大地测量学 总结汇总

大地测量技术的任务:高精度数据采集、量测
测量学与大地的不同：测量学的范围小，观测基准是铅垂线和平面，并且认为铅垂线是平行的，计算基准是垂线和平面。

大地范围是整个地球，观测基准是铅垂线，但铅垂线是是不平行的。

计算基准是参考椭球的法线和大地水准面。

大地测量学：研究地球形状及行星几何和物理形态特征及其变化规律的基础科学（物理
几何、卫星、空间）
1.几何：确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。

2.物理：用物理的方法（重力测量）确定地球形状及其外部重力场。

3.空间：以人造卫星及其它空间探测器为代表的空间大地测量学的理论、技术和方法。

发展的四个阶段：地球圆球、地球椭球、大地水准面、现代大地测量
地球公转：开普勒三大定律黄道：绕太阳的椭圆轨道
地球自转：地轴：瞬时旋转轴地轴方向相对于空间的变化（岁差和章动）
岁差：地轴在空间绕黄极发生缓慢的旋转的现象。

周期为26000年。

章动：由于月球引力的影响，导致地轴在岁差的基础上叠加了周期为18.6年的短周期运动，极移：地轴相对于地球本体内部结构的相对位置变化（国际协议原点CIO）
时间系统：描述卫星或天文现象相应的时间（时空合一）。

组成：一维时间坐标轴＋时间原点为＋时间度量单位
IAG国际大地测量协会IAU国际天文联合会，IUGG地球物理联合会IPMS国际极移服务BIH国际时间局；CIO国际协议原点；
椭球定位：确定椭球中心的位置（局部定位：参考椭球地心定位：总地球椭球）
椭球定向：确定椭球旋转轴的方向。

⑴椭球短轴平行于地球自转轴
⑵大地起始子午面平行于天文起始子午线
二维坐标转换公式推导：平面极坐标公式
θ
θsin cos 11r y r x == 旋转公式⎩⎨
⎧-=-=)
sin()cos(
22βθβθr y r x
公式展开写成矩阵形式
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122cos sin sin cos y x y x ββββ平移缩放
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a y x y x 1122cos sin sin cos ββ
ββ
λ差计算
转化为线性模型进行平βλβλsin ,cos ==d c
1
12112cy dx b y dy cx a x +-=++=
为尺度参数是旋转参数是平移参数和λβ，，b a )1(
反算：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b y a x c
d
d
c y x ˆˆˆˆˆˆ
12211λ 三维坐标转换数学模型的解法：
1、用两个公共点计算出两个坐标的距离之比就是尺度参数的近似值。

2、消去平衡移参数，计算R 。

4个公共点可列如下12个方程。

3、计算平移参数（用第1个点的三个方程）
4、计算旋转参数
5、线性化列误差方程
6、平差计算和精度评定。

重力场：地球上不同位置的点的重力所形成的空间 引力2
r
m M f F ⋅⋅
= .离心力ρω2
m P = 重力：地球上任一质点处重力是地球引力与地球自转产生的离心力的合力 引力位：r
M
f V ⋅
=物理意义：单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功 离心力位：)(2
222
y x Q +=
ω ρωρω22==m P
二阶导数：022
222222≠=∂∂+∂∂+∂∂=∆ωϕϕϕz
y x Q （布阿桑算子） 重力位：Q V W += )(2
22
2y x r dm f W ++⋅=⎰ω 二阶算子Q V ∆∆, 外部点 ：Q V W ∆+∆=∆ 02
22222=∂∂+∂∂+∂∂=
∆z V
y V x V V 拉普拉斯方程 引力位是调和函数” 离心位不是调和函数“重力位不是调和函数
正常重力位就是正常椭球上任意一点的重力位。

可以由公式精确计算出
扰动位：正常重力位与地球重力位差异。

所以地球重力位＝正常重力位＋扰动位 任意一点的扰动位的确定是确定重力位之关键
莫洛金斯基：莫洛金斯基于1954年提出，通过地面上观测的重力值精确求定地面点的扰动位，但其边界不是大地水位面而是地球表面，即直接利用地面上的重力观测值求定地球形状和外部重力场，而不是通过大地水准面求解。

大地水准面高度又称大地水准面差距，似大地水准面高度又称高程异常 正高定义：地面上任一点沿垂线方向到大地水准面的距离。

⎰∑=∆=
CB
CB
B
dH H H 正
⑴不因水准路线而异，是惟一的⑵不能精确测定，正高无法精确求得。

正高不可能得到：从大地水准面沿重力方向到地面点的各占点重力无法测得。

正高改正：用正常重力值代替实际重力 得到的正高称为近似正高
()()
1100⎰⎰-*=-*=
OB
B
B m B m B m B O dh r r r dh r r r ε是正常重力，r 重力异常：由于地球表面起伏及其内部质量密度分布不均匀，因此正常重力值γ实测重力
值g 并不相同，它们的差数γ-g
正常高高差：＝
常常A
B H H -λε++⎰AB
dh ε正常位水准面不平行引起的高差改正λ重力异常
似大地水准面：由地面点向下量取正常高所得的点形成的连续曲面； 正高：大地水准面 正常高：似大地水准面
垂线偏差：地面上一点的重力向量和相应椭球面上的法线向量之间的夹角定义为该点的垂线偏差
分类：绝对垂线偏差：总地球椭球 相对垂线偏差：参考椭球
测量方法：1、天文大地测量方法：⑴精度高⑵作业量大，只适用于少数的天文大地点上。

2、重力测量方法：重力异常⇒垂线偏差 ⑴假设大地水准面外没有扰动物质，全球重力异常已知; ⑵没有独立应用
3、天文重力方法：天文大地测量方法＋重力测量 说明：地形平坦，基线短精度要求较低
4、还有平面法
大地水准面差距：大地水准面上一点P 到正常椭球面的距离， 称为该点的大地水准面差距
扰动位:大地水准面上一点p 的实际重力位与正常重力位 之差，称之为该点的扰动位。

即：T=W －U
方法：1.地球重力场模型法2.斯托克斯方法3.卫星无线电测高法4.GPS 高程拟合法 确定地球形状：天文大地测量方法 重力测量方法 空间大地测量方法
天文大地测量方法，重力测量方法适用于陆地；空间大地测量方法适用于全球最佳是综合 旋转椭球的形状和大小5个基本几何参数：长短半轴 扁率a
b
a -=
α 第一偏心率a b a e 22-=
第二偏心率b
b a e 2
2'-= 引入符号：b
a c 2= B t tan = B e 2
22cos '=η
辅助量：B e W 22sin 1-=B e V 22cos '1+=
推导2'1e W V +⋅= 21e V W -⋅=
2
22222222
222222221cos '11sin ''11sin '111sin )1('1sin 1e V B e e B e e e B e e e B e e B e W -⋅=+⋅-=-+⋅-=--⋅
-=⋅--=-= 211e W V -⋅=2'1e W +⋅=
推导2
2
2αα-=e
• 2
22
2
222222
222
2222
22)(2222)(αααα-=-=---=-+-=+-=
-=e e a b a a b a a a b a ab a a b ab a a b a a>b,V>W,e ’>e,c>a 21e -=大小2
'1e +=小大 W V b
a c ≥≥>>1
1. 大地坐标系以椭球面和法线为基础建立的大地纬度B 过P 点的椭球法线与赤道面的夹角
2. 空间直角坐标系XYZ O -
3. 子午面直角坐标系),,(y x L P
4. 地心纬度坐标系
),,(ρφL P 和归化纬度坐标系),(u L P 5. 大地极坐标系P （S ，A ）
1. 子午面直角坐标系同大地坐标系的关系
B B dx
dy o cot )90tan(-=+=12
222
=+b y a x B
e x y y x e y x a b B y
x a b dx dy tan )1()1(cot 22
2222⋅-=⋅-=⋅=⋅-= 1tan )1(2
222222=-+b B e x a
x
V
B b B e W a y W B a B
e B a x B a B e x sin sin )1(cos sin 1cos cos )sin 1(2
2222222=
-=⇒=-=⇒=-⇒ B e N y W a
N B
N x sin )1(cos 2
-===
)1(sin 2e N PQ B PQ y -=∴⋅= 又 2
Ne Qn =
2. 空间直角坐标系同子午面直角坐标系
y
Z L x Y L x X ===sin cos 3. 空间直角坐标系同大地坐标系的关系
B
e N Z L B N Y L
B N X sin )1(sin cos cos cos 2-===点在椭球面上 不在需加高程 法截面：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫法截面。

法截线（弧）：法截面与椭球面的交线叫法截线。

1.子午圈曲率半径M
32)
1(sin 1
sin W e a M B dB dx M B
dx dS dB dS M -=
⇒⋅
-=∴-=
=
B e W 22sin 1-=←
23V N M V c
M =⇒=
⇒ ←
b
a c 2=← B
e V W
a N 22cos '1+==
c ：极点处（两极）子午圈的曲率半径。

2.卯酉圈曲率半径
卯酉圈：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面。

其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈
V c
N W a
N W
B a r x B N r =
⇒=
∴=
==cos cos 3.主曲率半径的计算 子午圈曲率半径M 卯酉圈曲率半径N 4、任意法截线的曲率半径
尤拉公式：N
A
M A R A 22sin cos 1+
= A R A
B e N
2
22cos cos '1+=
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准 ⑵ RA 与B 有关，与A 有关。

当A=0o （或180o ）时，RA=M （最小值） 当A=90o （或270o ）时，RA=N （最大值） 当A ：0o →90o ，RA ：M →N A ：90o →180o ，RA ：N →M
5.平均曲率半径：过椭球面上一点的一切法截弧（从0到2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R 表示。

MN R =
6.M ，N ，R 的关系：N>R>M c M R N o o o ===909090
子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的椭球有不同的公式。

每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约30米 意义：大地测量正算和反算。

高斯反算
⑵子午线上纬度为 ， 间的弧长：12X X X -=∆⇒
2.由子午弧长求大地纬度：⑴ 迭代解法⑵直接解法
3.平行圈弧长公式 大地线的定义和性质：
定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线 ⑴ 大地线是一条空间曲线；
⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。

3.大地线的微分方程和克莱劳方程：描述p 到p1时，dS 与 dA 、dL 、dB 之间的关系
dS M
A
dB A dS dB M ⋅=⋅=⋅cos cos dS B N A dL A
dS dL B N ⋅=⋅=⋅cos sin sin cos dS B N
A dA ⋅=tan sin
1B 2B
⑵克莱劳方程
B N BdB M A A A
dB
M B N B A dA cos sin cos sin cos cos sin sin ⋅⋅
=⋅⋅
⋅=
dB B M dr B N r ⋅⋅=-=sin ,cos r dr dA A -=⋅cot
克莱劳定理： 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。

将地面观测值归算至椭球面：归算要求：⑴ 以椭球面法线为基础——消除垂线偏差的影响⑵ 将地面观测值元素化为椭球面上大地线相应的元素
将地面观测的水平方向归算至椭球面：垂线偏差改正 标高差改正 截面差改正
大地元素：椭球面上点的大地经度L ，大地纬度B ，两点间的大地线长度S ，及其正反大地方位角A12，A21
大地主题解算：已知某些大地元素求另一些大地元素叫做大地主题解算；包括正解和反解。

实质：是椭球面上极三角形的解算问题 三、高斯平均引数正算公式
基本思想：⑴ 在大地线中点 M 展开，收敛快，精度高； ⑵ 中点M 不好求，以两端点平均纬度及平均方 位角相对应的点m 来代替；⑶ 借助迭代法实现。

四、高斯平均引数反算公式
21122211)()(A A S B L B L ，，，，，⇒
计算公式为：
及，角大地线长度和正反方位，再计算
及，基本思路是：先计算出"A cos sin ."A cos sin ∆⋅⋅∆⋅⋅m m m m A S A S A S A S
地图投影概述定义：将椭球面上的元素按照一定的数学法则投影到平面上，称为地图数学投影，简称为地图投影。

相应的学科叫地图投影学。

主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化。

其中最大及最小长度比的方向
变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比极值为长、短半轴的椭圆 用途：可以计算每个方向的长度比。

在我国坐标都是正的，坐标的最大值（在赤道上）约为330km 。

为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500 000m 。

此外还应在坐标前面再冠以带号。

这种坐标称为国家统一坐标。

例如，有一点=19 123 456.789m ，该点位在带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m,最后得=-376 543.211m 。

高斯平面直角坐标系：以中央子午线的投影为纵坐标轴；以赤道的投影为横坐标轴 条件：1.长度比的通用公式2.柯西－黎曼条件
优点：正形投影；采用分带投影；带与带之间可以换算
高斯坐标正算实用步骤：
1、根据经纬度计算中央子午经度和带号及经度差（点到中央子午线的距离）
16int 66+⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒L n 带： ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=︒5.03int 33L n 带：　
36L 660-=︒n 带中央子午线： 303L 3n =︒带中央子午线： 0L L l -=的距离）经度差（到中央子午线
2、根据椭球选择计算子午弧长公式 克拉索夫斯基椭球54
B B B B X o 6sin 022.04sin 828.162sin 480.16036861.111134-+-=
75年国际椭球80：B B B B X o
6sin 022.04sin 833.162sin 528.16038005.111133-+-= 3、计算正算公式中的各符号的值
B t tan = B e 222cos '=η B e W 22sin 1-= W a N =
V
c
N = 4、代入正算公式计算高斯平面坐标
+''''+
=2
2cos sin 2l B B N X x ρ42234
)95(cos sin 24l t B B N ''--'
'ηρ ＋32233)1(cos 6cos l t B N l B N y ''+-''+''''=
ηρρ5
4255
)185(cos 120l t t B N ''+-''ρ
5、对y 的值进行加工：正算公式计算出的自然值＋500公里，前面冠以带号
高斯投影坐标反算公式),(),(B L y x ⇒),(1y x B ϕ=),(2y x l ϕ= 条件：⑴ x 坐标轴投影成中央子午线，即投影的对称轴 ⑵ x 轴上的长度投影保持不变⑶ 正形投影条件
步骤：①计算带号)1000000/int(y n =②计算中央子午线经度 六度带360-=n L 2411<<n 三度带n L 30=4923<<n
2、迭代法求取大地纬度：迭代开始时设01a X B f =迭代直至ε<-+i
f i f B B 1 3、计算反算公式中的各符号的值：f
f B t tan =f f B e 2
22cos '=ηf f B e W 22sin 1-=
3
2)
1(f f W e a M -= f f
W a N = 4、代入反算公式计算经度差、纬度
5、中央子午线收敛角和经度
计算子午线收敛角的意义：
1、用于大地方位角和高斯平面坐标方位角的转换；
2、高斯正反算检核坐标计算的正确性
方向改化：椭球面上两点间的大地线方向，归算至高斯投影平面上相应两点间的直线方向，
称为方向改化 前提条件： 视椭球为圆球 1. s 与D 的关系
v ds dD cos ⋅=
⎰⎰⋯+-==s
s
ds v vds D 020)21(cos s s 2
2
δ-=
长度比和长度变形
dS
ds
m =
1-m 3. 距离改化公式
S R y D m m ⋅+=)21(22
22
1y y y m += S R y R y D m m m m ⋅∆++=)2421(2
2
22
S R y R y R y D m
m
m m m m ⋅+∆++=)242421(4
4
22
22
S
s
D P 1
P 2
P 2'P 1'。