2019年名校初中自主招生考试数学试题及答案

名校初中自主招生考试数学试题

（本卷满分120分 测试时间90分钟）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．在如图所示的12个图形中，轴对称图形有( )个．

A ．4个

B ．3个

C ．5个

D ．6个

2．John 于早上6点x 分钟从A 地出发，在当天早上6点y

分钟抵达B 地．他发现，在这段行程的起点和终点时刻，时针和分针所成的夹角都是110︒．那么John 从A 地至B 地耗时（ ）

A ．35分钟

B ．38分钟

C ．40分钟

D ．44分钟 3. 若m m m =-+-20082007，则=-2

2007m （ ）

A ．7 Ｂ．2008 Ｃ．20082 Ｄ．-20082 4．如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( ) A ．4圈

B ．3圈

C ．5圈

D ．3.5圈

5．如图，点A (,)(0)p q p q <<在反比例函数3

y x

=

的图像上，且OA=5，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，连结AB ，则△ABC 的周长为（ ） A ．8 B ．7 C ．27 D ．31

6．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2

(3)2y t =--+，则t 的取值

范围为（ ）

（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥3 （D ）以上都不对．

7．图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）。图2中E 为AB 的中点，图3中AJ>JB 。判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）

第1题

第4题

x

O

A

C B

第5题

A 、甲=乙=丙

B 、甲<乙<丙

C 、乙<丙<甲

D 、丙<乙<甲

AB 于D 、

8．P 是△ABC 内一点，AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、

E 、

F ，则

A 1

B 2

C 3

D 4

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

9．若2x+5y-5=0,则4x ×32y =______________

10．记()()()()()

24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是 ．

11．圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为

12．如图，

E 、

F 分别是 A B C D 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2

cm ，S

△BQC 25=

2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．

13若ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根，x 1,x 2,且x 1<2

14．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，

135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________

15．方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图象与函数y ＝1x

的图象交点的横坐标，那么方程kx 2+x

－4＝0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标，若这两个交点

均在直线y ＝x 的同侧，则实数k 的取值范围是 .

三、解答题（本大题共5小题，第16-19题各10分，第20题12分，共52分）

16．（1）已知非零实数,a b 满足ab a b =-，试求a b ab b a

+-的值．

（2）已知实数,,a b c 满足784,847a b c a b c -+=+-=，试求222a b c -+的值．

17．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面

积。

A

B C

E

F

P

A B

C

D E

F Q

（第12题）

（第14题）

18．在代数学中，为了表述的简洁，常用记号(),(),(),()f x g x P x Q x ，… 来表示以x 为自变量的函数．例如，若用()f x 来表示二次函数221y x x =++，则2()21f x x x =++；而0()f x 表示自变量x 取值为0x 时的函数值，即2000()21f x x x =++．

另外，我们把形如1110()n n n n P x a x a x a x a --=++

++

（其中01,,,n a a a 为系数，x 为变量）的函数称为关于x 的一元n 次多项式．

已知关于x 的实系数多项式(),()P x Q x 满足：对任意实数,x y ，以下两式恒成立． （ⅰ）2()()()P x Q x P y y -=-； （ⅱ）()()1P x Q x x ⋅≥+． 试解答如下两个问题：

（1）证明：函数()P x 是一次函数； （2）求函数()P x 与()Q x 的表达式．

19．设抛物线2

2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A （－1，0）、B （m ，0），与y 轴交于点C.且∠A CB ＝90°.

（1）求m 的值和抛物线的解析式；

（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E. 若点P 在x

轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标.

（3）在（2）的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________.

20．在ΔABC 中，AB=AC ，BC=6，sinB=

5

4

，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线

BC 相交于点D ．

(1)如图(1)，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；

(2)如图(2)，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由； (3)如图(3)，当PQ 经过ΔABC 的重心G 时，求BP 的长．