光学系统的光学传递函数OTF测定方法理论(实验)研究 - 终稿

本科毕业设计（论文）
光学系统的光学传递函数OTF 测定方法理
论（实验）研究
学 院_ 物理与光电工程学院__
专 业_____ 光信息科学与技术_
（光电显示与识别技术方向）
年级班别________2010级(2)班__
学 号_________3110008945______
学生姓名___________林清贤___
指导教师___________雷 亮____
2014 年 4 月 28 日
摘要
光学传递函数是定量描述成像性能的完备函数。

但是对于实际的光电成像器件（如CCD器件），通过解析法建立这一函数的表达式又是非常困难的，因此光学传递函数的实测技术就显得尤为重要。

光学传递函数是一个客观的、准确的、定量的像质评价指标，并且其能够直接方便的测量，因此已经广泛应用于光学设计、加工、检测和信息处理中。

本文主要介绍了光学传递函数的性质及其测量原理分析，并对固有频率目标法和狭缝扫描法进行了实验研究。

我们采用光学显微镜作为待测量光学传递函数的光学系统，通过改变显微镜的放大倍数，比较分析放大倍数对调制传递函数（MTF）测量的影响，并比较两种测量方法的优劣。

实数傅立叶变换是整个实验中需要透彻理解和运用的数学概念，在此基础上理解离散傅立叶级数与MTF定义的理论依据，并由此建立数学模型。

由本文建立的理论模型出发，结合实验所测得的数据，最后得到了基本可靠的实验结果。

本文最终给出两种测量法对应的matlab程序、数值测量结果、实验测得的可靠的MTF实验结果撰写毕业论文主要内容。

关键字: 光学传递函数，傅立叶变换，固有频率目标法，狭缝扫描法
Abstract
The optical transfer function is quantitatively describe the imaging performance of the complete function.But for the actual photoelectric imaging devices (such as CCD device), through the analytic method to establish the function of expression is very difficult.Therefore the measurement technique of optical transfer function is particularly important.
Optical transfer function is an objective, accurate and quantitative image quality evaluation index, and it can directly and convenient measurement, therefore has been widely applied optics design, processing, testing and information processing.This paper mainly introduces the properties of the optical transfer function and its measuring principle, and the inherent frequency target and slit scan method has carried on the experimental study.We use optical microscope as for measuring optical transfer function of optical system, through changing the magnification of the microscope, comparative analysis of magnification of modulation transfer function (MTF) measurement, the influence of the merits of the two measuring methods are compared.Real Fourier transform is the need to thoroughly understand and apply in the experiment of mathematical concepts, on the basis of the understanding of discrete Fourier series and the theoretical basis of the definition of MTF, and thus to establish mathematical model.Set up by this article on the theory model, combined with the data measured in laboratory, the fundamental and reliable experiment results are obtained.Finally, the paper proposes two kinds of measurement method of the corresponding matlab program, the results of numerical measurement and reliable experimental measured MTF experimental results of writing graduation thesis main content.
Keywords: Optical transfer function, Fourier transform, Natural frequency method; Slit scan method
目录
第一章绪论 (1)
1.1 光学传递函数简介 (1)
1.2 光学传递函数的发展 (1)
1.2.1 光学传递函数的发展历史 (1)
1.2.2 光学传递函数的发展现状和趋势 (2)
1.3 光学传递函数的测量意义 (3)
1.4 本论文的主要内容 (4)
第二章光学传递函数的基本理论 (5)
2.1 光学成像系统的一般分析 (5)
2.1.1 透镜的成像性质 (5)
2.1.2 光学成像系统的普遍模型 (8)
2.1.3 两种类型的物体照明方式 (9)
2.1.4 阿贝成像理论 (9)
2.2 光学传递函数的概念 (10)
2.3 光学传递函数的计算 (12)
2.3.1 以物像频谱为基础的计算 (12)
2.3.2 以点扩散函数为基础的计算 (13)
2.3.3 线扩散函数与一维调制传递函数 (13)
2.4 离散傅里叶级数与MTF定义的理论依据 (14)
第三章光学传递函数的测量原理分析 (17)
3.1 光学传递函数的测量方法综述 (17)
3.2 实验中的两种测量方法原理分析 (18)
3.2.1 固有频率目标法 (18)
3.2.2 狭缝扫描法 (20)
3.3 光学传递函数测量系统软件 (21)
3.4 CCD对光学传递函数测量的影响分析 (22)
第四章光学传递函数测量实验及实验结果分析 (23)
4.1 实验平台的搭建 (23)
4.2 固有频率目标法实验 (23)
4.3 狭缝扫描法实验 (25)
4.4 两种测量实验结果分析 (31)
第五章总结与展望 (32)
参考文献 (33)
致谢 (34)
第一章绪论
1.1 光学传递函数简介
在应用光学领域中，有一个大家一直所瞩目的问题，那就是对光学系统成像质量的评价。

由衍射理论可知，即使一个没有象差的完善的透镜或光学系统，也得不到理想的几何象，而是一个由孔径决定的衍射光斑。

衍射斑的存在影响光学系统分辨物体细节的能力。

对于有象差存在的实际光学系统，还因为象差的存在而影响衍射斑中光能的分布，从而降低了光学系统的质量。

要全面评价一个光学系统的成象质量的优劣，必须要全面考察物面上的各种频率成分经过光学系统的传播情况，用来衡量这个传播状况的函数就是传递函数。

光学传递函数方法不单单是一种光学成像系统像质的评价方法，它已成为成像理论的重要基础，并对光学滤波或者光学信息处理的发展起了很大的推动作用。

1.2 光学传递函数的发展
1.2.1 光学传递函数的发展历史
早在1938年，佛里塞把傅立叶处理的方法用于照相底片的分辨率试验，提出了应该用亮度呈正弦分布的鉴别率板来检验光学系统[1]。

1946年杜弗运用傅立叶变换的处理方法来分析光学系统，为光学传递函数奠定了理论基础，从此开拓了像质评价的新领域。

1948年电气工程师赛德第一次利用通信理论方法分析并改进了电视摄像机透镜组。

这是光学传递函数的萌芽时期。

20世纪50年代，霍普金斯发展了杜弗的理论，完整地提出了光学传递函数的概念和处理方法。

1954年林特贝格提出用扫描方法测量光学传递函数的几中可能性，为光学传递函数的测量打下基础，光学传递函数的概念从此得到普通的重视，进入了迅速发展的时期。

从60年代初开始，国外一些先进的国家就开始运用一种较新的、全面而客观的像质评价方法，即现为我们所知的光学传递函数。

经过多年来的实践，用光学传递函数来评价光学系统的像质已经逐步得到了认可，并在较广泛的光学领域中获得了应用。

如各
国已制订了相应的光学传递函数的基础标准以及系列应用标准，在透镜自动设计中采用光学传递函数作为控制成像质量的价值函数。

此外，在光学信息处理的图像复元和增强中也运用到了光学传递函数，而且光学传递函数在对于成像理论的研究和光学像的改善等方面也有很大的推动作用。

1962年8月在慕尼黑举行的第六届国际光学会议上，光学传递函数(OTF，Optial TransferFuntion)第一次统一提出，简称OTF[2]。

进入20世纪70年代以后，由于大容量高速度数字计算机一级高精度光电测试技术的发展，使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并逐渐向实际应用推广。

1.2.2 光学传递函数的发展现状和趋势
目前研制OTF/ MTF 仪器的理论基础已经相当成熟了。

主要的设计重点都放在了如何更好的与日益发展的计算机技术的结合，并结合不断发展的光电转换传感器件和图像采集器件，以及相应的图像处理技术，使得测量的图像数据更完整地被处理分析，更准确迅速地显示出来，以及如何使装置更加精巧，测量范围更加广泛，达到更高的精度[3]。

随着集成电路技术的飞速发展，出现了集成度高、几何尺寸精确、光敏元小、灵敏度高的CCD 和CMOS 成像器件来代替传统的光电装置( 如光电倍增管) 。

再加上计算机技术的不断发展，目前OT F测试仪中基本上都使用数字傅里叶分析法，且光电转换器件大多是CCD( 电荷耦合器件) 。

这是因为CCD既有光电转换功能，又具有信号电荷的存储、转移和读出功能。

它能把一幅空间域分布的图像，变换为一列按时间域离散分布的电信号。

并且有灵敏度高、光谱响应宽、动态范围大、像元尺寸小、几何精度高、抗振动和潮湿及成本低的特点。

由于CCD 图像传感器是以时间积分方式工作的，光积分时间可以在很宽的范围内调节，所以输出信号易于与计算机连接，进行数字化处理。

由于先进光电器件性能改进和数据处理算法速度的提高，基于信号傅立叶分析法是目前光学传递函数测试技术的发展趋势。

现在，光学传递函数的概念和理论已经较普遍地应用于光学设计结果的评价、控制光学元件的自动设计过程、光学镜头质量检验、光学系统总体设计的考虑及光学信息处理等方面。

特别是光学传递函数为光学仪器的设计、制造和使用提供了统一的评价标准，成为一个更全面更客观的质量评价方法。

1.3 光学传递函数的测量意义
目前像质评价的指标很多，主要有鉴别率、星点检验，调制传递函数等等[4]。

星点法指检验点光源经过的光学系统所产生的像斑，由于像差、玻璃材料不均匀和内应力以及加工、装配的工艺缺陷会使像斑不规则。

很难对它作定量计算和测量，不同的检验者对同一个星点可能有不同的看法，受主观影响。

鉴别率法虽能定量评价系统分辨景物细节的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好坏给予全面评价。

光学成像系统是信息传递的系统。

光波携带输入图像信息（图像的细节、对比、色彩等）从物面传播到像平面，输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性。

在一定条件下，成像系统可以看作空间不变的线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能。

对于相干与非相干照明的成像系统可分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率在系统传递过程中丢失、衰减、相移等变化，即研究系统的空间频率特性或传递函数。

显然，这是一种全面评价光学系统成像质量的科学方法。

近代光学的发展，将空间滤波的概念引入到光学系统的成像理论中，实现了采用光学传递函数在“频率域”中对光学系统的成像品质进行评价。

它不仅具有与星点检验相同的灵敏度，而且容易作到数字化、快速测量，是一种定量、准确、客观的像质评价方法。

光学传递函数作为像质评价指标，不仅应用在科研和新产品试制中，而且应用在日常生产和检验中，甚至应用在工序检校中。

虽然光学传递函数还不能代替其它像质指标，但是它是目前能够评价像质比较完善的指标。

光学传递函数OTF的重要性和优点可以归纳为[5]：
1、OTF定量的反映光学系统孔径、光谱成分以及像差大小所引起的综合效果；
2、OTF可以根据设计结果直接计算。

其实际数值直接与最终的使用效果相关，因此被设计者和使用者广泛接受；
3、光学传递函数OTF可以进行精确、客观的直接测量；
4、OTF是光学图像复原和增强一个重要参数，在对成像理论的研究和像质的改善方面起到了很大的推动作用。

1.4 本论文的主要内容
本文研究光学传递函数及其测量方法，主要内容如下：
第一章介绍了光学传递函数的发展状况，阐明研究光学传递函数测量方法的意义和目的。

第二章介绍光学传递函数的基本理论，对光学系统进行了分析，阐明了光学传递函数的概念及其计算，说明了离散傅里叶级数与MTF定义的理论依据
第三章概述光学传递函数的测量方法，分析了传统测量方法的测量原理，重点研究狭缝法的测量原理及其算法和软件，软件采用VC++编写，该软件能够完成图像采集和图像数据记录功能，整个软件，界面良好，方便使用。

第四章阐述了两种光学传递函数测量方法的实验，对实验平台的搭建，实验数据的处理及分析，得出实验结论。

第五章总结论文内容，指出有待进一步研究和解决的问题。

第二章 光学传递函数的基本理论
2.1 光学成像系统的一般分析
2.1.1 透镜的成像性质
单一透镜是最简单的光学成像系统，所以我们着手从透镜的成像性质进行分析。

先讨论单色光照明下，一个薄的无像差的正透镜对透射物成实像的简单情况。

如图
2.1所示，在透镜前距离为d 0的输入平面x 0y 0上放置物，在透镜距离为d i 的输出平面x i y i 上观察成像。

假定紧靠物体后的复振幅U 0（x 0 ，y 0），沿着光波的传播方向，逐面计算三个特定平面上的场分布：紧靠透镜前后的两个平面上复振幅分布U l （ξ ，η）和U l ‘（ξ ，η），观察平面场分布U i （x i ，y i ）。

这样就最终导出系统的输入—输出关系。

图2.1 推导透镜成像性质简图
最终导出系统的输入-- 输出关系为：
()()()()0000000200020001
2,(,)exp[()]2(,)exp 12,,exp i i i i i i i i i i i U x y U x y j x y dx dy d d d P j x y d d d G P j x y d d d d d d d πξηλλπξηξηξηλξηπξηξηξηλλλλ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭
⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦
⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2-1）
式中G 0是U 0的傅里叶变换。

上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，物的频率成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。

由于
()02000012,exp 1,i i i
i i i G j x y d d d d d d d x y U M M M ξηπξηξηλλλλ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ （2-2） 令h 为光瞳函数的傅里叶变换，即
()02,(,)exp ()i i i i h x y P j x y d d d πξηξηξηλ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ （2-3）
对式（2-1）运用卷积定理得到
()()()000000001,,*,1,,i i i i i i i i i x y U x y U h x y M M M x y U h x x y y dx dy M M M ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
⎛⎫=---- ⎪⎝⎭⎰⎰ （2-4）
获得这一结果并不是偶然的，因为光波传播的线性性质，U i 本来就可以用下面的式子表示
()()0000000,,(,;,)i i i i i U x y U x y h x y x y dx dy =⎰⎰ （2-5） 比较式（2-4）和（2-5）可知，h 可看作是系统的脉冲响应，且 1h h M = （2-6） ()00,x y 正是几何光学理想像点的坐标，且
0000,x Mx y My =-=- （2-7） 可以定义一个新函数U g 表示几何光学的理想像，即
()g 01,,i i i i x y U x y U M M M ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （2-8） 如果我们不考虑衍射效应，即当作透镜的孔径是无穷大的，则恒有(,)P ξη=1，有式子（2-1）可得
()()0g 1,,,i i i i i i i x y U x y U U x y M M M ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭ （2-9）
此时，几何光学的理想像是物体的准确复现，它在像平面是倒立的，而且尺寸经过缩放。

事实上必须考虑透镜的有限孔径产生的衍射效应，则h 应是一个衍射斑
()[]00002,(,)exp ()()i i i i i h x x y y P j x x y y d d d πξηξηξηλ⎧⎫--=--+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰ （2-10）
很明显，脉冲响应就与透镜孔径的夫琅禾费衍射图样相等，其中心位于理想像点()00,x y 。

把公式（2-4）改写为：
()()g ,,*(,)i i i i i i i U x y U x y h x y = （2-11） 即几何光学理想像和系统脉冲响应的卷积等于像的光场分布。

从上述的结论表明，由透镜构成的成像系统可以被看作是线性的空间不变系统。

其输入物和输出像之间的关系由式（2-11）确定。

可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理含义。

把输入物体看作点源的集合，它们在像平面上以几何光学的理想像点为中心产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函数形式相同，都是透镜孔径的夫琅禾费衍射图样，但受到对应物点光场的适当加权。

这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。

系统的作用正是把物点的集合变换为像面上重叠的衍射斑的集合。

因而像不再是物体的准确复现，而是物体的平滑变形，孔径愈小，脉冲响应俞宽，变形俞严重。

这种平滑化使像中失去物体的精细结构，尤其是当这种变化的周期小于脉冲响应的宽度时。

可以用图2.2框图描述透镜成像过程
图2.2
输入物场U 0首先通过几何定标器产生一个放大或缩小的几何像U g ，这一过程并不丢失信息。

然后这个几何像再通过线性不变系统，由于衍射效应几何像变为衍射斑的叠加，实际上得到的经平滑变形的像U i ，在后一过程中丢失额信息，我们把注意力放在这里，且直接称U g 为输入。

2.1.2 光学成像系统的普遍模型
我们考虑一个一般的光学成像系统，它可能有几个透镜组成，透镜可以是正透镜或者负透镜，也不要求透镜的厚薄，这样系统最终给出一个实像。

我们将为这样的系统建立一个普遍的适用模型。

图2.3 成像系统的普遍模型
如图 2.3，任意的成像系统都可以分为三个部分：第一部分为物平面到入瞳，第二部分为入瞳到出瞳，第三部分为出瞳到像平面。

这里说的入瞳和出瞳是指限制系统光束的孔径光阑在物像空间的几何像。

光波在第一和第三部分内的传播可以按照菲涅尔衍射处理。

而对于第二部分即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作“黑箱”。

我们只要能确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必去考虑其内部结构。

这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。

边端性质是指成像光波在入瞳和出瞳平面的物理性质。

要确定系统的脉冲响应，就需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的变换作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。

对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总的可以分为两类：衍射受限系统和有像差系统。

衍射受限系统是指系统可以不考虑像差影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。

它的边端性质是：物面上任意一个点光源发出的发散球面波透射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波。

有像差系统的边端性质则是：点光源发出的发散球面波透射到入瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。

偏离的程度由波像差描述，它取决于透镜组本身的物理结构。

2.1.3两种类型的物体照明方式
前面我们讨论了光学成像系统的模型，现在我们还要考虑物体的照明方式。

这里我们讨论两种照明方式：空间相干照明和非相干照明。

空间相干照明：物面上每一点光的振幅和相位尽管都随时间作无规则变化，但所有点随时间变化的方式都是相同的，各点之间的相对像差并不随时间变化。

因而，各物点在像平面上的脉冲响应也以同一方式随时间作无规则变化，相对的位相关系恒定。

总的光场应按复振幅叠加。

所以相干成像系统对复振幅是线性的，可直接利用单色光照明的分析结果。

按照相干理论，单一点光源发出的光是空间想干的。

通常采用激光器或普通光源配上针孔来得到相干照明。

非相干照明：物面上所有点的振幅和相位随时间变化的方式是无关联的。

因此像平面上各个脉冲响应的变化也是无关联的。

它们必须按强度叠加。

这就是说，非相干成像系统对强度这一物理量是线性的。

而且强度变换的脉冲响应正比于点源在像平面产生的光强分布，即正比于相干系统脉冲响应的模的平方。

从扩展光源发出的光束可看做是空间非相干的。

2.1.4阿贝成像理论
图2.4阿贝成像原理
如图2.4所示，它表示显微镜的成像系统。

采用相干光波垂直照明物体，可以把物
体看作一个复杂的衍射光栅，衍射光波在透镜后焦面形成物体的夫琅禾费衍射图样。

事实上，光波在传播中，还要受到物镜孔径的限制，经过第二次衍射才能传播到像面。

把后焦面上的点看作相等的次级波源，发出惠更斯子波，在像面上相干叠加产生物体的像。

当不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，所得的像应逼真与物。

但实际上，由于高频成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨率。

若高频分量具有的能量很弱，或者物镜光瞳足够大，丢失的高频分量的影响就较小，像也就更近似于物。

因此，光学系统的作用类似于一个低通滤波器，它滤掉了物体的高频成分，而只允许一定范围内的低频成分通过系统，这正是任何光学系统不能传递物面全部细节的根本原因。

2.2 光学传递函数的概念
对于非相干光照明下的衍射受限系统，表征系统的成像质量的指标就是光学传递函数。

光学传递函数（OTF ）是评价光学成像系统成像质量的客观标准。

它把光学系统看作空间频率域的线性滤波器，从频域滤波的观点来研究光学系统的成像质量。

光学传递函数可以用光学系统所成像和已知物的频谱之比来表示[6]，它是一种定量评价方法，既准确客观，容易做到数字化和快速测定。

OTF 是空间频率的复函数，其模称为调制传递函数（MTF ），描述系统对各频率分量的对比度传递性。

其幅角称为位相传递函数（PTF ），描述系统对各频率分量施加的相移。

即：
（2-12） 衍射受限系统的OTF 为一非负实函数[7]。

因此，衍射受限的非相干成像系统只要考虑余弦光强分量的对比，而不改变他们的位相。

即只需要考虑MTF ，不必考虑PTF 。

在光学系统调制传递函数的讨论中，常引入正弦光栅作为物体，如图2-1所示，幅值为Ia 的正弦光栅亮度分布为：
00(x)cos (2fx)I [1cos (2fx)]a I I I M ππ=+=+ （2-13）
其中 0min max min max -I I I I I I M a =+=
（2-14） 称为正弦光栅的调制度，f 为正弦光栅的空间频率。

v)iPTF(u,)e ,(),(v u MTF v u OTF =
图2.5正弦光栅周期示意图
某一空间频率的正弦光栅经过光学系统后仍为一正弦分布，但是像的调制度将低于物的调制度，还可能产生相位的移动。

如图2.5所示，实现表示正弦光栅透过光强分布，虚线表示像面光强度分布。

由图2.5可见，成像后的波形幅度减小，即原来亮线条的亮度降低，而暗线条的亮度增强。

这就造成了成像后对比度降低，边缘变得模糊，因此，像没有物清晰。

图2.6光学系统对正弦目标的传递
此时，调试传递函数定义为光学系统输出和输入的调制度之比：
）（）
（）（物像f f M f M MTF （2-15）
MTF 是关于空间频率的函数，它的值介于0到1之间。

随着空间频率的升高，光学系统的MTF 值会下降，当空间频率为光学系统的截止频率，MTF 值下降到零。

2.3 光学传递函数的计算
2.3.1 以物像频谱为基础的计算
由线性理论知道，对于一个线性系统，其输出函数与输入函数之间存在着确定的关系，这种关系就是系统的传递函数。

传递函数定义为输出函数的傅立叶变换与输入函数的傅立叶变换之比，即：
()()()out in F t T f F t ϕϕ⎡⎤⎣⎦
=⎡⎤⎣⎦ （2-16）
式中，in ϕ为输入函数；out ϕ为输出函数。

这一概念同样可用于线性光学系统，对于特定的光学系统，只要知道物函数及像函数，对他们作傅立叶变换，即可得到传递函数。

对于空间线性不变的非相干光学系统，式(2-1)中的G2是输出光强g2(x2,y2)的傅里叶频谱，G1是输入光强g1(x1,y1)的傅里叶频谱。

而(2-2)式中的h(x,y)为系统的点扩散函数，对其做傅里叶变换即为系统的频谱响应函数H(fx,fy)。

（2-17）
（2-18）
因从图像的视觉效果考虑，应更关心各频率余弦分量的对比度，为此可用零频分量的频谱值对光强频谱作归一化。

即可得非相干成像系统的光学传函数：
（2-19）
这表明成像系统的光学传递函数是像光强归一化频谱和物光强归一化频谱之比。

且根据式2.1对于OTF 的表达形式，其模MTF(f)称为调制传递函数（MTF ），其幅角PTF(f)称为相位传递函数（PTF ）。

于是用物像频谱表示调制传递函数（MTF ）：
）（）
，（），（0,0f f f f y x y x H H MTF = （2-20）
2()2222h(x,y)(,)(,)(0,0)(,)x y i f x f y x y x y e dxdy H f f OTF f f H h x y dx dy π-+==⎰⎰⎰⎰2()(,)=h(x,y)x y i f x f y x y H f f e dxdy π-+⎰⎰21(,)(,)(,)x y x y x y G f f H f f G f f =
2.3.2 以点扩散函数为基础的计算
我们常遇到的光学系统的目标是非相干照明或是自已发光的。

此时, 光学系统对于光强具有线性迭加性质。

对于无限小单位强度的亮点，即物体是光强度单位脉冲函数时，经光学系统的衍射效果及像质的影响,在像面上形成的光强度分布便是非相干成像系统的脉冲响应函数，常称为点扩散函数（PSF ）。

对于空间扩展物，像面光强度分布是物面光强度分布和点扩散函数的卷积[8]。

⎰⎰∞∞∞
∞=
--y'-y)dxdy ,y)PSF(x'-x (x,)y',(x'o i （2-21）
式中i(x ’,y ’)和o(x,y)分别表示物和像的光强分布，(x ’,y ’)和(x,y)分别是像面和物面坐标。

对上式作傅里叶变换，并根据卷积定理，可得：
）（）（）（v u v u O v u I ,OTF ,,= （2-22） 式中I （u,v ）和O （u,v ）分别是i （x ’,y ’）和o （x,y ）的傅里叶变换，OTF （u ，v ）是PSF （x ，y ）的傅里叶变换，u ，v 是频域中沿两个坐标轴方向的空间频率，该式表示像的强度谱等于物的强度谱乘以光学传递函数OTF （u ，v ），它定义为点扩散函数的傅里叶变换。

⎰⎰∞∞∞
∞+=
--)](2[-exp ),(),(dxdy
yv xu i y x PSF v u OTF π （2-23） 又已知调制传递函数是光学传递函数的模，即点扩散函数的模：
⎰⎰∞∞∞∞+=
=--)](2[-i exp ),(),(),(dxdy yv xu y x PSF v u OTF v u MTF π （2-24）
2.3.3 线扩散函数与一维调制传递函数
二维OTF 的计算都比较困难，而且获得无限小的亮点作为物也不实际。

因此通常获得物是一条亮线，则得到的像分布函数变为LSF(x),称为线扩散函数，与点扩散函数的关系如下：
⎰∞
∞=-),()(dy
y x PSF x LSF （2-25）。