数学分析微分中值定理及其应用

3 推论 设函数f在I内可导,
则f在 I 上严格递增 (严格递减)
注:1)若f在(a,b)上(严格)递增(减) ,且在a右连续, 则f在[a,b)上(严格)递增(减) ,
2)若f在(a,b)上(严格)递增(减) ,且在b左连续, 则f在(a,b]上(严格)递增(减).
例9. 证明 证: 令
时, 成立不等式
第六章 微分中值定理 及其应用
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第一节
第六章
拉格朗日中值定理和函数的单调性
一、罗尔( Rolle )定理拉格朗日中值定理 二、单调函数
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一、罗尔( Rolle )定理与拉格朗日中值定理
例6. 求分段函数 解:
的导数.
二、单调函数
1 定理 6.3 设函数 在区间 I 内可导,则 在 I 内单调递增 (递减) 的充要. 条件是:
证: “充分性” 任若取
由拉格朗日中值定理得
故
这说明
在 I 内单调递减. 证毕
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“必要性”若f为减函 则对每一 数,
注:即使是严格单调的,必要性的结论也不能加强为
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使则由费马引理得源自注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
费马(fermat)引理
且
存在
费马 目录 上页 下页 返回 结束
1 罗尔（ Rolle ）定理
定理6.1
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使
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至少存在一点
使
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
证: 问题转化为证 作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 .
证毕
拉格朗日中值定理是微分学重要定理之一:公式
例5. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
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3推论1: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论2: 若函数
在区间 I 上满足
则在区间 I 上f(x)与g(x)只相差一个常数.
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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例1. 设f为R上可导函数,证明:若方程
则
至多有一个实根 .
没有实根,
证: (反证)
若
有两个实根
,则函数f在
上满足Rolle定理三个条件,从而存在
使
这与
假设相矛盾.
即为函数值之差与导数关系式,今后凡遇到函数 值之差与导数值关系的问题,想法用中值定理
例3. 设f在区间I上可导,且
在I上有界,
证明f在I上满足Lipschitz条件.
证:因为
故对 由Lagrange中值定理,
例4. 设h>0,函数f在[a-h,a+h]上可导,证明存在
证: 令 则F(x)在[0,h]上 于是存在
例2. 设
. 证明方程
在区间(0,1)中至少有一个根 .
证: 构造辅助函数
则F(x)在[0,1]上连续, (0,1)上可导. 且 从而存在一点 而 故p(x)在(0,1)中至少有一个根.
2 拉格朗日中值定理
定理6.2
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
且
证
从而
因此
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* 证明 令
即
则 从而
作业
P124 2(1),4(2),5(2), 8,9; 6(1)(4),7(1)(3), 15
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 填空题 1) 函数
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值
2) 设 有 个根 , 它们分别在区间
例8. 确定函数
解:
令
得
的单调区间.
故 的单调增区间为 的单调减区间为
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2 定理 6.4 若函数f在(a,b)内可导, 则f在(a,b)内严格 递增 (递减) 的充要条件是:
证: “必要性” f在(a,b)内严格递减 若 则由定理6.3,
“充分性”由1) f在(a,b)内递减, 矛盾
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例6. 证明对任x恒有 证: 设
由推论可知 令x=0,得
经验: 欲证 时
(常数) 只需证在 I 上
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4 导数极限定理
推论3 设函数
在点
内可导,且
可导,且
的某邻域
内连续,在
存在,则f在点
证: 由Lagrange 中值定理 故f在 可导.
上满足
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4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
即
当
时
因此由上式得
问是否可由此得出
不能 ! 因为
是依赖于 x 的一个特殊的函数.
表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
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柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
方程 上.
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2. 设 在一点
且在 使
提示: 由结论可知, 只需证
内可导, 证明至少存
即 设 验证 在
上满足罗尔定理条件.
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3. 若 可导, 试证在其两个零点间一定有
的零点.
提示: 设
欲证:
使
只要证
亦即
作辅助函数 罗尔定理条件.
验证 在