基础拓扑学第1章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答一

ex.10（P.20） 设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1n

i i X A ==∪。

证明B X ⊂是X 的闭集⇔i B A ∩是(1,2,,)i A i n = 的闭集。

证 ""⇒{1,2,,}i n ∀∈ ，因C i i i A B A B A −=∩∩，而B 是

X 的闭集，故C B 是X 的开集，从而C i B A ∩是i A 的开集。

所以i B A ∩是i A 的闭集。

""⇐因i B A ∩是(1,2,,)i A i n = 的闭集，故{1,2,,}i n ∀∈ ，

存在X 的闭集i B 使得i i i B A B A =∩∩。而

1

1

1

1

1

1

()()()()()n

n

n

n

n

n

i i i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ===========∩∩∩∩∪∪∪∪∪∪

因此B 是X 的闭集。

ex.13 （P.20）设{}n x 是(,)C τ 中的一个序列。证明

n x x →⇔存在正整数N ，使得当n N >时，n x x =。

证""⇐显然

""⇒作集合{|}n n A x x x =≠，则A 是有限集或可数集，而C x A ∈，

从而C A 是X 的邻域。因n x x →，故存在正整数N ，使得当n N >时，C n x A ∈，即当n N >时，n x x =。

ex.14（P.20） 设τ是第3题中的拓扑，证明(,)τ 是可分的。

证 取A = ，则A 是(,)τ 的一个可数稠密子集，故

(,)τ 是可分的。

注1 (,)C τ 不是可分的，因(,)C τ 的任何一个可数集A 都是闭集，故A 不可能在(,)C τ 中稠密。

注2 (,)f τ 是可分的。事实上 就是(,)f τ 的一个可数稠密子集。