高中数学必修五数列求和方法归纳总结

数列求和方法归纳总结
数列前n 项和求解的基本方法主要有：公式法，倒序相加法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法。

1.公式法：即利用等差数列前n 项和公式或等比数列前n 项和公式求解。

例1、已知点(,)n n a 在函数()21f x x =-图像上，数列{}n a 的前n 项和为n S .求n S .
2.倒序相加法：如果一个数列{}n a 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

（等差数列的前n 项和即用此法推导的）
例2、设4()42x x f x =+，求和：122001...200220022002S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.分组求和法：把数列的项重新组合后，可构成等差或等比数列，则利用此法求解。

例3、（1）求数列11111,3,5...,[(21)]2482n n -+
的前n 项和； （2）求数列{(1)(21)}n n --的前2013项和2013S .
4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，则用此法求解（等比数列的前n 项和即用此法推导的）。

求解时，把数列的各项均乘以等比数列的公比，并错后一项与原数列各项对应相减，即可转化为特殊数列的求和问题。

例4、已知数列{}n a 是首项11a =的等比数列，且0n a >，数列{}n b 是首项1b =的等差数列，又5321a b +=，3513a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{
}2n n
b a 的前n 项和为n S .
5. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

注意：（1）在利用裂项相消法时要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩前面两项和后面两项；（2）将通项公式裂项后，注意调整前面的系数，使之相等。

（3）常见的拆项公式：
1111()()n n k k n n k =-++；1111()(21)(21)22121
n n n n =--+-+.
例5、已知等比数列{}n a 的首项为113
a =，公比q 满足0q >且1q ≠，又已知135,5,9a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令3
1log n n b a =，求12231111...n n b b b b b b ++++的值.
例6、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）求n a 和n S ； （2）令211
n n b a =
-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
同步练习
1.已知数列满足，，数列的前项和为，且数列, , , ……. ……是首项和公比都为的等比数列。

（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求的值。

2.已知正项等比数列（），首项，前项和为，且、、成等差数列．⑴ 求数列的通项公式；⑵ 求数列的前项和．
{}n a 10a =11()n n a a n N *+=+∈{}n b n n S 14
31+S 1432+S 1433+S 14
3+n S 4{}n a {}n b {}n a n n T 2341111n
T T T T +++⋅⋅⋅+{}n a *∈N n 31=a n n S 33a S +55a S +4
4a S +{}n a {}n nS n n T。