马尔可夫链经济应用举例论文

马尔可夫链的经济应用举例

中图分类号：f724 文献标识：a 文章编号：1009-4202（2011）10-000-01

摘要马尔可夫链模型是一个应用十分广泛的数学模型，该文就经济方面给出几个应用例子，应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫链分析，主要目的是根据某些变量现在的情况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。

关键词马尔可夫链极限概率分布服务网点

一、预测产品在未来期间的市场占有率可能发生的变化问题

若顾客的购买是无记忆的，即已知现在顾客购买情况，未来顾客的购买情况不受过去购买历史的影响，而只与现在购买情况有关。现在市场上供应a、b、c三个不同厂家生产的50克袋装味精，用“”、“”、“”分别表示“顾客第次购买a、b、c厂的味精”。显然，是一个马氏链。若已知第一次顾客购买三个厂味精的概率依次为0.2，0.4，0.4。有知道一般顾客购买的倾向由表1给出。求顾客第二次购买各厂味精的概率。

表1

下次购买

a b c

上次购买 a 0.8 0.1 0.1

b 0.5 0.1 0.4

c 0.5 0.3 0.2

解：这是要由的分布及转移概率计算的分布问题。利用全概公式，有：

令分别计算其概率，得到的分布，因此，顾客第二次购买各厂味精的概率依次为0.56，0.18，0.26。

二、服务网点的设置问题

为适应日益扩大的旅游事业的需要，某城市的甲、乙、丙三个照相馆组成一个联营部，联合经营出租相机的业务。游客可由甲、乙、丙三处任何一处租出相机，用完后，还到三处中任意一处即可。估计其转移概率如表2所示，今欲选择其中之一附设相机维修点，问该点设在哪一个照相馆为最好？

表2

还相机处

甲乙丙

租相机处甲 0.2 0.8 0

乙 0.8 0 0.2

丙 0.1 0.3 0.6

解：由于旅客还相机（即下次相机所在店址）的情况只与该次租机地点（这次相机所在店址）有关，而与相机以前所处的店址无关，所以可用表示相机第n次被租时所在的店址；“ =2”、“ =3”分别表示相机第n次被租用时在甲、乙、丙馆。则是一个马尔可夫链。考虑维修点的设置地点问题，实际要计算这一马尔可夫链的

极限概率分布。

对于所有的，满足定理6.2的条件，极限概率存在，并可以从下列方程组解出：

解方程组可得：。

由计算看出，经过长期经营后，该联营部的每架照相机还到甲、乙、丙照相馆的概率分别为。由于还到甲馆的照相机较多，因此维修点设在甲馆较好。但由于还到乙馆的相机与还到甲馆的相差不多，若是乙的其它因素更为有利的话（比如，交通较甲方便，便于零件的运输，电力供应稳定等等），亦可考虑设在乙馆。

三、存货模型

以每个星期为计算单位，考虑某一种货品在一个商店的库存量（假定货品以件为计量单位，即只能取0及正整数值），令：表示货品在第个星期末的库存量；表示货品在第个星期内的需要量。进货原则决定于两个数，当库存不超过个单位时，进货到个单位，库存高于个单位时，则不进货。即：

容易看出只与及有关。如果已知，而与相互独立，则是一个马尔可夫链。状态空间。若已知

，与无关，令，则转移概率可如下计算：进货时，即或1，有

不进货时，即，有

四、广告决策模型

《是否要进行咖啡推销广告》的决策为增加咖啡的推销，打算

进行一次广告宣传，需要支付全部广告费用600万元，假设国内喝咖啡总人数为5000万，增加一个饮用本公司的咖啡的顾客，本公司可获利2元，通过广泛的社会调查（调查费用包括在广告费用中），知登广告之前顾客改变牌子概率为：从我厂牌子到我厂牌子概率为0.8，从我厂牌子到别厂牌子概率为0.2，从别厂牌子到我厂牌子概率为0.2，从别厂牌子到别厂牌子概率为0.8。在登了广告之后顾客改变牌子的概率为：从我厂牌子到我厂牌子概率为0.8，从我厂牌子到别厂牌子概率为0.2，从别厂牌子到我厂牌子概率为0.3，从别厂牌子到别厂牌子概率为0.7。

问：从经济效益的角度决定要否做这个广告?

解：易知上述系统可以看成随机游动，且是遍历的，因而是平稳马氏链，存在着利用

，即较长时间以后采用我公司牌子概率为0.5。

同法可得：

，做了广告以后采用我厂的牌子的概率为0.6，n=5000万n0.6－n0.5=500万×0.1=500万

答：在做了广告以后，平均可增加顾告500万，获利500万×2元=1000万元，广告费600万元，纯利润1000万-600万=400万。决策：可以进行该项广告。