义 设U 是论域， C P(U )，如果 C 且 C U ，则称 C 是 U 的一个覆盖， (U,C) 是一个覆盖近似空间。 设 (U,C) 是一个覆盖近似空间， x U ， x 关于 (U,C) 的最小描述 md(x) 定义为：
md(x) {K C; x K S C(x S S K S K}. 由此定义， md(x) 是 cv(x) 中关于包含关系的极小元构成的集合，其中
定义 设 (U ,C) 是一个覆盖近似空间。
C(X ) {K1} ， X K1 {b,c,e}.
X
X
X
{
f
}，
Bn( X
)
{md ( x);
x
X }
md
(
f
)
ห้องสมุดไป่ตู้
{K3}.
C(X ) {K1, K3}， X K1 K3 {a,b,c,e, f }.
2 性质
定理 设 (U ,C) 是一个覆盖近似空间，则对于任意 X ,Y U ，
设 (U,C) 是一个覆盖近似空间， X U. 若 X 能表示成C 中 若干元素之并，即存在 C1 C 使得 X C1 ，则称 X 为 (U,C) 中可定义集。 定理 3.1.2 设 (U,C) 是一个覆盖近似空间， X U. X 为 (U,C) 中可定义集当且仅当 X X X .
定理 设 (U,C) 是一个覆盖近似空间，则对于任意 X U ， （1） ，U U U . （2） X X X . （3） ( X ) X ， ( X ) X . （4）若 X X ，则 X X ；若 X X ，则 X X.
cv(x) {K C; x K}.
定义 3.1.2 设 (U,C) 是一个覆盖近似空间， X U 。
（1）称 C (X ) {K C; K X} 为 X 的下近似集合；
X C ( X ) 称为 X 的下近似。
（2）称
X
X
X为
X
的边界。
（3）称 C ( X ) C ( X ) Bn( X ) 为 X 的上近似集合；
在覆盖近似空间中，下列性质一般不成立：
（1） ( X Y ) X Y ； （2） ( X Y ) X Y ; （3） X ~ (~ X ) ， X ~ (~ X ) ； （4） X Y X Y .
例 设U {a,b, c, d}， K1 {a, b}， K2 {a, c}， K3 {c, d} ，C {K1, K2 , K3}.显然 C 构成U 的 覆盖。令 X K1，Y K2 ，则 C ( X ) {K1} ， X K1. C (Y ) {K2} ，Y K2. 故 X Y {a}. 另 一方面 X Y {a}， C( X Y ) ， ( X Y ) . 故 ( X Y ) X Y 不成立。