近独立粒子的最概然分布

所有能级等间距，均为 。能级为非简并。
27
三、转子 转子的能量
M2 2I 2I
2 p
M 2 可以取任何正值 经典理论中，
量子理论要求
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
角动量在 z 轴的投影 M Z m, m l,l 1,, l
* 在量子理论中，自由度为2的转子用 l ， m 两个量子数表征。
考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运 动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状 态，其德布罗意波长 满足
波动性
L nx , 又：k x 2 nx 0,1,2,
2 kx nx , nx 0,1,2, L 代入德布罗意关系式： p x k x 2 px nx , nx 0,1,2, L
其中 I m r2 是质点对原点O的转动惯量 广义坐标： 广义动量： 自由度：2，
q1 (0 ~ ), q2 (0 ~ 2 )
p1 p m r2 p2 p m r2 sin 2
空间维数：4
上述研究对象为转子：它在任何时刻的位置可以由其主轴在空 确定。 间的方位角 ， 16
p x 可取 到 间的任何数值。粒子的一个运动状态
( x, p x ) 可以用 空间在上述范围内的一点表示。当以动量
p x 在容器中运动时，粒子运动状态代表点在 空间的轨道
是平行于 x 轴的一条直线。
10

* 对于三维自由粒子， 空间是6维的，可以分解为三个二维的子空间，在一个子空 间描述沿一个坐标轴的运动
能量简化为
M 2I 2I
p
2
2
18
19
17-5.2
§6.2 粒子运动状态的量子描述
微观粒子(光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等)普遍具
有波粒二象性（粒子性与波动性）
德布罗意波：能量为 、动量为 p 的自由粒子联系着圆频率为
、波矢为 k 的平面波，即德布罗意波。
德布罗意关系：
7
空间：用 q1, q2 ,...,qr ; p1, p2 ,..., pr 共2r个变量为直角坐 标，构成的2r维空间。
空间：（q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运 动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间 改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条 轨迹。 几何描述
6
经典描述：
粒子的自由度数r：能够完全确定质点空间位置的独立坐 标数目。 自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r个广义坐 标和广义动量确定。
广义坐标： q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
代数描述
能量＝（q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr）
p2 A 2 p2 1 2 2 x m x 能量(动能和弹性势能之和)： 2m 2 2m 2
以 x， p 为直角坐标，构成二维 空间，振子在任一时刻的运动
状态由 空间中的一点表示，当振子的运动状态随时间而变时，
运动状态的代表点在 空间为一条轨道，该轨道为一椭圆： 能量椭圆
r sin cos r sin sin r cos sin y
cos r sin r z
2 r 2 sin 2 2) 2 r 2 m( r 2
考虑质点和原点的距离保持不变， 考虑质点和原点的距离保持不变 1
24
四个量子数[对于电子而言] 主量子数 n ：轨道的能级
Байду номын сангаас
角量子数 l ：从0到 n 1 共 n 个正整数 ( s, p, d , f , ) 磁量子数 m z ：描述电子在空间的伸展方向，
m z 从 l 到 l 取值
自旋量子数 mS ：自旋的两个方向，
mS
1 2
25
一、自旋
30

因此，一维自由粒子的量子数：1个 nx
p2 x2 1 2 2m m 2
12
p2 x2 1 2 2m m 2
椭圆的两个半径为 2m 、 椭圆面积为
r1 r1
2
2 m 2

振子能量可取任何正值，能量不同，可以作不同的椭圆。
13
三、转子
考虑质量为 m 的质点被具有一定长度的轻杆系于原点 O 时所作 的运动。 质点在直角坐标下的能量：
eg：三维空间
8
一、自由粒子
自由粒子：不受力的作用作自由运动的粒子。当不存在外场时， 理想气体的分子或金属中的自由电子都可看作自由粒子。 自由度： 3 μ空间维数：6
广义坐标：q1 x q2 y q3 z
广义动量：p1 p x mx p2 p y my p3 p z mz
二、线性谐振子
质量为 m 的粒子在弹性力 f Ax 作用下,将在原点附近 作圆频率为 A m 的简谐振动，称为线性谐振子。
例如，在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在 其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动。
11
一维线性谐振子
自由度： 1 μ空间维数：2
广义坐标：q x 广义动量：p mx
1 2 y 2 z 2 ) m( x 2
描述质点的位置 用球坐标 r ， ，
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
14
r sin sin r sin cos r cos cos x
1
宏观理论
（热力学）
微观理论
（统计物理学）
研究对象 物 理 量 出 发 点 方 法
热现象
宏观量 观察和实验 总结归纳 逻辑推理
热现象
微观量 微观粒子 统计平均方法 力学规律
优 点
缺 点 二者关系
普遍，可靠 不深刻
揭露本质
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
2
热力学规律:
确定性的理论. 在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于 一定状态. 统计规律: 非确定性的理论. 由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作 用的随机性,无法跟踪单个粒子进行研究,也使得 系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单 叠加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律.
28
* 量子数 m 描述运动平面空间的伸展方向，与经典理论中的 运动平面的取向相对应。在经典理论中，运动平面在空间趋向 是任意的，而在量子理论中 m 只取分立值，称为空间量子化。
l (l 1) 2 l 0,1,2, l 2I
基态非简并，激发态简并，简并度： 2l 1
29
四、自由粒子 一维自由粒子

p k

2 k
波矢 k 的方向是平面波传播的方向， 适用于一切微观粒子
20
普朗克常量：

h 1.055 10 34 J s 2
h 6.626 1034 J s
量纲：[能量][时间]＝[长度][动量]＝[角动量] [时间][能量]：是力学中作用量的量纲，因此 也称基本作用量子
21
不确定关系 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。
q 表示粒子坐标 q 的不确定值， p 表示相应动量 p 的不确定值。
∴ q p h
测不准关系
h 2 4
**** 其他教材给出： q p
h
是数值很小的量
22
说明：(1) 如果粒子的坐标具有完全确定的数值 q 0 粒子的动量将完全不确定
p p 0
(2) 如果粒子的动量具有确定的数值 粒子的坐标将完全不确定 结论：粒子的运动不是轨道运动。
q
* 由于普朗克常量数值非常小，因此不确定关系只适用于微观 粒子，它与宏观物理学的经验知识不发生矛盾。
23
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动地说明微 观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动状态不是用坐标 和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由 一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级。如果一个能级的量 子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称 为该能级的简并度。如果一个能级只有量子态，该能级称为非 简并的。
5
§6.1 粒子运动状态的经典描述 一.粒子的状态描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。 如气体的分子、金属的离子和电子等等。 粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的 描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的 描述称为量子描述。
热力学与统计物理学的研究方法
16-4.28
热力学是热运动的宏观理论。以实验总结的定律出发,经 过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系,宏观过 程进行的方向和限度,从而揭示热现象的有关规律。
统计物理是热运动的微观理论。 认为宏观物质系统由大 量微观粒子组成。宏观性质是大量微观粒子的集体表现, 宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
0 ，于是 考虑质点和原点的距离保持不变 r
1 2 r 2 sin 2 2) m(r 2 2
15
共轭动量为： ∴
， p mr2
p mr2 sin 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 ) ( p 2 p 2 ) m(r r sin 2I sin 2
的数值很小； * 用宏观现象的单位来度量 时，
反之，宏观世界用作用量 为单位时，其参量将有非常大的数。 普朗克常量提供了一个判据(经典描述和量子描述的判据)：当一个 物质系统的任何具有作用量量纲的物理量具有与 相比拟的数值 时，这个物质系统是一个量子系统；反之，物理量用来 量度， 数值非常大时，该系统为经典系统。
3
统计规律性的特点
(1)对大量随机事件整体起作用,对少量粒子组成的系统失 去意义。 (2)在一定的宏观条件下,某一时刻系统处在哪一个微观态 是偶然的,但处于某一微观态的概率是确定的。改变宏 观条件,不仅微观态发生变化,而且系统处在一微观态的 概率也随之改变。 (3)统计规律永远伴随着涨落。
4
第六章 近独立粒子的最概然分布
双原子分子的力学模型： 将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质 量为 m1 和 m2 的两个质点绕其质心的转动。然后 将两体问题转化为单体问题，即将公式中的 m 换成约化质量 m1m2
m1 m2
m2


m1
质心
17
根据经典力学，在没有外力作用的情形下， 转子的总角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和方向都不随时间改变。由于 r 垂直于 M ，质点 的运动是在垂直于 M 的平面内运动。如果选择 轴 z 平行于 M ，质点的运动必在 xy 平面上， 这时 2 p mr 0 2
电子、质子、中子等粒子具有自旋角动量和自旋磁矩
1 质量为 m ，电荷 e ，自旋量子数 的粒子，自旋磁矩 和自旋角动量 2
S 之间的关系为：

e S m
自旋角动量在z方向上的投影只能取两个值
1 S z mS 2
在外场B中的磁矩为
自旋量子数为 mS
1 2
z mS
e e m 2m
在外场B中的势能为
e e U B mS B B m 2m
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二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
1 n (n ) 2 n 0,1,2,
n 是表征线性谐振子运动状态和能量的量子数。
分立的能量称为能级。
能量(动能)： 能量球
1 2 2 ( px py p z2 ) 2m
2 2 2 px py pz 2m
为三维坐标中的一个球，其半径为 r
2m
9
一维自由粒子的运动状态 以 x 和 px 为直角坐标，构成二维的 空间。
设一维容器的长度为 L ，则 x 可取由0到 L 间的任何数值，