7大学物理讲稿第7章稳恒磁场

第7章稳恒磁场

我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用.

§7.1 磁场磁感应强度

一、磁场

人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.

早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到1819—1820年奥斯特(,1777—1851)发现电流的磁效应后,人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的.1820年安培(,1775—1836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.

与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电荷(电流)产生磁力作用,其关系可表示为

磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.

二、磁感应强度

1 磁感应强度

为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论. 实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：

(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指向一致.我们将这一方向规定为磁感应强度的方向.

(2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所

q、经该点时的速率υ确定的平面,如图7.1所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量

以及该点磁场的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强

度垂直的方向运动时,其受力最大,用max F 表示.

(3) 不管0q 、υ和电荷运动方向与磁场方向的

夹角θ如何不同,对于给定的点,比值υq F max 不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以B 表示,即 υ

=q F B max (7.1) 在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T ）.有时也采用高斯单位制的单位——高斯（G ）

1G =1.0×10 -4 T

2 磁感应线

为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁感应线(或叫B 线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点B 的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.

磁感应线具有如下性质：

(1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线；

(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.

§7.2 毕奥—萨伐尔定律及其应用

一、 毕奥—萨伐尔定律

在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥—萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在19世纪20年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律,简称毕奥—萨伐尔定律,其内容如下：

电流元Idl 在真空中某一点P 处产生

的磁感应强度dB 的大小与电流元的大

小及电流元与它到P 点的位矢 r 之间的

夹角θ的正弦乘积成正比,与位矢大小的

平方成反比；方向与Id l ×r 的方向相同.

（这里用到矢量Id l 与矢量r 的叉乘.叉

乘Id l ×r 的大小为Idlr sin θ；其方向满足

右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从Id l 转向r 的方向,那么拇指所指的方向即为Id l ×r 的方向,如图7.2所示）其数学表达式为 2r Idl k dB θ=sin (7.2) 式中k 为比例系数,在国际单位制中取为

)(在真空中270104--⋅=π

μ=A N k (7.3) 0μ为真空的磁导率,其值为270104--⋅⨯π=μA N ,所以毕奥—萨伐尔定律在真空中可表示为

2

04r Idl dB θπμ=

sin (7.4) 其矢量形式为

304r r l Id B d ⨯πμ= (7.5) 利用叠加原理,则整个载流导线在P 点产生的磁感应强度B 是(7.5)式沿载流导线的积分,即

⎰⎰⨯πμ==L L r r l Id B d B 3

04 (7.6) 毕奥—萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.

二、 毕奥—萨伐尔定律应用举例

1 直线电流的磁场

设在真空中有一长为 L 的载流导线MN ,导线中的电流强度为I ,现计算该直电流附近一点P 处的磁感应强度B .如图7.3 所示,设a

为场点P 到导线的距离,θ为电流元Id l 与其到

场点P 的矢径的夹角,θ1、θ2分别为M 、N 处

的电流元与M 、N 到场点P 的矢径的夹角.按毕

奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在场点P 产生的磁

感应强度d B 的大小为

d B 的方向垂直纸面向里（即Z 轴负向）.导线

MN 上的所有电流元在点P 所产生的磁感应强

度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小

应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即

则上积分为

)cos (cos sin 21004421θ-θπμ=θθπμ=⎰θθa

I d a I B (7.7) B 的方向垂直于纸面向里.

对于无限长载流直导线(π=θ=θ210, ),距离导线为a 处的磁感应强度大小为

a

I B πμ=20 (7.8) 2 圆电流轴线上的磁场

在半径为R 的圆形载流线圈中通过的电流为I ,现确定其轴线上任一点P 的磁场. 在圆形载流导线上任取一电流元Id l ,点P 相

对于电流元Id l 的位置矢量为r ,点P 到圆心

O 的距离OP =x ,如图7.4所示.由此可见,对

于圆形导线上任一电流元,总有Id l ⊥r ,所以

Id l 在点P 产生的磁感应强度的大小为

d B 的方向垂直于Id l 和r 所决定的平面.显然